一些著名的数学公式塞尔伯格迹公式泰勒公式乘法公式二倍角公式全期望公式全概率公式和差平方和平方和立方外尔特征标公式婆罗摩笈多公式差平方差立方拉普拉斯展开斯托克斯公式斯特灵公式斯科伦范式柯西-阿达马公式柯西积分公式格林公式格林第一公式格林第二公式欧拉-笛卡尔公式欧拉公式海伦公式牛顿-寇次公式立方和差素数公式蔡勒公式角平分线长公式诱导公式默比乌斯反演公式基本 乘法公式 及恒等式 （因式分解 ）分配律和平方基本三数差平方平方差和立方差立方立方和立方差其他公式立方和 是数学公式的一种，它属于因式分解 、乘法公式 及恒等式 ，被普遍使用立方和是指一个 立方数 ，加上另一个立方数，即是它们的总和公式如下：同时立方和被因式分解后，答案分别包含二项式 及三项式 ，与立方差相同此公式对 几何学 及工程学 等有很大作用主验证验证此公式，可透过因式分解，首先运用环的原理，设以下公式：然后代入：透过因式分解，可得：这样便可验证：和立方验证透过和立方 可验证立方和的原理：那即是只要减去及便可得到立方和，可设：右边的方程运用因式分解的方法：这样便可验证出：几何验证图象化透过绘 立体的图像 ，也可验证立方和根据右图，设两个立方，总和为：把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：要得到，可使用的空白位置。
该空白位置可分割为3 个部分：把三个部分加在一起，便得：之后，把减去它，便得：上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：可透过 和平方 公式，得到：这样便可证明反验证透过也可反验证立方和以上计算方法亦可简化为一个表格：x) 这样便可证明例题讲解1. 把因式分解把两个数项都转为立方：运用立方和 可得：2. 把因式分解把两个数项都转为立方：运用立方和便可得：但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：亦可使用另一个方法来减省步骤首先把公因子抽出：直接使用立方和，并得：立方差立方差也可以使用立方和来验证，例如：把两个数项都转为 立方数：运用负正得负，可得：然后运用立方和，可得：这个方法更可验证到立方差的公式是平方差平方差公式 是数学公式的一种， 它属于 乘法公式 、因式分解 及恒等式 ，被普遍使用平方差指一个 平方数 或正方形，减去另一个平方数 或正方形得来的 乘法公式 ：及的排列并不重要，可随意排放主验证平方差可利用 因式分解 及分配律 来验证先设及 那即是，同时运用了 环的原理把这公式代入：若上列公式是的话，就得到以下公式：以上运用了，也即是两方是相等，就得到：注：塞尔伯格迹公式在数学中， 塞尔伯格迹公式 是非交换调和分析 的重要定理之一。
此公式表达了齐性空间的函数空间上某类算子的迹数 ，其中是李群而是其离散子群塞尔伯格 在 1956 年处理了紧 黎曼曲面 上的 拉普拉斯算子 的情形借由拉普拉斯算子及其幂次，塞尔伯格定义了 塞尔伯格 δ 函数 此时的公式相似于 解析数论 关注的 ― 明确公式 ‖ ：黎曼曲面上的 测地线 在公式中扮演 素数在明确公式里的角色一般而言，塞尔伯格迹公式联系了负常数曲率紧曲面上的拉普拉斯算子的谱，以及该曲面上的周期测地线长度对于环面 ，塞尔伯格迹公式化为泊松求和公式 定义设为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面对的某离散子群的商考虑上的拉普拉斯算子由于为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的特征值至多可数事实上，更可将其由小至大排列：对应的特征函数，并满足以下周期条件：行变元代换于是特征值可依排列迹公式塞尔伯格迹公式 写作和式中的取遍所有双曲共轭类所取函数须满足下述性质：在带状区域上为解析函数 ，在此为某常数满足估计：，在此为某常数函数是的傅里叶变换 ：后续发展为了计算 赫克算子 作用于 尖点形式 上的迹，出现了Eichler- 塞尔伯格迹公式 志村五郎后来采取的方法省去了迹公式中的分析技巧。
