§1 矩阵的初等行变换,目的要求,（3）掌握利用初等行变换解线性方程组的方法.,（1）理解矩阵的初等行变换含义；,（2）掌握利用初等行变换化矩阵为行最简形；,,我们知道，对于方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不为零这一类特殊的线性方程组，可以用克莱姆法则求解除此之外，在实际应用中大量存在的一般形式的线性方程组，不能用克莱姆法则求解，求解方法与理论必须进一步加以研究.,一、引例：,分析用消元法解下列方程组的过程．,解,,,,,,,,,,,,,,,,,用“回代”的方法求出解：,,小结：,1．上述解方程组的方法称为消元法．,2．始终把方程组看作一个整体变形，,（1）交换方程次序,（2）以不等于０的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍．,用到如下三种变换:,,3．上述三种变换都是可逆的．,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．,,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．,二、矩阵的初等行变换,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,（1）对调i，j两行：,（2）i行乘以非零数k：,（3）将j行的k倍加到i行：,用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：,,,,B与B1所对应的线性方程组同解,,,,,,,,,,于是经有限次初等行变换得：,,B与B5所对应的线性方程组同解,,对应的线性方程组为,,于是,行阶梯形和行最简形,特点：,（1）可划出一条阶梯线，线的左方和下方 （有数的话）全为零；,（2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数；,（3）阶梯线的竖线后第一个元素非零，称为非零首元．,称矩阵B4 B5为行阶梯形矩阵,,特点：除了行阶梯形的三个特点外，还有,（4）每个台阶的非零首元为1；,（5）每个台阶的非零首元1所在的列其他元素都为0.,,,,行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵,小结：,解线性方程组的消元法可以用矩阵的初等行变换来实现；,行最简形对应的方程组的解就是所求方程组的解.,利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵化为行最简形;,三、利用初等行变换解方程组举例,行最简形对应的方程组的解就是所求方程组的解.,利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵化为行最简形;,方法：,三、利用初等行变换解方程组举例,解：,增广矩阵为,利用初等行变换化增广矩阵为行最简形：,,,,,,,,,,,,,,,行最简行,,即得与原方程组同解的方程组：,,解得：,解：,增广矩阵为,利用初等行变换化增广矩阵为行最简形：,,,,,,,第三行对应矛盾方程0=1，所以方程组无解.,,,,解：,增广矩阵为,,,,,即得与原方程组同解的方程组为：,,,在初等行变换过程中这列0 没有变化，因此可以只对系数矩阵做初等行变换,,解得：,四、线性方程组的解法总结,（1）应用克莱姆法则,（2）利用矩阵的初等行变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．,（1）非齐次线性方程组：将增广矩阵化为行最简形,（2）齐次线性方程组：将系数矩阵化为行最简形,利用矩阵的初等行变换解线性方程组,,思考题,本节课的引例及3个例题的解的存在情况（唯一解、无穷多解、无解）与增广矩阵的行阶梯形矩阵有什么联系？,目的要求,（3）掌握利用初等行变换解线性方程组的方法.,（1）理解矩阵的初等行变换含义；,（2）掌握利用初等行变换化矩阵为行最简形；,,。