⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b b a a A 110 101 000 001 §§2.4 矩阵分块法矩阵分块法 一、矩阵的分块一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵A, 为了简化运算为了简化运算, 经 常采用 经 常采用分块法分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 具 体做法是 具 体做法是: 用若干条纵线和横线将矩阵用若干条纵线和横线将矩阵A分成许多个小 矩阵 分成许多个小 矩阵, 每一个小矩阵称为矩阵每一个小矩阵称为矩阵A的的子块子块, 以子块为元素 的 以子块为元素 的形式上形式上的矩阵称为的矩阵称为分块矩阵分块矩阵. . 3 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = B B B 例如例如: ),001( 1 aB = =, 101 000 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = b a B).110( 3 bB = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b b a a A 110 101 000 001 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b b a a A 110 101 000 001 , ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎝ ⎛ = BE OA ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a a A 0 1⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = b b B 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 10 01 E⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 00 00 O ( () ), 4321 AAAA= = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 0 1 a A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 2 a A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 3 b A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b A 1 0 0 4 其中其中 其中其中 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b b a a A 110 101 000 001 , 43 21 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = CC CC . 1 1 00 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b bC, 10 01 0 3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = a C),00( 2 = =C),1( 1 aC = = 其中其中 二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = srs r srs r BB BB B AA AA A ? ?? ? ? ?? ? 1 111 1 111 , (1) 分块矩阵的加法分块矩阵的加法: 设矩阵设矩阵A与与B是同型的是同型的, 按相 同的分块法 按相 同的分块法, 有 其中子块 有 其中子块Aij与与Bij是同型的是同型的( i=1,2,···, s ; j=1,2,···, r ), 则则 . 11 111111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + ++ + =+=+ srsrss rr BABA BABA BA ? ?? ? , 1 111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = srs r AA AA A ? ?? ? . 1 111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = srs r AA AA A λλλλ λ λλ λ λ λ ? ?? ? (2) 分块矩阵的数乘分块矩阵的数乘: 设λ为数设λ为数, 矩阵 则 矩阵 则 ,, 1 111 1 111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = trt r sts t BB BB B AA AA A ? ?? ? ? ?? ? (3) 分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法:设设A为为m× ×l 矩阵矩阵, B为为l× ×n矩阵矩阵, 分块为分块为 , 1 111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞⎛⎞⎛ CC? 其中其中Ai1, Ai2, ···, Ait的列数分别等于的列数分别等于B1j, B2j, ···, Btj的行 数 的行 数, 则则 ⎜ ⎜ ⎝ = ⎜ ⎜ ⎝ = srs r CC AB ? ?? kj t k ikij BAC ∑ ∑ = = = = 1 其中其中( i=1, 2, ···, s ; j=1, 2, ···, r ). 例例1: 设设, 1011 0121 0010 0001 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =A, 0211 1401 1021 0101 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − =B 求求AB. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 10 01 10 01 A 00 00 11 21− − , ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = E E O 1 A 解解: 把把A, B分块成 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 分块成 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − = 0211 1401 1021 0101 B⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎜ ⎝ ⎛ = 2221 11 BB EB ⎟ ⎟则则 ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2221 11 1 BB EB EA OE AB. 22121111 11 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ = BABBA EB 而而 21111 BBA+⎟+⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− +⎟⎜ ⎝ ⎛ −− +⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛− − = = 11 01 21 01 11 21 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− +⎟⎜ ⎝ ⎛ −− +⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛− − = = 11 01 20 43 , 11 42 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎜ ⎝ ⎛ − − − = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛− − =+=+ 02 14 11 21 221 BA, 13 33 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎝ ⎛ = . 1311 3342 1021 0101 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 于是于是 ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − =AB , 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = sr A A A ? ?? ? r A1 1s A . 1 111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = T sr T r T s T T AA AA A ? ?? ? . 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = T sr T T A A A ? ?? ? T s A 1 T r A1 (4) 设设 则则 , 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = s A A A A ? O O 则称则称A为为分块对角矩阵分块对角矩阵, 或或准对角矩阵准对角矩阵. (5) 设设A为为n阶方阵阶方阵, 若若A的分块矩阵除对角线上的 子块为方阵外 的分块矩阵除对角线上的 子块为方阵外, 其余子块均为零矩阵其余子块均为零矩阵, 即即 1.|A|=|A1 ||A2 |···|As |. 2. 设分块对角矩阵设分块对角矩阵A, 若若|Ai |≠ ≠0 (i=1,2,···,s), , 1 1 2 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − − − − s A A A A ? O O 则则| A|≠ ≠0, 且且, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ss BOO OBO OOB AOO OAO OOA ? ???? ? ? ? ???? ? ? 2 1 2 1 . 22 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 3. ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ssB AOO OBAO OOBA ? ???? ? ? 分块对角矩阵具有下述性质分块对角矩阵具有下述性质: , 100 100 000 001 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b b a a A, 100 000 001 000 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b b a a B例例2: 设 求 设 求A+B, ABA. 解解: 将将A, B分块 ⎟ ⎟ ⎟ 分块 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b b a a A 100 100 000 001 , 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = AO OA , 0 1 1 ⎟ ⎟其中其中 ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a a A; 1 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = b b A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b b a a B 100 000 001 000 , 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = BO OB , 1 0 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a a B. 1 0 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = b b B ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =+ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =+ 2 1 2 1 BO OB AO OA BA, 22 11 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = = BAO OBA ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =+⎜ ⎝ ⎛ =+ a a a a BA 1 0 0 1 11 , 21 12 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎝ ⎛ = a a ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =+⎜ ⎝ ⎛ =+ b b b b BA 1 0 1 1 22 , 22 12 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎝ ⎛ = 。