大学物理教学课件：第二章物体的弹性

第二章第二章 物体的弹性物体的弹性物体受到外力作用时，将其形状和大小的改变叫做物体受到外力作用时，将其形状和大小的改变叫做形变形变 形变形变弹性形变弹性形变塑性形变塑性形变去掉外力后物体能够去掉外力后物体能够完全恢复原状的形变完全恢复原状的形变称为称为弹性形变弹性形变 去掉外力物体不能去掉外力物体不能再完全恢复原状的再完全恢复原状的形变称为形变称为塑性形变塑性形变 去掉外力后物体能够完全恢复原状的性质称为去掉外力后物体能够完全恢复原状的性质称为弹性弹性第一节第一节 应变和应力应变和应力2.1 Strain and stress一、应变一、应变(the strain) 物物体体的的体体积积、、长长度度和和形形状状的的变变化化与与其其原原有有值值之之比比，，称为应变称为应变应变应变线应变线应变 LFFL0L体应变体应变 切应变切应变 FF  xd1．线应变（．线应变（linear strain））一粗细均匀各向同性的细棒原长为一粗细均匀各向同性的细棒原长为L0，，在外力在外力F 的作用下的作用下被拉长，伸长量为被拉长，伸长量为△△L△△L与原长与原长L0的比值称为该物体的的比值称为该物体的拉伸应变拉伸应变或或张应变张应变，用符号，用符号  表示表示当当物物体体在在外外力力作作用用下下被被压压缩缩时时，，△△L 表表示示缩缩短短量量，，应应变变 为为负值，此种应变称为负值，此种应变称为压应变压应变。

张应变和压应变都是线应变张应变和压应变都是线应变 LFFL0L2．体应变（．体应变（volume strain））如如果果各各向向同同性性的的物物体体在在各各个个方方向向上上受受到到的的压压力力的的改改变变量量相相同同时时，，物物体体的的形形状状不不变变，，仅仅仅仅发发生生体体积积的的变变化化，，体体积积的的改改变变量量 V与与原原体体积积V0之之比比 ，，叫叫做做体体应应变变，，用符号用符号  表示表示 V >0 0 时，时，  为正为正 V < 0 0时，时，  为负为负 3．．切应变切应变（（shearing strain）） 当一个正方体在一对切向力（剪力）当一个正方体在一对切向力（剪力）F 的作用下，发生的作用下，发生切向形变，方块的上下底面产生相对位移切向形变，方块的上下底面产生相对位移△△x，，二底面垂二底面垂直距离为直距离为d d，，比值比值△△x/d d 称为物体的称为物体的切应变切应变或或剪应变剪应变，用，用符号符号  表示表示dFF  x 为切变角在形变很小时，为切变角在形变很小时，切变角切变角  一般都很小，一般都很小，二、应力二、应力（（stress））物体内部单位面积上受到的内力物体内部单位面积上受到的内力称为应力称为应力1 1．正应力．正应力 ( (normal stress) )物物体体的的拉拉伸伸应应变变与与物物体体所所受受到到的的张张力力 F 的的大大小小成成正正比比，，与物体的横截面积与物体的横截面积 S 成反比。

成反比在在外外力力F作作用用下下，，物物体体被被拉拉伸伸时时，，物物体体内内部部单单位位面面积积上上受受到的内力，叫做到的内力，叫做拉伸应力拉伸应力或或张应力张应力，，用符号用符号  表示表示2．体应力．体应力（（volume stress））如如果果物物体体（（各各向向同同性性））受受到到的的压压强强发发生生变变化化时时，，物物体体将发生体应变将发生体应变体应力用压强的增量体应力用压强的增量△△P 来表示来表示物体受到的是压力作用时的应力称为压缩应力或物体受到的是压力作用时的应力称为压缩应力或压应力压应力线应变时，内力方向与截面正交线应变时，内力方向与截面正交张应力张应力压应力压应力正应力正应力体应力是压应力体应力是压应力3．切应力（．切应力（shear stress）） 切向内力切向内力F与截面积与截面积S 之比，称为之比，称为切应力或剪应力切应力或剪应力，，用符号用符号  表示表示. .FFSFFSFFS总之，总之，应力就是作用在单位截面积上的内力应力就是作用在单位截面积上的内力应力的单位应力的单位SISI单位制：帕斯卡单位制：帕斯卡(Pa)(Pa)1Pa = Nm-2 应力应力法向应力法向应力切向应力切向应力在复杂形变中，可以同时具有正应力和切应力。

