阶微分方程的解的存在性定理

第三章第三章 一阶微分方程的解的存一阶微分方程的解的存在性定理在性定理§ 3.1 § 3.1 解的存在唯一性定理和解的存在唯一性定理和逐步逼近法逐步逼近法 /Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/ •概念和定义•存在唯一性定理内容提要内容提要/Constant Abstract/§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method•本节要求本节要求/Requirements/  掌握逐步逼近逐步逼近方法的本思想  深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method一一 、概念与定义、概念与定义/Concept and Definition//Concept and Definition/1. 1. 一阶方程的初值问题一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示表示§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method2. 2. 利普希兹条件利普希兹条件 函数称为在矩形域 :…………(3.1.5)关于 y 满足利普希兹利普希兹 (Lipschitz) (Lipschitz)条件条件，如果存在常数 L>0 使得不等式 对所有都成立。

L 称为利普希兹常数 § 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method二二 、存在唯一性定理、存在唯一性定理 定理定理1 1如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件, 则方程(3.1.1)存在唯一的连续解 定义在区间 , 且满足初始条件这里§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method定理定理1 1的证明的证明需要证明五个命题需要证明五个命题：  命题 1 求解微分方程的初值问题等价于 求解一个积分方程  命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列  命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛  命题 4 证明此收敛的极限函数为所求 初值问题的解  命题 5 证明唯一性§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method定理定理1 1的证明的证明命题命题1 1 设是初值问题的解的充要条件是是积分方程……(3.1.6) 的定义于上的连续解。

证明证明: :•微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）•积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method证证 明明因为是方程(3.1.1)的解，故有:两边从积分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是积分方程在 上的连续解. § 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method反之，如果是 (3.1.6) 的连续解，则有：………(3.1.8)微分之，得到:又把 代入(3.1.8)，得到:因此， 是方程(3.1.1)定义于上，且满足初始条件(3.1.2)的解命题命题1 1证毕证毕.同理，可证在也成立§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodxyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method命题命题2 2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 在上有定义、连续，即满足不等式: 证证 明明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）当 n =1 时,§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method即命题2 当 n=1 时成立。

现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立 即 当 n=k 时，在也就是满足不等式在上有定义,连续上有定义，连续，而当 n=k+1 时，上有定义，连续在§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method  即命题２在 n=k＋１时也成立 由数学归纳法得知命题２对于所有 n 均成立命题３命题３在上是一致收敛的命题２证毕命题２证毕函数序列考虑级数:它的部分和为：§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method设对于正整数 n , 不等式成立， 于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计:§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method由此可知，当时(3.1.14)的右端是正项收敛级数的一般项， 由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11) 在上一致收敛, 因而序列也在上一致收敛。

命题命题3 3证毕证毕§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method则也在又可知现设上连续，且由(3.1.10) 命题命题4 4 是积分方程(3.1.6)的定义于证证 明明: :由利普希兹条件以及在上一致收敛于 上的连续解§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:即即知序列在一致收敛这就是说,是积分方程(3.1.16)的定义于上的连续解命题命题4 4 证毕证毕§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method命题命题5 5也是积分方程(3.1.6)的定义于 上的一个连续解, 则证明证明若首先证明也是序列的一致收敛极限函数为此，从进行如下的估计 § 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method现设则有§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method有故由数学归纳法得知对于所有的正整数 n ，有下面的估计式§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method因此，在上有:是收敛级数的公项, 故时 因而在 上一致收敛于 根据极限的唯一性， 即得:命题命题5 5证毕证毕综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。

§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method例例求初值问题 的第三次近似解§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method附附 注注/Remark//Remark/1）如果在 R 上存在且连续, 则 f (x,y) 在R上关于 y 满足利普希兹条件，反之不成立证在 R 上连续，则在 R 上有界，记为L由中值定理故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method这条件是充分条件，而非必要条件例例1R 为中心在原点的矩形域但故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件在 R 上存在且有界 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件在 R 上存在且无界 f(x,y) 在 R 上关于 y 不满足利普希兹条件§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method2)定理1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在唯一的充分条件，而非必要条件。

