2.7 2.7 线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 用消元法解线性方程组得知，线性方程用消元法解线性方程组得知，线性方程组解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无组解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解．归纳求解过程，实际上就是对方程组解．归纳求解过程，实际上就是对方程组(2.6.1)(2.6.1)的增广矩阵的增广矩阵2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定返回返回1/28下一页下一页下一页下一页上一页上一页上一页上一页 返回返回2/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 进行初等行变换，将其化成如下形式的阶进行初等行变换，将其化成如下形式的阶梯形矩阵：梯形矩阵：2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 返回返回3/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页，，(2.7.1)(2.7.1)2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 其中 ，或其中 ，或．．(2.7.2)(2.7.2)返回返回4/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 由定理可知，阶梯形矩阵由定理可知，阶梯形矩阵(2.7.1)(2.7.1)和和(2.7.2)(2.7.2)所表示的方程组与方程组所表示的方程组与方程组(2.6.1)(2.6.1)是是同解方程组，于是由矩阵同解方程组，于是由矩阵(2.7.1)(2.7.1)和和(2.7.2)(2.7.2)可得方程组可得方程组(2.7.1)(2.7.1)的解的结论的解的结论: : 1.1.当 时，阶梯形矩阵当 时，阶梯形矩阵(2.7.1)(2.7.1)和和(2.7.2)(2.7.2)所表示的方程组中的第 个方程所表示的方程组中的第 个方程 ““ ” ”是一个矛盾方程，因此，方程是一个矛盾方程，因此，方程组组(2.6.1)(2.6.1)无解．无解．返回返回5/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 2.2.当 当 时，方程组时，方程组(2.6.1)(2.6.1)有解．有解．并且解有两种情况：并且解有两种情况： (1)(1)如果 如果 ，则阶梯形矩阵，则阶梯形矩阵(2.7.1)(2.7.1)表示的方程组为表示的方程组为，，，，．．返回返回6/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 用回代的方法，自下而上依次求出用回代的方法，自下而上依次求出，， ， ， 的值．因此，方程组 ， ， 的值．因此，方程组(2.6.1)(2.6.1)有唯一解有唯一解. .(2)(2)如果 ，则阶梯形矩阵如果 ，则阶梯形矩阵(2.7.1)(2.7.1)表表示的方程组为示的方程组为，，，，．．返回返回7/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 将后 将后 个未知量项移至等号的右端，得个未知量项移至等号的右端，得，，，，，，其中 ， ， 为自由未知量．因此，方程其中 ， ， 为自由未知量．因此，方程组组(2.6.1)(2.6.1)有无穷多解．有无穷多解．返回返回8/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 定理定理2.7.1(2.7.1(线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理) ) 线性方程组线性方程组(2.6.1)(2.6.1)有解的充分必要条件是其有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等．即系数矩阵与增广矩阵的秩相等．即．． 推论推论1 1 线性方程组线性方程组(2.6.1)(2.6.1)有唯一解的充有唯一解的充分必要条件是 ．分必要条件是 ．返回返回9/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 推论推论2 2 线性方程组线性方程组(2.6.1)(2.6.1)有无穷多解有无穷多解的充分必要条件是 ．的充分必要条件是 ． 推论 推论3 3 齐次线性方程组齐次线性方程组(2.6.2)(2.6.2)只有零解只有零解的充分必要条件是 ．的充分必要条件是 ． 推论 推论4 4 齐次线性方程组齐次线性方程组(2.6.2)(2.6.2)有非零的有非零的充分必要条件是 ．充分必要条件是 ．返回返回10/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 特别地，当齐次线性方程组特别地，当齐次线性方程组(2.6.2)(2.6.2)中，中，方程个数少于未知量个数 方程个数少于未知量个数 时，必有时，必有 ．这时方程 ．这时方程(2.6.2)(2.6.2)一定有非零解一定有非零解. .返回返回11/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 例例1 1 判别下列方程组是否有解？若有解，判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？是有唯一解还是有无穷多解？(1)(1)，，，，，，；；返回返回12/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 (2)(2)，，，，，，；；(3)(3)，，，，，，．．返回返回13/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 解解 (1)(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即梯形矩阵，即返回返回14/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 因为 ， ，两者不等，因为 ， ，两者不等，所以方程组无解．所以方程组无解．. .返回返回15/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 (2)(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即矩阵，即 因为因为 ，所以方程，所以方程组有无穷多解．组有无穷多解．返回返回16/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 (3)(3)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即矩阵，即 因为 ，所以方程组有因为 ，所以方程组有唯一解．唯一解．．．返回返回17/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 例例2 2 判别下列齐次方程组是否有非零解？判别下列齐次方程组是否有非零解？，，，，，，．．返回返回18/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 解解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即阵，即返回返回19/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 因为因为 ，所以齐次方程组只有，所以齐次方程组只有零解．零解．．．返回返回20/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 例例3 3 问 ， 取何值时，下列方程组无问 ， 取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？解？有唯一解？有无穷多解？，，，，．．返回返回21/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 解解 由由．．返回返回22/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 当 时， ，故方程组当 时， ，故方程组有唯一解；有唯一解； 当 而 时， 当 而 时， ，，故方程组有无穷多解．故方程组有无穷多解． 当 而 时， 当 而 时， ，， ，故方程组无解；，故方程组无解；返回返回23/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 例例4 4 已知总成本 是产量 的二次函数已知总成本 是产量 的二次函数．．根据统计资料，产量与总成本之间有如表根据统计资料，产量与总成本之间有如表2-12-1所所示的数据．试求总成本函数中的示的数据．试求总成本函数中的 ，， ，， ．．返回返回24/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 表表2-12-1某厂某阶段产量与总成本统计表某厂某阶段产量与总成本统计表时 期时 期产量 产量 ( (千台千台) )总成本 总成本 ( (万元万元) )第第1 1期期第第2 2期期第第3 3期期6 610410410101601602020370370返回返回25/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 解解 将 ， ， 代入已知二将 ， ， 代入已知二次函数模型中，得方程组次函数模型中，得方程组，，，，．． 利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再求解．即阶梯形矩阵，再求解．即返回返回26/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 返回返回27/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 ．．方程组的解为： ， ， ．因此方程组的解为： ， ， ．因此总成本函数为总成本函数为．．返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.72.7线性方程组解的情况判定线性方程组解的情况判定 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页课堂小结齐次线性方程组齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组有无穷多解有无穷多解. .bAx = = 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页课堂练习1、判断下列方程解的情况、判断下列方程解的情况(1)(1)(2)(2)(3)(3) 解：解：(1)(1)所以方程组有无穷多解．所以方程组有无穷多解． 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解：解：(2)(2) 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 因为 ， ，两者不等，因为 ， ，两者不等，所以方程组无解．所以方程组无解． 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解：解：(3)(3) 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 因为 ，所以方程组有因为 ，所以方程组有唯一解．唯一解． 2 2、、问 ， 取何值时，下列方程组无解问 ， 取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？？有唯一解？有无穷多解？ 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解解 由由 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 当 而 时， 当 而 时， ，， ，故方程组无解；，故方程组无解； 当 时， ，故方程组当 时， ，故方程组有唯一解；有唯一解； 当 而 时， 当 而 时， ，，故方程组有无穷多解．故方程组有无穷多解． 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页作业P79 习题2.7 1（2）（3）2 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 返回返回28/28上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 。