琴生不等式的高维推广

1琴生不等式的高维推广李世杰 吴光耀 (衢州市教育局教研室 浙江 324002 ) 单保良 (衢州职业技术学院，浙江 324000 ) 摘摘 要要：将琴生(Jensen)不等式作了高维推广，并由它得到了 m 维空间的一系列不同类 型的函数不等式，它们是算术——几何平均值不等式、柯西不等式等的联合推广.关键词关键词：琴生不等式，函数不等式，高维推广.Higher Dimensional Generalization of Jensen Inequality Li Shijie Wu Guangyao （Department of Teaching Research，Quzhou Education Committee，Zhejiang， 324002，China） Dan Baoliang （Quzhou College of Vocational Techuology，Zhejiang， 324000，China）Abstract：The higher dimensional generalization of Jensen’ inequality is established. As by-products, a series of different function inequalities on m-dimensional space is obtained which extend the A-G mean inequality and Cauchy’s inequality. Key words：Jensen’ inequality； function inequality；higher dimensional generalization1．引言 1905 年，丹麦数学家琴生（Jensen ，1859－1925）证明了如下著名的琴生不等式[1]： 设 f (x)是定义在实数集 M 上的函数，且对任意的 xl、x2 ∈M，都有， (1.1)  12 1222xxf xf xf 则对任意的 xi ∈M（i = 1，2，…，n） ，有， (1.2) 111nnii iif xnfxn在文[2]中，李世杰证明了如下的“母”函数不等式： 设 f (x)的定义域为 M（M 为[a，b]，或（a，b） ，或无穷区间） ，(x)是 M 上的连续函 数，且存在反函数．若对任意的 xl、x2 ∈M，都有， (1.3)    121 1222xxf xf xf 则对任意的 xi ∈M（i = 1，2，…，n） ，有， (1.4)   1111nnii iif xnfxn若 (1.3) 中等式成立的条件是 x1=x2，则 (1.4) 中等式成立的条件是 x1= x2 = …=xn．本文下面先给出不等式 (1.4) 的一个高维推广，为方便计，引入下列记号: 设 M = M1×M2×…×Mm（Mi为 [ai，bi]，或（ai，bi） ，或无穷区间，m≥1）. 特别地，收稿日期： [作者简介]：李世杰， (1960-)，男，浙江东阳人，汉,中学高级教师，理学士, 研究方向：解析不等式及数学教学 若 Mi = R+ = ，i = 1，2，…，m，则 M 记作. [0,)mR2对于，表示 m 维向量:12,,,, 1,2,,iiiimXxxxM inLL11nii iX  111 111222 111,,,nnniiiimimim iiixxxL其它符号意义依次类推.2．主要结论 定理 1 设 f (X)的定义域为 M， i (x)是定义在 Mi上的连续函数，且存在反函数，i =  1，2，…，m．若对X1、X2∈M，，和常数，都有[0,1](1,2)ipi121ppβR， 且1 1122()()pXpXM， (2.1)1 11221122()()()()p f Xp f XfpXpX等式成立的条件是 X1=X2. 则对Xi∈M ( ，n≥2 )，，1,2,,inL[0,1](1,2,, )ipinL，都有11ni ip(2.2) 11221111ppniin i ii iii i ni npX p fXfpp      这里 p 是满足的整数，，(2.2)中等式成立的条件是122ppn(1,2,,2 )p ipRinnLX1=X2 = …=Xn． 下面用反向数学归纳法证明这一不等式. 证明 首先证明 n =2 p ( p∈N，p≥2 ) 时，结论成立. 当 n = 2 时，由 (2.1) 及其等式成立的条件知结论成立. 假设 n =2 k ( k∈N，k≥2 ) 时，结论成立，即对 Xi∈M ()，有1,2,,2ki L， (2.3)2211()kkiii iip f Xp21112()kkiiiiiX fpp       等式成立的条件是 X1=X2 = …=. 则对 Xi ∈M ( )，有2kX121,22,,2kkkiL， (2.4)11222121kkkkiii iip fXp112112221()kkkkii ii iX fpp       等式成立的条件是 …．2122kkXX12kX又根据 n = 2 时的结论，在 (2.1) 中作置换3，，121121()kkii ii iX Xpp       112221211 2()kkkkiiiiippX X        可得+1212211()kkki iii ii ip fpXp       1112 222121121()kkkkkkiii ii i iXp ppf        111111222 1212 222211112122111()()kkkkkkkkkkkkiiii ii i i iiiiii iiiiiipppp p ppppXX f      即+， (2.5)1212211()kkki iii ii ip fpXp       1112 222121121()kkkkkkiii ii i iXp ppf        1112221111()kkki i i ii iiX fp pp        等式成立的条件是，12112 ()kkii ii ippX         112221211()kkkki iiiipXp       .联合(2.3)、(2.4)、(2.5)得(2.6)1111222211111() ()kkkkiiii ii i i iip p fpXpXf      等式成立的条件是 ，11112222111122221221122()()kkkkkkkkkkii iiii iiiippXXXXXppXXX       LL由于存在反函数，必一一对应，故由上面方程组可推得不等式 (2.6)中等式成立的条件( )ix是 X1=X 2 = …=．因此对 n =2 p ( p∈N，p≥2 )结论恒成立.12kX4当时，前面已证成立结论:2pn (2.7)2211()ppiii iip f Xp21112()ppiiiiiX fpp       当时，取 Xn+1=Xn +2 = …，则122ppn1121 22()pppi iii iXppX        Xn+1=Xn +2 = …，代入（2.7）式化简后即可得到（2.2）式. 11 22211pppnii iii ii npX Xpp    综上，我们就证明了不等式（2.2）结论对 n≥2 恒成立. 定理 2 设 f (X)的定义域为 M， i (x)是定义在 Mi上的连续函数，且存在反函数，i = 1，2，…，m．若对X1、X2∈M 和常数，都有，且βR112()() 2XXM， (2.8)112 12()()()()22XXf Xf Xf等式成立的条件是 X1=X2. 则对Xi∈M ( ，n≥2 )，有1,2,,inL(2.9)1111 22nniipp iifXnfXn这里 p 是满足的整数，(2.9)中等式成立的条件是 X1=X2 = …=Xn．122ppn 证明 与定理 1 相似，首先证明 n =2 p ( p∈N，p≥2 ) 时结论成立，再如对(2.7)式取特 值，即可获证，过程略去. 定理 3 设 f (X)的定义域为 M， i (x)是定义在 Mi上的连续函数，且存在反函数，i =  1，2，…，m．若对X1、X2∈M，和常数，都有(1,2,, )ipRinLβR，且112()() 2XXM， 111221212()()()() 2p f Xp f XXXfpp等式成立的条件是 X1＝X2. 则对任意的 Xi∈M ( ，n≥2 )，有1,2,,inL 11111 22niin i inpp i i ip。