抛物上同调也为非紧黎曼曲面与模曲线 的尖点问题提供了纯粹的代数框架最后，为紧的情形可藉 阿蒂亚-辛格指标定理 处理，然而，一旦取为算术子群 ，便不免要处理非紧的情形在 1960 年代，塞尔伯格迹公式由苏联的盖尔芳特 学派、 普林斯顿大学 的 ??????????、罗伯特 · 郎兰兹 与日本的 洼田富男 接手推动非紧情形的连续谱是郎兰兹发展 艾森斯坦级数 理论的动机之一拉普拉斯算子与赫克算子的迹公式表明了赋值向量环 之妙用亚瑟-塞尔伯格迹公式适用于一般的半单群 （或约化群 ）此公式的一侧称为谱侧，与群的表示相关；另一侧称为几何侧 ，与函数之轨道积分相关群表示通常带有重要的数论信息，而轨道积分则较容易操作亚瑟-塞尔伯格迹公式是证明郎兰兹函子性猜想 的重要进路之一泰勒公式在数学中， 泰勒公式 是一个用 函数在某点的信息描述其附近取值的公式如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数 值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做 系数构建一个 多项式 来近似函数在这一点的邻域中的值泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差泰勒公式得名于 英国数学家布鲁克 · 泰勒他在 1712 年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671 年詹姆斯 · 格雷高里已经发现了它的特例[1]。
泰勒公式泰勒公式的初衷是用多项式 来近似表示函数在某点周围的情况比如说，指数函数ex在 x = 0 的附近可以用以下多项式来近似地表示：称为指数函数在0 处的 n 阶泰勒展开公式 这个公式只对0 附近的 x 有用，x 离0 越远，这个公式就越不准确 实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项 对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值这个想法的原由可以由微分的定义开始 微分是函数在一点附近的最佳线性近似：，其中是 h 的高阶 无穷小 也就是说，或注意到和在 a 处的零阶 导数 和一阶导数都相同对足够光滑的函数，如果一个多项式在a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况以下定理说明这是正确的：定理 ：设 n 是一个 正整数 如果函数f 是区间 [a, b] 上的 n 阶连续可微函数，并且在区间 [a, b) 上 n+1 次可导 ，那么对于 [a, b) 上的任意x，都有：[2]其中的多项式称为函数在a 处的 泰勒展开式 ，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。
带有皮亚诺 型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：也就是说， 当 x 无限趋近 a 时，余项将会是的高阶无穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于[3]这个结论可以由下面更强的结论推出带有拉格朗日 型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理 的推广：即，其中[4]带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理 的推广[5]：余项估计拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差 设函数在区间 [a - r, a + r]上 n 次连续可微并且在区间(a - r, a + r) 上 n + 1 次可导如果存在正实数Mn使得区间 (a - r, a + r) 里的任意 x 都有，那么：其中 这个上界估计对区间(a - r, a + r) 里的任意 x 都成立，是一个 一致估计 如果当 n 趋向于无穷大时， 还有， 那么可以推出，f 是区间 (a - r, a + r) 上解析函数 f 在区间 (a - r, a + r) 上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的 极限多元泰勒公式对于多元函数，也有类似的泰勒公式设B(a, r ) 是欧几里得空间RN中的开球，? 是定义在 B(a, r ) 的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1 次偏导数 。