在复杂形变中，可以同时具有正应力和切应力 与截面正交的应力与截面正交的应力与截面平行的应力与截面平行的应力第二节第二节 弹性模量弹性模量一、一、弹性和塑性弹性和塑性（（elasticity and plasticity））a点为点为正比极限正比极限b点为点为弹性极限弹性极限c点为点为断裂点断裂点脆性脆性 展性展性  b与与 c差值较大差值较大 b与与 c差值较小差值较小二、弹性模量二、弹性模量(elastic modulus) 胡克定律：胡克定律：1.1.杨氏模量杨氏模量( (Young modulus) ) 拉伸或压缩时的弹性模量拉伸或压缩时的弹性模量称为杨氏模量称为杨氏模量，，用用符号符号E 表示表示应力应力= 弹性模量弹性模量×应变应变正比极限范围内应力与应变成正比正比极限范围内应力与应变成正比 应力与应变的比值叫做该物体的应力与应变的比值叫做该物体的弹性模量弹性模量 泊松比泊松比 (Poisson ratio) 当当细细棒棒纵纵向向拉拉长长时时，，将将发发生生横横向向收收缩缩，，横横向向线线度度的的相相对对缩缩短短与与纵纵向向相相对对伸伸长长成成正正比比。

用用d d 表表示示横横向向线线度度（（如如果果横断面是圆形，横断面是圆形，d d 为其直径），为其直径），△△d d 表示其变化量，则表示其变化量，则式中式中μμ是材料的特征常数（纯数），称为泊松比是材料的特征常数（纯数），称为泊松比 材料材料杨氏模量杨氏模量弹性限度弹性限度抗张强度抗张强度抗压强度抗压强度不锈钢不锈钢熟铁熟铁铜铜铝铝玻璃玻璃花岗石花岗石砖砖木材木材骨（拉伸）骨（拉伸）骨（压缩）骨（压缩）腱腱橡胶橡胶血管血管19.7×101019.0×101012.6×10106.8×10105.5×10105.0×10102.0×10101.0×10101.6×10100.9×10100.2×1080.01×1080.002×10830×10717×10720×10718×10750×10733×10740×10720×1075×107———12 ×107—————110×10720×1074×10710×107—17×107表表2-1 2-1 一些常一些常见材料的材料的杨氏模量、氏模量、弹性限度和性限度和强强度度( (单位：位：Pa)Pa) 2.体变模量体变模量(bulk modulus) 体变时的弹性模量叫做体变时的弹性模量叫做体变模量体变模量，，用符号用符号K 表示表示式中负号表示体积缩小时，压强是增大的式中负号表示体积缩小时，压强是增大的压压缩缩率率(compressibility):3．切变模量．切变模量(shear modulus) 切变时的弹性模量叫做切变切变时的弹性模量叫做切变模量模量，，用符号用符号G 表示表示体变模量的倒数称为体变模量的倒数称为压缩率压缩率，，用符号用符号k 表示表示材料材料体变模量体变模量切变模量切变模量不锈钢不锈钢铜铜电解铁电解铁铝铝玻璃玻璃水银水银水水乙醇乙醇骨骨木材木材16.4×101016.1 ×101016.7 ×10107.8 ×10103.6 ×10102.5 ×10100.22 ×10100.09 ×1010——7.6 ×10104.6 ×10108.2 ×10102.5 ×10102.3 ×10101.0 ×10101.0 ×1010表表2-2 2-2 一些常见材料的体变模量和切变模量（单位：一些常见材料的体变模量和切变模量（单位：PaPa）） 作业二作业二 试证明教材试证明教材23页（页（2-4）式下一行文字）式下一行文字中的结论中的结论————不可压缩材料（即：压缩前后总不可压缩材料（即：压缩前后总体积不变）的体积不变）的 同时请大家帮助解决一位同学遇到的困惑：同时请大家帮助解决一位同学遇到的困惑：若若某长方体（横截面积为某长方体（横截面积为4×4，长度为，长度为2）拉伸后）拉伸后横截面积变为横截面积变为3×3，长度变为，长度变为3，满足，满足 ，，但是拉伸后总体积却变小了！但是拉伸后总体积却变小了！—— 错在什么地错在什么地方？为什么？方？为什么？ 第8版　新增内容四、扭转四、扭转 扭转角扭转角 与倾斜角　　满足与倾斜角　　满足 可以证明，力矩　　和扭转角　　可以证明，力矩　　和扭转角　　之间满足：之间满足： 几何关系：几何关系： 第8版　新增内容四、弯曲四、弯曲 线性拉长、线性拉长、压缩形变压缩形变实际的实际的弯曲弯曲形变形变剪切形变剪切形变……人骨骼所能承受的剪切载荷人骨骼所能承受的剪切载荷比拉伸和压缩载荷都低比拉伸和压缩载荷都低……－哪种是最主要的形变？－哪种是最主要的形变？讨论：弹性势能讨论：弹性势能设设有有一一原原长长为为L L0 0、、截截面面积积为为S S的的弹弹性性圆圆棒棒，，受受到到一一拉拉力力F的的作作用用伸伸长长到到L L，，如如果果不不考考虑虑其其截截面面积积的的微微小小变变化化，，棒棒所受到的拉力或所受到的内力为所受到的拉力或所受到的内力为为为定值定值F = k xx = L= L- -L0表示表示弹性体的伸长量弹性体的伸长量 弹性体在伸长过程中外力对弹性体所作的总功为弹性体在伸长过程中外力对弹性体所作的总功为上式表明：外力克服弹性力作功的结果是将其它上式表明：外力克服弹性力作功的结果是将其它形式的能量转变成弹性体的弹性势能。