例例2 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method例例3 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipscitz 条件，但解存在唯一不可能有界§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodxy§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method 例例4 4 设方程(3.1)为线性方程则当 P(x),Q(x) 在区间 上连续，则由任一初值所确定的解在整个区间上都存在3）若f (x,y)在带域 中连续，且对 y 满足Lipschitz条件，则在整个区间 中存在唯一满足条件 的方程 的解 。

记§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method4) 4) 一阶隐式方程的解的存在唯一性一阶隐式方程的解的存在唯一性定理 2如果在点 的某一邻域中， 对所有的变元 连续，且存在连续的偏导数；则上述初值问题的解在 的某一邻域存在§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method事实上，由条件知 所确定的隐函数 在 邻域内存在且连续，且 在 邻域内连续，在以 为中心的某一闭矩形区域 D 中有界，所以 f(x,y) 在D 中关于 y 满足Lipschitz条件由解的存在唯一性定理，的解 y(x) 存在唯一，存在区间中的 h 可足够小。

同时，有§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method三三 、、 近似计算和误差估近似计算和误差估计计 第第 n 次近似解次近似解第第 n 次近似解的误差公式次近似解的误差公式§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method例例4 4方程 定义在矩形域试确定经过点(0,0) 的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05 的近似解的表达式解解满足解的存在唯一性定理的条件Lipschitz 常数取为 L=2 ，，因为 § 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method§ 3.1 E 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method思考：思考：1、 求方程 ，满足条件的解的最大存在区间，即 h 的最大值。

2、证明下列初值问题的解在指定的区间上存在且唯一：§ 3.2 § 3.2 解的延拓定理解的延拓定理/ Theorem on extension of solution/  解的延拓的引入  解的延拓定理及其推论内容提要内容提要/Constant Abstract/本节要求本节要求/Requirements/   理解解的延拓方法   会应用解的延拓性定理估计解的存在区间§ 3.2 Extension Theorem一一 、、 解的延拓的引入解的延拓的引入1 1 局部利普希兹条件局部利普希兹条件右端函数 f ( x, y ) 在某一有界区域G 中有意义 如果称 f ( x, y )在G 内满足局部利普希兹条件，即对 区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域R，在 R 上 f ( (x, y) ) 满足利普希兹条件注意：点不同，域 R 大小和常数 L 可能不同）§ 3.2 Extension Theorem2 解的延拓解的延拓设是的解，若也是初值问题的解，，当 时，则称解 是解在区间上的延拓延拓。

§ 3.2 Extension Theorem3 延拓方法§ 3.2 Extension Theorem二、二、 解的延拓定理及其推论解的延拓定理及其推论1 1 解的延拓定理解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函数在有界区域 G中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么 方程(3.1)通过G 内任何一点 的解可以延拓 直到点任意接近区域G 的边界 以向 x 增大的一方的延拓来说，如果 只能延拓的区间上，则当时， 趋近于区域 G 的边界§ 3.2 Extension Theorem2 2 推论推论如果 G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下, 方程(3.1)的通过点的解 以向 x 增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况: 可以延拓，(1) 解可以延拓到区间(2) 解只可以延拓到区间其中m 为有限数，则当 时，或者 无界，或者 趋于区域 G 的边界§ 3.2 Extension Theorem 例例1 1讨论方程以及通过点 (ln2,-3) 的解的存在区间解解的通过点(0,0)的解方程右端函数在整个 x y 平面上满足解的存在唯一 性定理及解的延拓定理的条件。

