目录1 .引言 2 .利用平行四边形性质添加平行线证题 3 .利用圆中的等量关系巧作辅助圆证题 4 .利用平移、旋转，翻折，几何证明中的三种基本变换证题5 . 反证法证题 6 .巧用面积法解几何题 结论 参考文献 致谢 平面几何证明题的常用技巧 数学计算机科学学院摘 要 灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径解决任何一道平面几何证明题，都要应用这样或那样的方法，而选择哪一种方法，就取决于我们用什么样的解题思路本文试对平面几何 证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析关键词】平面几何 证明题 思路 技巧The plane geometry proving the commonly usedskillCollege of Mathematics and Computer ScienceAbstract： Flexible, properly choose the problem solving method is a goodway of solving plane geometry. Any solve a plane geometry proving, one way or the other method, and the choice of which method, it depends on what kind of way we use. This article try to plane geometry proving that is commonly used in several problem-solving ideas and methods are analyzed.Key words: Plane geometry To prove the topic Train of thought skills1引言平面几何难学，是很多初中生在学习中的共识 ，这里面包含了很多主观和客观因素 ，而学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。
波利亚曾说过，“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒 为了辨别哪一条思路正确，哪一个方向可接近它，就要试探各种方向和思路由此可见，掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的 数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键2利用平行四边形性质添加平行线证题在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的，也 是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时，若能依据证题的需要，添加恰当 的平行线，则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题，一般有如下四种情况.为了改变角的位置大家知道 , 两条平行直线被第三条直线所截 , 同位角相等 , 内错角相等 , 同旁内角互补 . 利用这些性质 , 常可通过添加平行线 , 将某些角的位置改变 , 以满足求解的需要 .例1设P、Q为线段BC上两点，且B之CQA为BC外一动点（如图1）.当点A运动到使/ BAP= / CAQ寸,△ ABC®什么三角形？试证明你的结论 .答：当点A运动到使/ BAP= /CAQt 4ABg等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AG AQ的平行线得交点连结DA在△ DB左 / AQ5 ,显然/ DB邑 / AQC/ DP氏 / C.由 BP= CQ可知 z\DBPiAAQ（C有 DP= AC / BD母 / QAC于是，DA// BP / BAP= / BDP则A、n B、P四点共圆，且四边形ADBF%等腰梯形.故A五DP所以A五AC这里，通过作平行线，将/QAC"平推''到/ BDP的位置.由于A D B、P四 点共圆 , 使证明很顺畅 .例2如图2,四边形ABC师平行四边形，/ BA三 / BCE 求证：/ EBA= / ADE证明：如图2,分别过点A、B作ED EC的平行线 , 得交点 P, 连 PE.由 AB CD ,易知△ PBA^△ ECD有PA= EQPB= EC显然，四边形PBCE PADE匀为平行四边形.有/ BC羡 / BPE / APE= / ADE由/ BA三/ BCE可知 / BA曰/ BPE有 P、 B、 A、 E 四点共圆 .于是，/EBA= /APE 所以，/EB阵 /ADE这里 , 通过添加平行线 , 使已知与未知中的四个角通过 P、 B、 A、 E 四点共圆 ,紧密联系起来./ APE成为/ EBA与/ AD/目等的媒介，证法很巧妙.为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等” 、 “夹在平行线间的平行线段相等”这两条 , 常可通过添加平行线 , 将某些线段“送”到恰当位置 , 以证题 .例3在△ ABC中，BD CE为角平分线，P为ED上任意一点.过P分别作AC AR BC的垂线，M N、Q为垂足.求证：PMb PN= PQ证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD 于F,过点F作BC的平行线分别交PQ AC 于 K、 G, 连 PG.由BD平行/ ABC可知点F至U AB BC两边距离相等.有KQ= PN显然，空=EF = CG ,可知PG// ECPD FD GD由CE平分/ BCA知GP平分/ FGA有PK= PM于是，PW PN= PK+ K岸 PQ这里,通过添加平行线，将PQ'掐开”成两段,证得P阵PK就有PnPN= PQ 证法非常简捷.为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线段成比例”，在一些问 题中，可以通过添加平行线，实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是 会经常遇到的.