弹性势能形式的能量转变成弹性体的弹性势能弹性势能的大小与伸长量的平方成正比，同时还与弹性体的大小与伸长量的平方成正比，同时还与弹性体自身的性质成正比自身的性质成正比 弹性体所受到的外力弹性体所受到的外力F 随着伸长量随着伸长量x的改变而不同的改变而不同 k 为为弹性体的力常数或叫做倔强系数弹性体的力常数或叫做倔强系数(force constant)k 的单位的单位: : N m-1 一、球形弹性腔的力学问题一、球形弹性腔的力学问题将半径为将半径为R 的球任意切割得上下两个球冠的球任意切割得上下两个球冠上球冠周边的每一个分子都将受到上球冠周边的每一个分子都将受到下部球冠周边上每一个分子的引力下部球冠周边上每一个分子的引力作用，作用，设腔外压强为设腔外压强为P P1 1，，腔内压强为腔内压强为P P2 2，，内外压强差为内外压强差为 P P，，球冠周边每单位长度弹性膜的张力为球冠周边每单位长度弹性膜的张力为T 讨论：讨论：弹性腔的力学问题弹性腔的力学问题周边所受到的向下的合力周边所受到的向下的合力 F = [2  (Rsin ) T ] sin  = 2 RTsin2 球冠所受压力的向上分力球冠所受压力的向上分力 F =  P   (Rsin ) 2在平衡状态时，上球冠所受到的张力和压力应大小相等，在平衡状态时，上球冠所受到的张力和压力应大小相等，方向相反方向相反 2 RTsin2  = P R2sin2 上式叫做上式叫做球面膜的拉普拉斯公式球面膜的拉普拉斯公式(Laplace s formula) 说明由弹性膜所形成的球面内外存在着压强差说明由弹性膜所形成的球面内外存在着压强差在生理学上把细胞膜内外的压强差叫做在生理学上把细胞膜内外的压强差叫做跨膜压跨膜压2 RTsin2  = P R2sin2 二、二、管形弹性腔的力学问题管形弹性腔的力学问题半径为半径为R 的弹性管的弹性管 设单位长度上的弹性膜张力为设单位长度上的弹性膜张力为T，，张力和压力平衡时张力和压力平衡时 T 2l sin  = P2l R sin 选管中任一长为选管中任一长为l 的圆弧段为研究对象的圆弧段为研究对象 向下合力向下合力F =T 2l sin 压力为压力为F = P2l R sin 上上式式叫叫做做管管形形弹弹性性膜膜的的拉拉普普拉拉斯斯公公式式，，常常用用它它分分析析血血管管的跨膜压的跨膜压。