单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,章,:,控制系统的数学模型及其转换,性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：,传递函数模型,（系统的外部模型）,状态方程模型,（系统的内部模型）,零极点增益模型,（传递函数模型的一种）,这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统1,、,线性连续系统：,用线性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主2,、,线性定常离散系统：,离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式这类系统用差分方程来描述3,、,非线性系统：,系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统下面来分析各种数学模型的,MATLAB,表示形式,3.1,系统的类型,对线性定常系统，式中,s,的系数均为常数，且,a,1,不等于零，这时系统在,MATLAB,中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用,num,和,den,表示。
num=b,1,b,2,b,m,b,m+1,den=a,1,a,2,a,n,a,n+1,注意：它们都是按,s,的降幂进行排列的3.2,传递函数描述,一、连续系统的传递函数模型,连续系统的传递函数如下：,(1),递函数的,Maltab,模型,num=b1,b2,bm,bm+1,den=a1,a2,an,an+1,可用命令,tf,(),建立一个传递函数模型，或将,零极点增益模型或状态空间 模型转变为传递函数模型2),传递函数模型命令,tf,(),调用格式,sys=,tf(num,den,）,sys=,tf(mum,den,Ts,),用于生成离散传体函数，,Ts,为采样时间sys=,tf(M,),用于生成静态增益,s,传递函数，,sys=,tf(s,)%,用于生成拉普拉斯变量,s,的有理传递函数,tfsys,=,tf(sys,)sys=tf(num,den,Property1,Value1,PropertyN,ValueN,),：用于生成传递函数模型，同时定义传递函数的属性值传递函数的属性值可用,get,（,sys,）命令来查看,例,3.1,(3),多输入多输出系统（,MIMO,）传递函数模型,对多输入多输出系统，分子、分母为元胞类型向量。
元胞数组：,元胞数组的基本元素是元胞，元胞可以存放任何类型数据，而且同一个元胞数组的各元胞（,cell,）中的内容可以不同元胞数组的定义符是,例：,A=0 1,3;this is book,2 5,元胞数组元素内容的访问用,如：,A1,1,结果得到,0 1,，或者使用单下标，如,A2,，结果是“,this is book”,例：给定一个多入多出系统：,试生成其仿真模型,解：命令如下：,num=1 1;2 1 2;,den=1 1,1 2;1,1 2;,sys=,tf(num,den,),注意：元素,sys(i,j,),表示输入,j,对输出,i,的传递函数4,）传递函数模型生成方法（二）,利用拉普拉斯变量因子“,s”,直接生成传递函数模型例：已知传递函数模型如下，利用拉普拉斯变量因子“,s”,直接,生成传递函数模型解：命令如下：,s=,tf(s,);%,定义拉普拉斯变量,s,sys=(s+1)/(s*(s2+s+2),零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式在,MATLAB,中零极点增益模型用,z,p,K,向量组表示。
生成,零极点增益模型,的,matlab,函数为,zpk,（）：,z=z1,z2,zm,p=p1,p2,.,pn,K=k,二、零极点增益模型,K,为系统增益，,z,i,为零点，,p,j,为极点,（,1,）零极点增益模型,zpk,函数调用格式,sys,zpk(z,p,k,),生成零极点增益模型,sys,zpk(z,p,k,Ts,),sys=,zpk(M,),生成静态增益,s,传统函数,sys=,zpk(s,),生成拉普拉斯因子,s,zsys,=,zpk(sys,)%,将传递函数、状态空间模型转换为零极点增益模型,1,）,例：建立下述传递函数模型的,matlab,表示,num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;sys=,tf(num,den,),借助多项式乘法函数,conv,来处理：,num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);,den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);,sys=,tf(num,den,),2,）,3,）零极点增益模型：,4,）零极点增益模型：,z=;,p=-1,-2,-3-4j,-3+4j;,k=5;,sys=,zpk(z,p,k,),z=-3,0;,p=-1,50,-10;,k=1;,sys=,zpk(z,p,k,),例题,3.5matlab,表示 给出零极点增益模型,解：命令如下,z=;-0.5,p=0.3;0.1-j,0.1+j,k=1;2,sys=,zpk(z,p,k,),状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入,输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入,输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。
