画法几何第2讲13(精)

主讲教师：耿春明 1.2 点的投影 1.2.1 点在三投影面体系中的投影 W H V O X a  ——称作点A在Ｖ面上的投影 简称点A的V面投影或正立投影 a ——称作点A在Ｈ面上的投影 简称点A的Ｈ面投影或水平投影 a ——称作点A在W面上的投影 简称点A的W面投影或侧立投影 空间点用大写字 母，点的投影用 小写字母表示 a a a Z Y ● ● ● A ● ● ● ● aX aY aZ A点的立标——A到H面的距离 A点的远标——A到V面的距离 A点的横标——A到W面的距离 思考：点的投影与点的坐标关系？ 空间点A可以表示成A(a，a，a") 1.2.2 点的投影平面表示方法 Y a H aY a aX X V a H aY Y a aY1 Y1 W aZ O Z a W A Y1 aY1 Z Y X Y1 a a aX aY aY1 aZ O a ① aa⊥X轴 ② aaX= aaZ= y =远标 aaX= aaY1= z =立标 aaY= aaZ= x =横标 aa⊥Z轴 点的投影规 律 a (x, z)、a (x, y)、 a (y, z) 一个投影两个坐标 两个投影三个坐标三个投影 坐标正负可区分空间点所在分角 x z y y 作图（投影图、三视图）原则 • 高平齐——立标 Z Y X Y1 a a aX aY aY1 aZ O a b b b bXbY1 • 长对正——横标 • 宽相等——远标 • 此处长、宽、高两种含义： 1）点：点的坐标——轴上刻度 2）线段：端点的坐标差——轴向尺寸 bY bZ 1.2.3 点的投影求解方法 ● ● a a ax 已知点的两个投影，（作图）求第三投影 ●a● ● a a ax az az 解法一: 通过作45线 使aaz=aax 解法二: 用圆规直接 量取 aaz=aax a ● 总结：利用“平齐、对正”关系很容易求解 立标（z）和横标（x）；难点在于远标（y坐 标）求解，解决“宽相等”问题。

a 例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影 高 高 长 长 宽 宽 H V OX b b c c C≡c≡c a b B≡b A≡a a a 特殊位置点的投影 特殊位置点的投影 课后：总结在三投影面体系特殊位置点的投影规律 1.2.4 两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、左右位置关系 判断方法： ▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上 b a a a b b ● ● ● ● ● ● B点在A点 之右、之前、之 下 X Y Y1 Z a a a 9 8 5 例2 已知点A在点B之右8毫米，之前5毫米，之上9 毫米，求点A的投影 c d(c) d C D a(b) a b A B 两点投影重合 重影点： 空间两点在某一投影面上 的投影重合为一点时，则称此 重合点为两点在该投影面上的 重影点 在H面上有重影点 ● ● ●● ● aa c c 被挡住的投 影加( ) ( ) A、C在哪个投 影面上具有重 影点呢？ a c 重影点常用于—— 相互遮挡元素的可见性判断 a a a b b b ● ● ● ● ● ● 1.3 直线的投影 两点确定一条直线，将两点 的同名投影用直线连接，就得到 直线的同名投影。

依据——平行投影的单值同素性、从属性 提问：已学过点的投影，那么如何 得到直线（段）的投影？ ②直线上点的投影在直线的投影上 直线的投影，可由线上任意两点的同名投影相连而得 ①直线的投影仍为直线特殊情况下，其投影积聚为一点) 1.3.1 直线与投影面的相对位置 ——各种位置的直线 投影面垂直线 正垂线（垂直于Ｖ 面） 侧垂线（垂直于Ｗ 面） 铅垂线（垂直于Ｈ 面） 一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线 统称特殊位置直线 垂直于某一投影面 投影面平行线 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ 面） 侧平线（平行于Ｗ 面） 水平线（平行于Ｈ 面） • 空间直线与某投影面的倾角 • 空间直线与某投影面的夹角 • 空间直线与其在某投影面投影的夹角 空间直线与投影面的夹角——倾角 实质相同 直线与H面的倾角符号记为θH ；（α） 直线与V面的倾角符号记为θV ；（β） 直线与W面的倾角符号记为θW ；（γ） 倾角定义 思考：各种位置直线的倾角特点 X Y Z V H W A B O b a ϴH ϴW ϴV 1.3.2 直线的投影特性 ⒈ 直线对一个投影面的投影特性 A B ● ● ● ● a b 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB 直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB cosα ● ● A B ● ● a b α A M B● a≡b≡m ● ● ● 画法几何课程中不能用计算方法求解！ b a ab a b b a a b b a ⑴ 投影面平行线 ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。

② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴 水平线侧平线正平线 γ 投影特性： 实长 实长实长 β γ α α β b a a a b b 2. 直线在三投影面体系中的投影特性 反映线段实长 且垂直于相应的投影轴 ⑵ 投影面垂直线 铅垂线正垂线侧垂线 ② 另外两个投影， ① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性 投影特性: ● c(d) c d dc ● a b a(b) a b ● ef e f e(f) ⑶ 一般位置直线 投影特性： ①线段的投影长， 总是小于它的实长 ②倾角的投影(简称投影角)， 总是大于倾角自身 a b b a b a ab=AB cosα 线段的投影长小于它的实长? 倾角的投影大于倾角自身？回去推导 投影面上直线 1.3.3 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉 ⒈ 两直线平行 投影特性： 平行性：空间两直线平 行，则其各同名投影必相 互平行，反之亦然 定比性：二平行线段之 比等于其投影之比 a V H c b c d A B C D b d a a b c d c a b d 例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线， 只要有两个同名投影互相 平行，空间两直线就平 行 AB//CD b d c a c b a d d b a c 对于特殊位置直线，只 有两个同名投影互相平行， 空间直线不一定平行 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行 例2：判断图中两条直线是否平行 求出侧面投影 如何判断？ 其他方法？定比性 H V A B C DK a b c d k a b c k d a bc d b a c d k k ⒉ 两直线相交 判别方法： 若两直线同名投影皆相交，且其交点满足空间一点 的投影规律，则两直线空间相交 交点是两直 线的共有点 ● ● c a b b a c d k k d 例：过C点作水平线CD与AB相交 先作正面投影 d b a a b c d c 1(2 ) 3(4 ) ⒊ 两直线交叉 投影特性： ★ 同名投影可能相交，但 “ 交点”不符合空间一个点的投 影规律 ★ “交点”是两直线上的一 对 点的重影点，用其可帮助判 断两直线的空间位置 ● ● 1(2 )是Ⅰ、Ⅱ在Ｖ面的重影点， 3(4 )是Ⅲ、Ⅳ 在H面的重影点。

为什么？ 3 4 ● ● 两直线相交吗？ 1 2 ● ● 作 业 习题集：P9、P10、P11 预习教材：Ｐ126～Ｐ131 耿春明 。