例4 设M、M是△ABC勺BC边上的点，且BM= CM任作一直线分别交 AR AC.AM、AM于P、Q N、凡.试证：AB AC AMi AM21 2 .AP AQ AN1 AN2证明：如图4,若PQ/ BC易证结论成立.若PQ与PQP旧PKPnPN= PQM、M△ ABCBCBM= CM.AR AC AM AMP、Q N、NAB , AC AMi , AM2.AP AQ AN1 AN2PQ// BCPQ与BC不平行,设PQ交直线BC于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于 E.由 BM= CM 可知 BE+ CE= ME+ME,易知AB BE AC CEAP DE , AQ DE ,AM1 M1E AM2 M2E二 , 二 .ANi DE AN2 DE则空+处=AP AQ所以,AB । AC AM1一十——二 AP AQ AN1AM2丽AM2AN?BE CE _ M1E M2E _ AM1DE DE AN?这里,仅仅添加了一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分”，使公分母 为DE于是问题迎刃而解.例5 ADb^△ ABC勺高线，K为AD上一点，BK交AC于E, CK交AB于F.求证：/ FDA =/ EDA证明：如图5,过点A作BC的平行线，分别交直线DE DF、BE CF于Q P、N、M显然，四=2=匹AN KA AM 有 BD- A阵 DC- AN(2)⑶由空="=也 有AP= BDAMBD FB BC ' BC由处=些=网， 有人工堂N .DC EC BC BC对比（1）、（2）、（3）有AP= AQ显然AD为PQ的中垂线，故AD平分/ PDQ所以，/FDA= /EDA这里,原题并未涉及线段比，添加BC的平行线，就有大量的比例式产生，恰当 地运用这些比例式，就使AP与AQ的相等关系显现出来.为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时，应注意到平行线等分线段定理，用平 行线将线段相等的关系传递开去.例6 在4ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且/MD降90° .如果 bM+ cN= dM+ dN,求证：aD=1（A戌+ AC）.4证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND延长线于E.连ME由BD= DC可知ED= DN有△ BED^△ CND 于是，BE= NC显然，MM EN的中垂线.有E阵MN由 bM+ b^= bM+ nC= mD+ dN= mN= eM,可知△ be©直角三角形，/ mbe = 90° .有/ABO /ACB = /ABO / EB生 90° .2于是，/BA生 90° . 所以，AD= 1BC =1（A4+ AC）.2 4这里,添加AC的平行线，将BC的以D为中点的性质传递给EN使解题找到出 路.例7如图7, AB为半圆直径,D为AB上一点, 分别在半圆上取点E、F,使EA= DA FB= DB过D作AB的垂线,交半圆于C.求证: CDF分 EF证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线，G H为垂足，连FA EB易知 dB=fB"=ab- hb AD=AE = AG- AB二式相减，得 dB— AE2 = AB・(HB-AG, 或(DB-AE) - AB= AB- (HB-Aq. 于是，DB-A4HB-AG 或 DB- HB= AD^ AG就是 D+ GD 显然，EG// CD// FH 故 CD^分 EF.这里，为证明CD平分EF想到可先证CD平分GH为此添加CD的两条平行线 EG FH从而得到G H两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等，在该直线的平行直线上截得的线 段也相等.如图8,三直线AR AN AC构成一组直线束，DE是与BC平行的直线.于是,DM AM ME = = , BN AN NC日口 DM ME — DM BN. BN NC ME NC此式表明，DW ME的充要条件是 BN= NC利用平行线的这一性质，解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8如图9, ABCM四边形，两组对边延长 后得交点E、F,对角线BD// EF AC的延长 线交EF于G求证：E①GF 证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AE AF于M N由BD// EF可知MN/ BD易知S>ABEI= & DEF. 有 S>A BEC= S»A n KG- *5 n DFC 可得MC= CN 所以，E五GF例9 如图10,。
是△ ABC的边BC外的旁切圆，D E、F分别为与BG CA AB的切点.若EF相交于K求证：AK平分BC证明：如图10,过点K作BC的行平线分别交直线AR AC于Q P两点，连OR OQOE OF由ODL BC可知OQ PQ由OF! AB可知K、F、Q四点共圆，有/FO2/ FKQ由OE! AC可知Q K、P、E四点共圆.有/EOP= / EKP显然,/ FKCU / EKP 可知 / FO(Q= E EOP由鼻OE可知 Rt AOFQ2RtAOEP 则 O&OP于是，OK为PQ的中垂线，故Q£KP 所以，AK平分BC综上，我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用 .同学们在实践中应注意 适时添加平行线，让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.3利用圆中的等量关系巧作辅助圆在某些数学问题中，巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系 ，通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆的若干思路.挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”，此时若能把握问题提供的信 息，恰当补出辅助圆，并合理挖。