精品文档 精品文档 第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1 柱面 1、已知柱面的准线为： 02 25)2()3() 1( 222 zyx zyx 且（ 1）母线平行于x轴； （2）母线平行于直线czyx,，试求这些柱面的方程 解： （1）从方程 02 25)2()3() 1( 222 zyx zyx 中消去 x，得到： 25)2()3()3( 222 zyyz 即：0 2 3 56 22 zyyzzy 此即为要求的柱面方程 （2）取准线上一点),,( 0000 zyxM，过 0 M且平行于直线 cz yx 的直线方程为： zz tyy txx zz tyy txx 0 0 0 0 0 0 而 0 M在准线上，所以 022 25)2()3() 1( 222 tzyx ztytx 上式中消去t后得到：02688823 222 zyxxyzyx 此即为要求的柱面方程 2、设柱面的准线为 zx zyx 2 22 ，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程 解：由题意知：母线平行于矢量2, 0, 1 任取准线上一点),,( 0000 zyxM，过 0 M的母线方程为： tzz yy txx tzz yy txx 22 0 0 0 0 0 0 精品文档 精品文档 而 0 M在准线上，所以： )2(2 )2( 22 tztx tzytx 消去t，得到：010204254 222 zxxzzyx 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211, 11,zyxzyxzyx与的圆柱面方程 解 ： 过 原 点 且 垂 直 于 已 知 三 直 线 的 平 面 为0zyx： 它 与 已 知 直 线 的 交 点 为 ) 3 4 , 3 1 , 3 1 (),1,0, 1(,0,0,0， 这 三 点 所 定 的 在 平 面0zyx上 的 圆 的 圆 心 为 ) 15 13 , 15 11 , 15 2 ( 0 M，圆的方程为： 0 75 98 ) 15 13 () 15 11 () 15 2 ( 222 zyx zyx 此即为欲求的圆柱面的准线 又过准线上一点),,( 1111 zyxM，且方向为1, 1, 1的直线方程为： tzz tyy txx tzz tyy txx 1 1 1 1 1 1 将此式代入准线方程，并消去t得到： 013112)(5 222 zyxzxyzxyzyx 此即为所求的圆柱面的方程 4、已知柱面的准线为)(),(),()(uzuyuxu，母线的方向平行于矢量ZYXS,,， 试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： SvuYx)( 与 Zvuzz Yvuyy Xvuxx )( )( )( 式中的vu,为参数。
证明：对柱面上任一点),,(zyxM，过M的母线与准线交于点))(),(),((uzuyuxM，则， 精品文档 精品文档 SvMM 即SvMOOM 亦即SvuYY)(，SvuYY)( 此即为柱面的矢量式参数方程 又若将上述方程用分量表达，即： ZYXvuzuyuxzyx,,)(),(),(,, Zvuzz Yvuyy Xvuxx )( )( )( 此即为柱面的坐标式参数方程 4.2 锥面 1、求顶点在原点，准线为01, 012 2 zyzx的锥面方程 解：设为锥面上任一点),,(zyxM，过M与O的直线为： z Z y Y x X 设其与准线交于),,( 000 ZYX，即存在t，使ztZytYxtX 000 ,,，将它们代入准线 方程，并消去参数t，得： 0)()(2 22 yzyzzx 即：0 222 zyx 此为所要求的锥面方程 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(，准线为0, 1 222 zyxzyx，试求它的方程 解：设),,(zyxM为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为： 2 2 1 1 3 3 z Z y Y x X 令它与准线交于),,( 000ZYX，即存在t，使 精品文档 精品文档 tzZ tyY txX )2(2 ) !(1 )3(3 0 0 0 将它们代入准线方程，并消去t得： 044441026753 222 zyxxzyzxyzyx 此为要求的锥面方程。
4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程 解： （这里仅求、卦限内的圆锥面，其余类推） 圆锥的轴l与kji,,等角，故l的方向数为1:1:1 与l垂直的平面之一令为1zyx 平面1zyx在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点) 1 ,0,0(),0,1 ,0(),0,0,1(， 该圆的圆心为) 3 1 , 3 1 , 3 1 (，故该圆的方程为： 1 ) 3 2 () 3 1 () 3 1 () 3 1 ( 2222 zyx zyx 它即为要求圆锥面的准线 对锥面上任一点),,(zyxM，过M与顶点O的母线为： z Z y Y x X 令它与准线的交点为),,( 000 ZYX，即存在t，使ztZytYxtX 000 ,,，将它们代入 准线方程，并消去t得： 0zxyzxy 此即为要求的圆锥面的方程 5、求顶点为)4,2, 1(，轴与平面022zyx垂直，且经过点)1, 2,3(的圆锥面的方程 解：轴线的方程为： 1 4 2 2 2 1zyx 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为： 0) 1()2(2)3(2zyx 即：01122zyx 精品文档 精品文档 该平面与轴的交点为) 9 37 , 9 20 , 9 11 (，它与)1,2,3(的距离为： 3 116 )1 9 37 ()2 9 20 ()3 9 11 ( 222 d 要求圆锥面的准线为： 01122 9 116 ) 9 37 () 9 20 () 9 11 ( 222 zyx zyx 对锥面上任一点),,(zyxM，过该点与顶点的母线为： 4 4 2 2 1 1 z Z y Y x X 令它与准线的交点为),,( 000 ZYX，即存在t，使,)1(1 0 txX,)2(2 0 tyY tzZ)4(4 0 将它们代入准线方程，并消去t得： 012992525165185252104125151 22 zyxzxyzxyzyx 6、已知锥面的准线为)(),(),()(uzuyuxu，顶点A决定的径矢为 0000 ,,zyx， 试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： 0 ( )(1)vuv ruu uu ru u r 与 0 0 0 ( )(1) ( )(1) ( )(1) xvx uv x yvy uv y zvz uv z 式中，vu,为参数。