这时的泰勒公式为：对所有，其中的α 是多重指标 其中的余项也满足不等式：对所有满足| α| = n + 1 的 α ，π的莱布尼茨公式在数学领域， π的莱布尼茨公式 说明左边的展式是一个 无穷级数 ，被称为 莱布尼茨级数 ，这个级数 收敛到 π? 4它通常也被称为 格雷戈里 -莱布尼茨级数 用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家 詹姆斯 · 格雷戈里 使用 求和符号可记作：证明考虑下面的 幂级数对等式两边 积分可得到 反正切 的幂级数 ：将 x = 1 代入，便得莱布尼兹公式(1 的反正切是 π? 4)这种推理产生的一个问题是 1 不在幂级数的 收敛半径 以内因此，需要额外论证当x = 1 时级 数收敛到 tan- 1(1)一种方法是利用 交替级数判别法 ，然后使用 阿贝尔定理证明级数收敛到tan- 1(1)然而，也可以用一个完全初等的证明初等证明考虑如下分解对于 |x| n，没有容许集合S，行列式det(AB) 是零（参见 空和（empty sum ））这个公式对矩阵元素取值于任何交换环 都成立证明可将AB 的列写成系数来自 B 的 A 的列的线性组合，利用行列式的可乘性，将属于一个det(AS) 的项收集起来，并利用行列式的反对称性。
利用行列式的莱布尼兹公式，得出det(AS) 的系数是det(BS) 这个证明没有利用行列式的可乘性，相反这个证明建立了它如果 A 是一个实 m× n 矩阵，则 det(A AT) 等于由 A 中行向量在 Rn中张成的 平行多面体 m-维体积的平方柯西– 比内公式说这等于该平行多面体在所有m-维坐标平面（共有C(n,m) 个）的正交投影的平行多面体的m-维体积的平方之总和 m=1 的情形是关于一条线段的长度，这恰是毕达哥拉斯定理 柯西 – 比内公式可直接推广到两个矩阵乘积的子式的一个一般公式该公式在子式一文给出例如果与则柯西 -比内公式给出行列式：柯西积分公式在数学中， 柯西积分公式 是复分析 的一个核心理论以著名数学家柯西命名它主要表述了任何一个在闭圆盘上复可微 的方程在圆盘内的值完全取决于它在盘边界上的值并且圆盘内每一点的所有的导数也可通过柯西积分公式计算而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的定理假设 U 是复平面 C 的一个 开子集 ，f : U → C 是一个在闭圆盘D 上复可微的方程，并且闭圆盘 D = { z : | z - z0| ≤ r} 是 U 的子集设 C 为 D 的边界。
则可以推得每个在 D 内部的点 a: 其中的积分为逆时针方向沿着C 的积分柯西－阿达马公式柯西-阿达马公式 (Cauchy-Hadamard Formula)为复分析 （Complex analysis）中求单复变形式 幂级数 收敛半径的公式，以法国数学家奥古斯丁 · 路易· 柯西和雅克· 阿 达马的名字命名公式陈述对于单一复数变量 ―z‖的形式幂级数上式中, 则该级数 收敛半径 R 由下式给出：其中 limsup 定义为其中 sup 为集合的最小上界格林公式在物理学与数学中， 格林定理 连结了一个 封闭曲线 上的线积分 与一个边界为 ? C? 且平面区域为 ? D? 的双重积分 格林定理是 斯托克斯定理 的二维特例，以 英国数学家乔治· 格林 （George Green ）命名设闭区域 D 由分段光滑的曲线 ? L? 围成， 函数 ? P(x,y)及? Q(x,y)在? D? 上具有一阶连续偏导数 ，则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线格林公式还可以用来计算平面图形的面积此公式叫做 格林公式 ，它给出了沿着闭曲线C 的曲线积分 与 C 所包围的区域D上的二重积分之间的关系另见格林第一公式 、格林第二公式 。
特殊情况的证明以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D 是一种 I 型的区域， C2和 C4是竖直的直线对于 II 型的区域 D，其中 C1和 C3是水平的直线如果我们可以证明以及那么就证明了格林公式是正确的把右图中 I 型的区域 D 定义为：其中 g1和 g2是区间 [a, b]内的连续函数 计算 (1)式中的二重积分：现在计算 。