例例1 1、如果、如果 为周期为为周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的序列，令： 为 周期为N的DFS 为 周期为2N的DFS由 确定解：P119-5 令：K为偶数0K为奇数K=0,1,2,3……2N-1 例例2 2、有限长序列的、有限长序列的DFTDFT为序列在单位园上为序列在单位园上ZTZT的取样，的取样，若有一个若有一个1010点序列点序列x(n)x(n)的的DFTDFT，，我们希望找出半径为我们希望找出半径为1/21/2的围线上的围线上X(Z)X(Z)等间隔取样，即：等间隔取样，即：证明：如何修改证明：如何修改x(n),x(n),以获得一个新序列以获得一个新序列x1(n),x1(n),使使x1(n)x1(n)的的DFTDFT对应所希望的对应所希望的X(Z)X(Z)取样 解：对于右图， 例例3 3、令、令X(K)X(K)为为N N点序列点序列x(n)x(n)的的N N点点DFTDFT1)1)证明证明: :若若x(n)=-x(N-1-n),x(n)=-x(N-1-n),则则X(0)=0X(0)=02)2)当当N N为偶数时，若为偶数时，若x(n)=x(N-1-n),x(n)=x(N-1-n),则则X(N/2)=0X(N/2)=0证：1)当K=0时a)N为偶数 b)N为奇数 2）而N为偶数，X(N/2)成立 例4. 已知序列 现对于x(n) 的 变换在单位圆上 等分抽样，抽样值为 试求有限长序列的N点 N越大，越大，x`(n)越逼越逼近近x(n) 例例5 5、令：、令： 表示表示 的傅氏变换的傅氏变换y(n)y(n)表示长度为表示长度为1010的一个有限长序列，的一个有限长序列，Y(K)=DFT[y(n)]Y(K)=DFT[y(n)]相当于相当于 的单位园上的单位园上1010个等间隔采样，求个等间隔采样，求y(n) y(n) 解：讨论： 例6. 试求以下有限长序列的 点 （闭合形式）： (3) (4) 直接计算较难两边取DFT 例7. 如图画出了几个周期序列 ，这些序列可以表示成傅里叶级数 （1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 成为实数？ （2）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 （除 外）成为虚数？（3）哪些序列能做到 ， 为共轭对称序列，即满足实部偶对称，虚部奇对称（以 为轴）。
即 是以 为对称轴的偶对称解:（1）要使 为实数，根据DFT的性质:又由图知， 为实序列，虚部为零，故 应满足偶对称： 故第二个序列满足这个条件 为共轭反对称序列，即满足实部奇对称，虚部偶对称（以 为轴） 即 是以 对称轴的奇对称（2）要使 为虚数，根据DFT的性质:又由图知， 为实序列，虚部为零，故 应满足奇对称： 故这三个序列都不满足这个条件 （3）由于是8点周期序列，其DFS:当 时， 序列2:序列1:当 时， 序列3:根据序列移位性质可知当 时， 综上所得，第一个和第三个序列满足 例8.已知 是N点有限长序列， 。
现将长度变成rN点的有限长序列试求rN点 与 的关系解：由得 在一个周期内，Y (k)的抽样点数是X (k)的r倍( Y (k)的周期为Nr)，相当于在X (k)的每两个值之间插入r-1个其他值（不一定为零），而当k为r的整数l倍时，Y (k)与X (k / r)相等相当于频域插值 例9. 已知 是N点的有限长序列， ，现将 的每两点之间补进 个零值点，得到一个rN点的有限长序列 试求rN点 与 的关系解：由得 故 离散时域每两点间插入 r -1个零值点，相当于频域以N为周期延拓r次，即Y(k)周期为rN 例10.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力 ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度； （2）所允许处理的信号的最高频率； （3）在一个记录中的最少点数。
解:（1）因为 ，而 ，所以即最小记录长度为0.1s2）因为 ，而即允许处理的信号的最高频率为 又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为 例11. 复数有限长序列 是由两个实有限长序列 和 组成的，且已知 有以下两种表达式：其中 为实数试用 求 由共轭对称性得 例12：书P122-13解：K=0,1,2,….15而C图 例13：书P122-15n=0,1,,,,,6不同n=7-19相同 例 14：长度为N的一个有限长序列x(n)的N点DFT为X(k) 另一个长度为2N的序列y(n) 定义为试用X(k)表示y(n) 的2N点离散傅里叶变换Y(k)解：解：该题可以直接按DFT定义求解。