第第4节 数列求和节 数列求和最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.了解非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式知知 识识 梳梳 理理 ②等比数列的前n项和公式(ⅰ)当q＝1时，Sn＝______；(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.na1 (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论与微点提醒]1.一些常见数列的前n项和公式 2.常见的裂项公式 诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 解析 (3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 答案 B 3.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )A.2n＋n2－1 B.2n＋1＋n2－1C.2n＋1＋n2－2 D.2n＋n－2答案 C 4.(必修5P38T8改编)一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( )A.100＋200(1－2－9) B.100＋100(1－2－9)C.200(1－2－9) D.100(1－2－9)答案 A 5.(必修5P61A4(3)改编)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1).解析 设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn 6.(2018·丽水测试)“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{an}中，a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)则a7＝________；若a2 018＝m，则数列{an}的前2 016项和是________(用m表示).解析 ①∵a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，∴a3＝1＋1＝2，同理可得：a4＝3，a5＝5，a6＝8，则a7＝13.②∵a1＝1，a2＝1，an＋an＋1＝an＋2(n∈N*)，∴a1＋a2＝a3，a2＋a3＝a4，a3＋a4＝a5，…， a2 015＋a2 016＝a2 017a2 016＋a2 017＝a2 018.以上累加得，a1＋2a2＋2a3＋2a4＋…＋2a2 016＋a2 017＝a3＋a4＋…＋a2 018，∴a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2 016＝a2 018－a2＝m－1.答案 13 m－1 考点一 分组转化法求和 答案 (1)A (2)A 考点二 裂项相消法求和 规律方法 (1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等. 解 (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②又n＝1时，a1＝2适合上式， 考点三 错位相减法求和【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式； 规律方法 (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式. 【训练3】 (2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式； 。
