第2讲利用数列递推求通项满分晋级数列 10 级重要知识点数列 8 级等差数列与等比数列知识网络数列 9 级利用数列递推求通项数列的前 n 项和与数列综合知识结构图递推公式：若已知数列的第一项 a1 (或前 n 项)，且从第二项（或某一项）开始的任一项 an 与它的前一项 an -1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．通项公式：数列的第 n 项 an 与项数 n 之间的函数关系，可以用一个公式a n =f (n) 来表示，那么 an 就是数列的通项公式．注意：① 并非所有的数列都有通项公式；② 有的数列可能有多个通项公式；③ 数列的通项就是一种特殊的函数关系式;④ 注意区别数列的通项公式和递推公式．方法 1．迭加法求数列通项；若数列递推公式满足 xn =xn-1 +f (n ) ，则通项xn =x1 +_____________．方法 2．迭乘法求数列通项：若数列递推公式满足 xn =f (n)xn -1 ，则通项xn =x1 _____________．方法 3．待定系数法求数列通项：若数列递推公式满足 xn =axn-1 +b ，可以设待定系数 c ，使得 xn +c =a(xn-1 +c) 成立；若 a 1 ，可以解得c =______，若 a =1，则数列是______数列，通项公式是_______．方法 4．数学归纳法求数列通项：首先是猜想数列的通项公式，然后验证通项公式对于 n =1成立，再假设通项公式对于 n =k 成立，最后利用递推公式证明通项公式对于 n =______也成立．，可以两边式子都取倒数，变形成______，然后转化为方法 3 的情形．一轮复习（下）第 2 讲提高-尖子-目标教师版1方法 5．倒数法求通项：若数列的递推公式是 xn =xn-1考点剖析考点 1：迭加法与迭乘法；考点 2：待定系数法；考点 3：数学归纳法；考点 4：其它常见方法（不动点法，特征根法）；经典精讲<教师备案>迭加法：如果数列的递推公式可以写成如 an+1 =an +f (n)的结构，那么根据这个结构可得ak -ak -1 =f (k -1)，反复应用这个式子然后对 k从 2到 n求和，可得：an =(an -an -1 ) +(an -1 -an-2 ) +L +(a2 -a1 ) +a1=f (n -1) +f (n -2) +L +f (1) +a1(n ≥ 2)；迭乘法：如果非零数列的递推公式可以写成如 an =g (n) an -1的结构，那么与迭加法完全类似地可得：a a aaan - an - a1g a迭加法与迭乘法本质上是求一个数列 f (n)（或 g(n)）的连加和（连乘积），那么要么要求f (n)（或 g(n)）具有较简单的形式，方便求和（或求积）；要么求和(或求积)能够利用常规公式；要么 f (n)（或 g(n)）的形式特殊，能够裂项求和（或求积）．这与下一讲的数列求和是共通的．【例1】 （迭加法）⑴ 已知数列 {an} 满足 an+1 =an +3n +2,(n N* ) ，且 a1 =2 ，求 an ．n1 n A． 2 +ln nB． 2 +(n -1)ln nC． 2 +n ln nD． 1 +n +ln n*an + - n =3n +2,(n N*)，得 a n - n- = n -， an- - n - =3n -4，…， a2 - 1 =5，=( a -a= 2 +5 +8 +...... +(3n -1)3n 2 +n2．nn n-2=(a -an-1= 21 +22 + 3 +.... +2 n- +2 = + =2n.1-22一轮复习（下）第 2 讲提高-尖子-目标教师版Kan = n n-1 2 1=g (n ) (n -1) (2) 1 (n ≥ 2)；⑵ 已知数列 {an} 中， a1 =2 ， a n+1 =a n +2 (n N* ) ，求 a n ．⑶ 在数列{an} 中， a1 =2 ， an+1 =an +ln 1 + ，则 an =（ ）1 2【解析】 ⑴式子 an+1 =an +3n +2,(n N )是形如 a n+1 =a n +f (n )的形式，故利用迭加法求通项公式．