第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质教学目的 : 理解并掌握二重积分的概念 ; 几何意义 ; 二重积分存在的条件 . 熟练掌握二重积分的性质 ;能正确运用性质进行判断、 计算与证明 .重点 : 二重积分的性质的运用 .难点 : 运用性质判断与计算 .教学方法 : 直观教学 , 讲练结合 .教学过程 :一、 二重积分的概念与几何意义1、【定义】 : 设 f (x, y) 是有界闭区域 D 上的有界函 数，将闭区域任意 分成 n 个小闭区域1 ，2 , ，n ，其中i 表示第 i 个小闭区域， 也表示它的面积， 在每个i上任取一点 (i ,i ) ，作乘积 f ( i , i )ni ， (i1,2,,n) ，并作和f ( i ,i )i ，i 1如果当各小闭区域的直径di 中的最大值max{di }0 时，这和1 inn式 limf ( i , i )i的极限存在，且此极限与小区间i的分法0 i1以及点 (i , i ) 的取法无关 ，则称此极限为函数f ( x, y) 在闭区域 D上的二重积分，记为ni .f ( x, y)d，即f (x, y)dlimf ( i ,i )DD0 i 1其中：①f ( x, y) 称为被积函数 , ②f ( x, y)d称为被积表达式 ,③ x, y 称为积分变量 ,④ d 称为面积元素 , ⑤ D 称为积分区域 ,n⑥ f ( i , i ) i 称为积分和 .i 12、面积元素 d在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D , 则面积元素为 d dxdy故二重积分可写为 f ( x, y)dDyDO xf ( x, y)dxdy .D3、【 二重积分存在定理】设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的连续函数,则二重积分f ( x, y)d存在 .D4、二重积分的几何意义(1) 当被积函数f ( x, y)时,二重积分f ( x, y) d 表 示 以0Df (x, y) 为顶 , 以 D 为底面的曲顶柱体的体积．(2) 当被积函数 f ( x, y) 0 时 , 二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域 D上连续 .1． kf (x, y)dk f ( x, y)d , k 为常数 .DD2． [ f ( x, y) g(x, y)]d f ( x, y)d g ( x, y)d .D D D二重积分的线性性 ：设 , 为常数则上述两式合并为[ f ( x, y) g ( x, y)] d f ( x, y)d g( x, y)d .D D D3．( 二重积分对区域可加性 )f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y) d , ( D D1 D2 ) .D D1 D24． d , 为 D 的面积 .D5．( 积分不等式 )若 f ( x, y) g( x, y) ,则 f (x, y)d g( x, y)d .D D注意 ：若在 D 上 f ( x, y) g( x, y) 但等号不是恒成立，则有f (x, y)dg( x, y)d .DD推论 :f ( x, y)df ( x, y) d .DD6. 【积分估值定理 】设 M 、 m 分别是 f ( x, y) 在闭区域 D 上的最大值和最小值，则mf ( x, y)dM . 其D中 为D的面积.7. 【积分中值定理 】设函数 f (x, y) 在闭区域 D 上连续，则在 D 上至少存在一点 ( , ) 使得 f ( x, y) d f( , ) . 为 D 的面积 .D8．设区域 D D1D 2，且 D1与 D2关于 x 轴对称；（ 1） 当 f (x, y)关于y 是偶函数即f ( x,－ y)＝ f ( x, y) 时，有f ( x, y) d2 f (x, y)d.DD1当 f (x, y) 关于 y 是奇函数时即f ( x,－ y)＝f ( x, y) 时，有f ( x, y) d0 .D(2) 类似有设区域 D D1 D2当 f (x, y) 关于 x 是偶函数时即f ( x, y) d2 f (x, y)dDD1当 f (x, y) 关于 x 是奇函数时即，且 D1 与 D2 关于 y 轴对称；f ( x, y)＝ f ( x, y) 时，有.f ( x, y)＝ f ( x, y) 时，有f ( x, y) d0 .yD三、应用举例D例1 比较( x y) 2 d与 (x y)3 dDDOAx的大小 ,其中D {( x, y) | ( x 2) 2( y 1) 22} .解：如图 ,由于点 A(1,0)在 ( x2)2( y1)22上,过点 A 的切线为 x y1,那么在 D 上有 1xy( x y) 2(xy)3,所以( xy) 2 d(xy)3 d.DD例 2(05.4)设 I 1cos x2y2 d,I 2cos(x2y2 )d ,DDI 3cos(x2y2 ) 2 d,其中 D{( x, y) | x2y21},则D(A) I3I2 I1(B) I1I2 I3(C)I2 I1 I3(D)I3 I1 I2答 (A).因为在区域 D 上， 0x2y21, 且 cos z[0, ] 为减函数，22所以21x2y2x2y2( x2y2 ) 20 ,从而cos(x2y 2 )cos(x2y2 )cos(x2y 2 )2 ,故I 3I 2I1 .例 3设 D : x2y2a2, 当 a()时,a2x2y2 dxdy.D( a) 1( b) 3 3( c) 3 3( d) 3 1242答 ( b). 根据二重积分的几何意义, 此积分表示半径为a 的上半球体的体积.由14a3得 a33选 ( b).232Dd d1.例 4当是由 ()围成的区域时,xyD( a) x 轴 , y 轴及 2x y 2 0(b) x 1 , x 2 及 y 3, y 4( c)x1,y1( d) x y 1, x y 122答( a, b, c).因为x y1表示积分区域的面积为1故只需考察哪d d,D些选项积分区域的面积为1.例 5判断ln( x2y2 )d的正负 .xy1解：在区域 D{( x, y) | xy1} 上有 x2y21且等号不恒成立，所以 ln( x2y2 )ln10 且等号不能恒成立，故ln( x2y2 )d(ln1) d0 .xy1x y1例 6 估计积分值(),{(,) | 01,02}.Ixy xy dDx yxyD解： 0xy( x2y2 )。