三）状态空间模型,在,MATLAB,中，系统状态空间用（,A,B,C,D),矩阵组表示，函数为,ss,(),1),状态空间模型函数调用格式,(1),Sys=,ss(A,B,C,D,)%,生成状态空间模型,Sys=,ss(A,B,C,D,，,Ts)%,生成离散的状态空间模型,Sys_ss,=,ss(sys,)%,将其它模型转换为状态空间模型,例,3.7,状态空间模型,用,matlab,表示,例：,系统为一个两输入两输出系统,A=1 6 9 10;3 12 6 8;4 7 9 11;5 12 13 14;,B=4 6;2 4;2 2;1 0;,C=0 0 2 1;8 0 2 2;,D=zeros(2,2);,模型转换的函数包括：,num,den,=ss2tf(A,B,C,D),：状态空间模型转换为传递函数模型,z,p,k,=ss2zp(A,B,C,D),：状态空间模型转换为零极点增益模型,A,B,C,D=tf2ss(num,den),：传递函数模型转换为状态空间模型,z,p,k,=tf2zp(num,den),：传递函数模型转换为零极点增益模型,A,B,C,D=zp2ss(z,p,k),：零极点增益模型转换为状态空间模型,num,den,zp2tf(z,p,k),：零极点增益模型转换为传递函数模型,3.3,模型的转换,传递函数、状态空间、零极点模型之间转换示意图,用法举例：,1,）已知系统状态空间模型为：,A=0 1;-1-2;B=0;1;,C=1,3;D=1;,num,den,=ss2tf(A,B,C,D,iu),z,p,k,=ss2zp(A,B,C,D,iu),iu,用来指定第,n,个输入，当只有一个输入时可忽略。
num,den,=ss2tf(A,B,C,D,）,num=,1.0000 5.0000 2.0000,den=,1 2 1,z,p,k,=ss2zp(A,B,C,D),z=-4.5616 p=-1 k=1,-0.4384 -1,2,）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型如下，求其状态空间模型,解：,num=0 0-2;0-1-5;1 2 0;den=1 6 11 6;,A,B,C,D=tf2ss(num,den),A=-6 -11 -6 B=1 C=0 0 -2 D=0,1 0 0 0 0 -1 -5 0,0 1 0 0 1 2 0 0,3,）系统的零极点增益模型如下，试求其传递函数模型及状态空间模型：,解：命令如下：,z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;,num,den,=zp2tf(z,p,k),num=0 0 6 18 den=1 8 17 10,a,b,c,d,=zp2ss(z,p,k),a=-1.0000 0 0 b=1,2.0000-7.0000-3.1623 1,0 3.1623 0 0,c=0 0 1.8974 d=0,注意：零极点的输入可以写成行向量，也可以写成列向量。
3.4,、系统模型的连接,系统模型之间的并联分,SISO,系统模型的并联和,MIMO,系统模型的并联,1,、并联：,parallel,sys=parallel(sys1,sys2),：两个,SISO,系统模型的并联,sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2),：生成两个,MIMO,系统的并联模型，并联输入端口由向量,in1,和,in2,定义，并联的输出端口由向量,out1,和,out2,定义in1,和,out1,对应,sys1,用于并联的输入、输出端口向量，,in2,和,out2,对应,sys2,用于并联的输入、输出端口向量MALTAB,提供了求取子系统模型并联的函数,parallel,（），,其调用格式如下：,【,例,】,在上图所示的,SISO,系统并联模型结构中，已知,sys1,、,sys2,的传递函数分别为：,s=,tf(s,);%,定义拉普拉斯变量,s,sys1=(s+1)/(s*(s2+s+2);%,定义,SISO,系统,sys1,的传递函数模型,sys2=5/(5*s+1);%,定义,SISO,系统的,sys2,的传递函数模型,disp,(,并联系统模型为,),sys=parallel(sys1,sys2)%,生成,sys1,与,sys2,的并联模型,执行上述命令后在,Command Windows,得如下结果：,并联系统模型为,Transfer function:,5 s3+10 s2+16 s+1,-,5 s4+6 s3+11 s2+2 s,2,、串联：,series,子系统之间的串连分,SISO,系统模型的串连和,MIMO,系统,模型的串连,函数调用格式：,sys=series(sys1,sys2),：求,SISO,系统,sys1,和,sys2,的串连模型,sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2):,求,MIMO,系统的串连，其中,outputs1,为,sys1,的输出端口数，,inputs2,为,sys2,的输入端口数。
若,MIMO,系统有多个连接，在,outputs1,和,inputs2,为同维数向量2,、串联：,series,在上图所示的,SISO,系统并联模型结构中，已知,sys1,、,sys2,的传递函数分别为：,G1=tf(1 1,1 1 2);,G2=tf(5,2 1),Sys=series(G1,G2),Transfer function:,5 s+5,-,2 s3+3 s2+5 s+2,结果如下：,3,、反馈：,feedback,系统模型的反馈连接分,SISO,系统模型反馈连接和,MIMO,系统模型反馈连接,sys=feedback(sys1,sys2,sign),：,生,SISO,系统,sys1,与,sys2,构成的反馈系统传递函数模型，,sys2,为反馈通道传递函数模型，反馈类型由,sign,指定，当,sign=1,为正反馈，当,sign=-1,为负反馈，此时,sign,可省略sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign),：生成,MIMO,系统的部分反馈模型，,feedin,指定,sys1,中连入反馈回路的输入端口向量Feedout,指定,sys1,中连入反恐回路中的输出端口向量。
feedback,（）调用格式,注意：。