证 明 ： 对 锥 面 上 任 一 点),,(zyxM， 令OM uu u u rr ， 它 与 顶 点 A的 连 线 交 准 线 于 ( ( ),( ),( ))Mx uy uz u，即OM ( )u uuu u ruuuu r //AMAM uuuu ruuuu u r Q，且0AM uu uu u r （顶点不在准线上） AMvAM u uuu ru uu u u r 即 00 ( ( ))vu ru u ruu uu ru u r 亦即 0( )(1)vuv ruuuu ru u r 精品文档 精品文档 此为锥面的矢量式参数方程 若将矢量式参数方程用分量表示，即： 000 , , ( ),( ),( )(1),,x y zv x uy uz uvxyz 0 0 0 )1()( )1()( )1()( zvuvzz yvuvyy xvuvxx 此为锥面的坐标式参数方程，vu,为参数 4.3 旋转曲面 1、求下列旋转曲面的方程： （1） ； 111 112 xyz 绕 1 112 xyz 旋转 （2） ； 1 211 xyz 绕 1 112 xyz 旋转 （3） 1 133 xyz 绕z轴旋转； （4）空间曲线 2 22 1 zx xy 绕z轴旋转。
解： （1）设 1111 (,,)Mxy z是母线 111 112 xyz 上任一点，过 1 M的纬圆为： 111 222222 111 ()()2()0(1) (1)(1)(2) xxyyzz xyzxyz 又 1 M在母线上 111 111 112 xyz 从（ 1）（ 3）消去 111 ,,xy z，得到： 222 55224444480 xyzxyyzxzxyz 此为所求的旋转面方程 （2）对母线上任一点 1111 (,,)Mxy z，过 1 M的纬圆为： 111 222222 111 ()()2()0(1) (1)(1)(2) xxyyzz xyzxyz 因 1 M在母线上， 111 1 211 xyz (3) 从（ 1）（ 3）消去 111 ,,xy z，得到： 精品文档 精品文档 222 5523122424242446230 xyzxyyzxzxyz 此为所求的旋转面的方程 （3）对母线上任一点 1111 (,,)Mxy z，过该点的纬圆为： 1 222222 111 (1) (2) zz xyzxyz 又 1 M在母线上，所以： 111 1 133 xyz （3） 从（ 1）（ 3）消去 111 ,,xy z，得到： 222 9()10690 xyzz 此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点 1111 (,,)Mxy z，过 1 M的纬圆为： 1 222222 111 (1) (2) zz xyzxyz 又 1 M在母线上，所以 2 11 22 11 (1) 1(2) zx xy 从（ 1）（ 3）消去 111 ,,xy z，得到： 22 1xy 2 11 101zzxzQ 即旋转面的方程为： 22 1xy(01)z 2、将直线 01 xyz 绕z轴旋转，求这旋转面的方程，并就,可能的值讨论这是什 么曲面？ 解：先求旋转面的方程式： 任取母线上一点 1111 (,,)Mx yz，过 1 M的纬圆为： 1 222222 111 (1) (2) zz xyzxyz 又 111 01 xyz （3） 精品文档 精品文档 p p ))(),(),((uzuyuxM x y z O 从（ 1）（ 3）消去 111 ,,xy z，得到： 22222 0 xyz 此即为所求旋转面的方程 当0,0时，旋转面为圆柱面（以z轴为轴）； 当0,0时，旋转面为圆锥面（以z轴为轴，顶点在原点） ； 当,0时，旋转面变为z轴； 当0,0时，旋转面为单叶旋转双曲面 3、已知曲线的参数方程为 ( ),( ),( )xx uyy uzz u ，将曲线绕z轴旋转， 求旋转曲 面的参数方程。
解：如图，设( ( ),( ), ( ))M x uy uz u为上任一点，则对经过M的纬圆上任一点( , , )p x y z， 令p在xoy面上的射影为p 令( ,)i op r uu u r ，则opopp p ruu ru u u ruu u r ， 而 22 ( )( )opxuyu uu u r 2222 ( )( ) cos( )( ) sinopxuyuixuyuj u u u rrr 而( )p pz u k uuu rr 2222 ( )( ) cos( )( ) sin( )xuyuixuyujz u k rrrr 此即为旋转面的矢量式参数方程，vu,为参数 其坐标式参数方程为： 22 22 ( )( ) cos ( )( ) sin(02 ) ( ) xxuyu yxuyu zz u 4.4 椭球面 1、做出平面20 x与椭球面 222 2 1 494 xyz 的交线的图形 解：平面20 x与椭球面 222 2 1 494 xyz 的交线为： 精品文档 精品文档 z y x zx O 22 3 944 2 yz x ，即 22 1 27 3 4 2 yz x 椭 图形为 2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x的距离的一半，试求此动点的轨迹。
解：设动点( , , )Mx y z，要求的轨迹为，则 2222221 ( , , )(1)434412 2 M x。