an n n-) +(a n- - n- ) +L +a2 -a1) +11 a a 1 3 1 1 a 2 a=⑵式子 an+1 =an +2 (n N*)，利用迭加法求通项公式．an -an - =2 -, an - - n- = ,...., a 2 - 1 = 1，an n n -) +an - - n- ) +L +a2 -a1 ) + 12(1 -2 )2 1 2 1 n 1 n an -an - =ln n -ln(n -，… …， a 2 - 1 =ln 2 -ln1，=(a -aan =ln n +a1 =ln n +2．【拓 3】（迭加法）（2009 全国卷Ⅰ理 20） 1 n +12an⑵ 求数列 {a n}的前 n 项和 S n ．【解析】⑴由已知得 b1 =a1 =1，且an +1n +1a 1n 21 1 1 12 2 2 21 1 12 2 21212 1 n 2 2n nk = 2 k= 2于是 Tn =2Tn -Tnn -1k=0 2 2n +22nk=1n +22【例2】 （迭乘法）⑴（2010 西城二模理 5）数列 {an }满足 a1 =1， a 2 =3 ， an +1 =(2n -l)an （ n =1 , 2 , L ），则 a3 等于（）A．15B．10C． 9D． 5一轮复习（下）第 2 讲提高-尖子-目标教师版3⑶式子 an+1 =an +ln 1 + 是形如“an+1 =an +f (n )”的形式，故用迭加法求其通项公式．an +1 =an +ln 1 + =a n +ln(n +1) -ln n，即 an +1 -an =ln(n +1) -ln n，an n n -) +an - - n- ) +L +a2 -a1 ) + 1，将其相加得到在数列 {an }中， a1 =1 ， an+1 =+ an + n ． n ⑴ 设 bn = n ，求数列{bn}的通项公式；1 1) a1= n + n．即 bn +1 =bn + n，从而 b2 =b1 +， b3 =b2 + 2，…， bn =bn-1 + n-1 (n ≥ 2)．于是 bn =b1 + + 2 +L + n -1=2 - n-1 (n≥ 2 )．又 b1 =1，故所求的通项公式 bn =2 - n -1⑵由⑴知 a n =n 2 - n-1 =2n - n-1．kk令Tn = k-1，则 2Tn = k-21n= k-1 - n-1=4 - n -1．又 (2k )=n (n +1)，所以 S n =n (n +1)+ n -1 -4．1 1⑵ 已知数列 {an} 中， a1 =1 ， 2na n+1 = (n +1) an ，则数列 {a n} 的通项公式为（）A．n2nB．n2n-1C．nnD．n +12n⑶ 已知数列 {an} 中， a1 =1 ，an+1a nn +2n，求 an ．【解析】⑴ A当 n =1时， an+ =(n -l)n即 a2 =( -l)1．将 a1 , a2的值代入可得 l=-．从而 a3 =( -l)2 = a2 =15．⑵ Baana n 2na n +，从而anan-1n2(n -1)a 2a1 2n - n -a a a nnan- an- a1 2⑶数列的递推式是形如an +1an=f (n)的形式，故用迭乘法求解．a n na n +2a na n-1n +1n -1a nan- n -2，…．．，a2a131an-1 an-2 1aan an- a 2 n + n n - n - 5 4 3 n(n +1).<教师备案>待定系数法：如果根据数列的递推公式，可以判断其通项具有某种固定的形式，那就可以用待定系数法设出其通项的形式，然后求解．例如：根据 a n - n - =就知道{n }必定是等差数列， an必定是 n的一次函数；根据 an -an -1 =an +b则可知道 a n必定是 n的二次函数等等；下面讨论几种待定系数法适用的情形：① xn = n - +；如果 a =1，那么递推公式说明 {xn }是一个等差数列，所以只需讨论 a 1的情形；这时是公比为 a的等比数列；② xn = n - + ；这种情况有两种处理办法：(b b 一是两边都除以 a n，。