燃料最优控制问题探究0 引言随着社会科技的不断发展，人们的生活水平、生活质量有了质的飞跃但是， 这些都对能源提出了更高的要求，科学技术的发展也离不开能源的支持就目前 探明的能源情况来看，现有能源最多能够满足我国几十年的使用为了国家的长 久发展，寻找新能源迫在眉睫，同时，节约能源也同样重要因此，能源的利用 效率就非常重要，这就必须要考虑到能源的最优化实现，尤其是燃料的最优化实 现在实际工程中，常常需要考虑使控制过程中的能量消耗最小，从而达到节约 燃料、提高续航和安全的目标例如，在航空航天领域中，航天器大多采用燃料 燃烧所产生的发动机推力或力矩来进行控制的，从节约燃料、节省成本和延长续 航时间角度考虑，实现燃料消耗最小非常重要此外，燃料消耗是卫星相对轨道 转移任务中最为关注的问题，因为它直接决定了卫星的使用寿命在其他诸如燃 料电池轿车动力系统、发动机燃料最优控制系统等问题中，燃料最优控制也是十 分重要的1 燃料最优控制问题描述设燃料消耗率以非负量J二表示，则控制过程中的燃料消耗总量为F = 5 (t )dt (1)0一般地说，燃料消耗率与控制向量(推力或力矩)有确定关系，即-、=J：；：下面考虑关系式jj=1(c > 0)j(2)它的物理意义是，当推力或力矩增加时，燃料消耗成比例地增加，其比例系 数为1。
发动机推力或力矩不能任意大而受限制，即u < M (j = 1,2, , r)j jAuj jj=1 丿为了保证控制过程中燃料最省，控制的性能指标可以选为消耗燃料总量dtJ = Q = Ji 申(t)dt = Jtf 工c0 0 「一但是，在研究燃料最优控制问题时，还应该同时考虑过渡过程时间二因为 末值时刻二自由，从燃料消耗最优出发，就可能导致过长的时间二；而强调时间 二，又有可能使燃料过多消耗所以，考虑燃料消耗的快速控制问题的性能指标时，一种较好的选择是采用时间加权性能指标，即J = pt + J"f 工cf 0j j=1dt = Jtf0P + 2c |uj=1dt(5)末值状态为 啊)=0,⑴)=0, tf 自由(6)(7)(8)(9)式中，口是大于零的加权系数，它体现了对时间二的重视程度当少二二时, 不计及时间二，只考虑燃料消耗；当・=工时，不计及燃料消耗，只考虑时间最 快式(5)为性能指标的最优控制问题称为燃料消耗的快速控制问题，又称时间- 燃料最优控制问题因为燃料最优控制问题的性能指标比较复杂，多以燃料最优控制的理论研究 也比较困难本文仅以二次积分模型为例来说明燃料最优控制问题。
2 燃料最优控制理论综述1) 二次积分模型二次积分模型的状态方程为x (t) = x (t)< 1 2x (t) = u (t)2控制受限 丨 u (t )l< 1, Vt eT 0, t "f系统的初始状态为 x(0)=x , x (0)=x1 10 2 20性能指标为 J = Jtf I u(t) dt0要求在状态方程的约束下，寻求满足式(7)的最优控制十,使系统从心门转移 到=二,同时使J取最小值由于控制二受到约束，且性能指标中的被积函数不满足可微条件，因此不能 用变分法求解该问题，只能用极小值原理来求解系统是能控的，最优控制问题 的解存在2) 极小值原理对于如下时变系统、积分型性能指标、末端固定、t自由和控制受约束的最f优控制问题：min J(u) = J tf L(x,u,t)dtu (t )eQ t°s.t x(t) = f (x, u, t), x(t ) = x (11)00x(t ) = x , t 自由fff式中x(t) e Rn，为系统状态向量；u(t) e Rm，为系统控制向量；Q为容许控 制；u(t)是在Q内取值的任何分段连续函数；末态x(t )固定；末端时刻t自由。
ff假设函数f(x,u)在任意有界集上对变量x满足李卜希茨条件：当Q uQ为有界集1时，存在一常数a > 0,使得只要xi、x2 e x，对于任意u eQ，有1I f (xi, u) - f (x2, u) I< a I xi - x2 I则对于最优解u*(t)和t*，以及相应的最优轨线x*(t)，必存在非零的n维向量 f函数M)，使得①x(t)及九(t)满足下述正则方程・/、 0H(12)(13)x(t)=莎尤(t)=-70x式中哈密顿函数H (x, u, t) = L( x, u, t) + 九 t (t) f (x, u, t)②x(t)及九(t)满足边界条件x(t ) = x00x(t ) = xff③哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值H*= H x* (t),九(t), u* (t), t = min H x* (t),九(t), u(t), tu (t )eQ④在最优轨线末端哈密顿函数应满足H * (t *) = H [ x* (t *),九(t *), u* (t *), t * ] = 0f f f f f3) 问题求解根据极小值原理，燃料最优控制问题最优解的必要条件为①正则方程令哈密顿函数为H =1 u(t) I+X (t)x (t) + 九(t)u(t)1 2 2则有x1•x2QH=x。