方程的通解为通过点(0,0)的解为其存在区间为通过点(ln2,-3)的解为其存在区间为§ 3.2 Extension Theorem-3(ln2,-3) -1 x y 1 ln2 但向左方只能延拓到 0, 过点(ln2,-3)的解向右可以延拓到因为当时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况注意注意：(无界)§ 3.2 Extension Theorem 例例2 2讨论方程的解的存在区间满足条件方程右端函数右半平面 x > 0 上定义且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件解解通过点(1,0)的解为其存在区间为，但向左方只能延拓到 0, 向右可以延拓到因为当时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况趋于G的边界 y=0 )§ 3.2 Extension Theorem练习练习1 讨论方程的解的存在区间上满足条件在§ 3.2 Extension Theorem练习练习1 讨论方程的解的存在区间上满足条件在§ 3.2 Extension Theorem§3.3 解对初值的连续性和可微性/Continuous and differentiable dependence of the solutions/   解对初值的连续性解对初值的连续性  解对初值的可微性解对初值的可微性本节要求本节要求：： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；了解解对初值及参数的连续依赖性定理； 2 了解解对初值及参数的可微性定理。

了解解对初值及参数的可微性定理内容提要内容提要§3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability3.3.1 解对初值的对称性定理解对初值的对称性定理设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，是初值问题的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式§3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability3.3.2解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，是初值问题的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数， 使得当时，方程满足条件 的解在区间也有定义，并且§3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability引理引理 如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式其中 为所考虑区间内的某一值。

§3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability（二）解对初值的连续依赖性（二）解对初值的连续依赖性断言，必存在这样的正数使得只要 满足不等式则解 必然在区间 也有定义由于D是有界闭区域，且 f (x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上设它在D的边界上的点为这是必然有§3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability因为否则设 则由引理由 的连续性，对必存在使得当 时有取则当§3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability于是对一切 成立，特别地有即点均落在D的内部，而不可能位于D的边界上。

与假设矛盾，因此，解 在区间[a,b]上有定义§3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability在不等式中，将区间[c，d]换为[a，b] ，可知 ，当时，有定理得证§3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，则方程§3.3 Continuity & differentiability Continuity & differentiability3.4 奇解奇解包络和奇解包络和奇解克莱罗方程（克莱罗方程（Clairant EquationClairant Equation））本节要求：本节要求：1了解奇解的意义；22 掌握求奇解的方法主要内容主要内容一一 包络和奇解的定义包络和奇解的定义曲线族的包络：曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。

奇解：奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解奇解 注注：奇解上每一点都有方程的另一解存在例 单参数曲线族R是常数，c是参数xyo显然，是曲线族 的包络 一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的二二 求奇解（包络线）的方法求奇解（包络线）的方法l C-判别曲线法判别曲线法l P-判别曲线法判别曲线法设一阶方程的通积分为1 C-判别曲线法判别曲线法结论结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组消去 C 而得到的曲线中设由能确定出曲线为则对参数 C 求导数从而得到恒等式当至少有一个不为零时有或这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C),y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切注意：注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。

检验例例1 求直线族的包络，这里 是参数，p 是常数解：解：对参数 求导数联立相加，得，经检验，其是所求包络线xyop例例2 求直线族的包络，这里 c 是参数解：解：对参数 c 求导数联立得从 得到从 得到因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验， 是所求包络线xyo2 p-判别曲线判别曲线结论结论：方程 的奇解包含在下列方程组消去 p 而得到的曲线中注意：注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验例例3 求方程的奇解解：解： 从消去 p，得到 p-判别曲线经检验，它们是方程的奇解因为易求得原方程的通解为而 是方程的解，且正好是通解的包络例例4 求方程的奇解解：解： 从消去 p，得到 p-判别曲线经检验， 不是方程的解，故此方程没有奇解注意：注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判判别曲线和别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。

判别曲线是不是奇解，必需进行检验 3 克莱罗方程克莱罗方程形式其中是 p 的连续函数解法解法通解奇解例例5 求解方程解：解： 这是克莱罗方程，因而其通解为消去 c，得到奇解从例例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2解解 设要求的曲线为过曲线任上一点 的切线方程为其与坐标轴的交点为切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为这是克莱罗方程，因而其通解为消去 c，得到奇解从这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。