§4.2 幂级数,1、幂级数的概念2、幂级数的收敛圆与收敛半径3、幂级数的收敛半径的求法4、幂级数的运算和性质5、典型例题与小结,（1）幂级数的定义：,1、幂级数的概念,定义1 设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2)的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数4.2均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:,定义2：具有,形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1,c2 ,…,a都是复常数.,（2）幂级数的敛散性：,若令a=0则以上幂级数还可以写成如下形式,定理一（阿贝尔定理）：如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆K:|z-a|<|z1-z|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛,证:设z是所述圆内任意点.因为,(n=0,1,2,…),,注意到|z-a|<|z1-a|, 故级数,a,,,收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使,收敛,,推论 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.,,a,,,z1,z2,,,,在圆K内绝对收敛.,其敛散性有以下三种情况:,(1) 对所有的复数z都收敛.,由阿贝尔定理知:,级数在复平面内处处绝对收敛.,2.收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数, 首先它在z=a点处总是收敛的，,例如, 级数,对任意固定的z,,从某个n开始,,总有,于是有,故该级数对任意的z均收敛.,(2) 除 z=a 外都发散.,此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,例如,级数,通项不趋于零,,故级数发散.,(3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据阿贝尔定理的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使级数发散.根据推论知,它必在圆周|z-a|=|z2-a|外部发散,,,,,,.,.,,,,收敛圆,,,收敛半径,,收敛圆周,定理二. 如果幂级数(4.3)的系数cn满足,(比值法）或,（根值法）或,3、幂级数的收敛半径的求法,则幂级数 的收敛半径为:,,R=,1/l (l≠0,l≠+∞)0 (l=+∞);+∞ (l=0).,(4.4),定理三 (1) 幂级数,(4.3),的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|