九 21QH=u丫 QH九=一—1 Qx< i丁 QH九 =一 2 Qx2=0=一尢1②边界条件x (0) = x1 10 ,x (0) = x2 20x (t ) = 01fx (t ) = 02f③极小值条件I u* (t) I + 九(t)u* (t) +1 (25)20 < u * (t) <+1,九(t) = —12—1 < u * (t) < 0,九(t) = +12由式(25)可知，最优控制轨线的完全确定，取决于九(t)的性质。
根据九(t)性22 质的不同，燃料最优控制问题可以分为正常与奇异两种情况1) 正常情况若在时间区间［0,［上，I九2(t) 1= 1只在有限点上成立，则最优控制u*(t)可取-1,0,+1 三个值，且在这三个值上转换2) 奇异情况若在时间区间「0,t ］上，至少存在一段时间间隔［t,t ］u「0,t ］，在其上有f 1 2 fI九(t) I= 1，则属于奇异情况此时，最优控制轨线u*(t)由正常弧段和奇异弧段2两部分组成3 实践——有限推力轨道转移燃料最优控制有限推力下最小燃料消耗轨道转移问题的最优控制问题模型可描述如下min J = -m(t )o Jf I u dtf0X = f (x) + (T / m)工 u f0 max i ii=1m=-ut i uimaxx(0) = x0,m(0) = m0,h(x(t )) = 0fI u I< 1式中，T为发动机推力的最大幅值，控制u = (u ,u ,u )为推力在轨道坐标max 1 2 3系中方向分量卫星的轨道运动学方程的状态常用一种称为MEE的轨道根数x = I P e exyL]T和质量m来表示对于轨道转移任务，要求初始轨道和目标轨道是不同的，因而最优控制是非空的。
问题满足的初值边界条件用MEE可描述为C0,m0 )=(Po,eo,eo,ho,ho,Lo,mo )e R7yxyx而终端边界条件则为h( x) = (p — Pf, e — ef, e — ef, hx x y y x为使问题便于解决，作以下假设—hf, h — hf, L — Lf ) = 0 x y y(27)(28)(1)系统模型的状态始终满足路径约束(29)A = {x, m) IP > o,I (e , e )|< 1, m > m }x y e即卫星在椭圆域内飞行，在地心坐标系下位置向量幅值始终大于地球半径， m 为 e无燃料的卫星质量2) 最终飞行时间 t 要严格大于最短轨道转移时间 t f f min(3) 卫星在终端时质量满足mf >m且是自由的e问题满足可控性条件，在满足假设(1)~(3)及非空最优控制约束的条件下，存在时间固定时的燃料最优可行解解 燃料最优的性能指标取为 Lagrange 型，应用极小值原理，系统的哈密顿函数为H = (p -UT p )Iu I + H +(T /m)£ uH (30)0 max m 0 max i ii=1式中，Pq为大于0的常数，通常取为1; H = p,f ;■,i = 0,L ； 3为Hamiltonian提升；p, p分别为状态x, m对应的协状态。
m根据极小值原理可知 (p (t ), p (t ))不同时为 0 时，应用 Cauchy-Schwarz 不等 m式，令 H = (H , H , H )，取 p = 1，则式(30)有1 2 3 0rjiH >(1 -UT p )I u I + H --maxi H I Iu I (31)max m 0 m则当 u = -TH,T > 0 时式(31)取等号因此令z = (x,m,p,p )，当H = (H ,H ,H ) m 1 2 3不为0时，最小H函数的解可写成u = -T(z)H/I H I,T(z) e [0,1] (32)定义切换函数S(t,z)=1-UT p -(T /m)IHI (33)max m max则当H丰0时，最优控制为'-H/I H I, S(t,z)<0u(t)斗一TH/I H I, S(t,z)= 0 (34)0, S (t, z)> 0其中T e[0,1],而当H = 0时，则有u(t) e S(0,1),1- UT p < 0max m 0max m由上述分析可知，最优控制函数是由Bang-Bang弧和奇异子弧所组成。
上述 问题中当H丰0, S 。