第二章 波函数和薛定谔方程§2.1 学习指导本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及由此带来的新特点，并以一维情况作例子进行具体说明根据实验，微观粒子具有波粒二象性经典波一般用振幅与位相来描述，它们可以统一写为，在量子力学中沿用坐标与时间的复值函数来描述微观粒子的运动状态，称为波函数经典情况下，模方表示波的强度；量子情况下，表示粒子出现的概率密度，因此需要把波函数归一化波函数随时间的变化由薛定谔方程确定按照波函数的演化形式，粒子运动可以分为定态和非定态在定态中，粒子的概率密度不随时间变化按照定态波函数的空间形式，粒子运动可以分为束缚态和非束缚态在束缚态中，粒子的能量取离散值，形成能级，可以很好地说明原子光谱散射态是典型的非束缚态，可以用来描述粒子之间的碰撞，解释微观粒子的隧道贯穿现象真实的物理空间是三维的，但是当系统具有某些对称性时，可以约化为一维问题，例如中心势场中粒子的径向运动近来，实验中也制备出了某些类型的一维量子力学系统一维薛定谔方程容易求解，便于初学者理解量子力学的基本概念、熟悉常用方法和领会核心思想本章的主要知识点有1. 微观粒子运动状态的描述1）波函数波函数是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性。
实际体系波函数满足平方可积条件，即2）波函数的意义波函数的模方 （2-1）给出时刻粒子出现在位置邻域单位体积内的概率，即概率密度因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件 (2-2)未归一化的波函数可以通过乘以一个归一化因子来实现归一化3）波函数的性质波函数满足叠加原理，如果为微观粒子的可能状态，则 (2-3)也是一个可能的状态2. 微观状态的演化1）薛定谔方程状态随时间演化满足薛定谔方程 (2-4)其中 (2-5)称为哈密顿算符，是势能若已知初始状态，由薛定谔方程可求出任意时刻的状态2）连续性方程 由薛定谔方程可以推出连续性方程 (2-6)其中 (2-7)称为概率流密度，即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率。
连续性方程是概率守恒定律的定域表现3）定态薛定谔方程 若体系的哈密顿不显含时间，即势场不含时，薛定谔方程可以分离变量，得到定态波函数解 (2-8)其中E为能量本征值，为对应的本征函数，满足定态薛定谔方程 (2-9)3. 一维束缚定态问题1）问题的描述一维束缚定态问题由下面的方程和边界条件组成 (2-10)其中束缚态能量满足条件2）束缚定态解的性质束缚定态中的能量取值不连续，形成能级同一能级只对应一个本征函数，无简并现象第n个能级对应的本征函数有n个内部零点（不包括边界）束缚态本征函数可以归一化，归一化后的本征函数满足正交归一性 (2-11)本征函数集合具有完备性，任何平方可积函数都可以展开为归一化本征函数的线性组合，即 (2-12)其中展开系数为 (2-13)3）典型实例：一维简谐振子 一般的解析势阱在其极小值附近都可以近似为简谐振子势，其标准形式为 (2-14)在上述势场中，粒子作束缚运动，能级为 (2-15)对应的本征函数为 (2-16)其中为厄密多项式，参数，归一化系数 。
简谐振子的本征函数满足递推关系 (2-17)4. 一维散射问题1）问题的描述以能量自左边向势场入射的粒子满足下面的方程和边界条件 (2-18)其中为入射波波数，为透射波波数2）问题的意义在上面的问题中，入射波的概率流密度为，反射波的概率流密度为，透射波的概率流密度为由此得到反射系数R和透射系数D分别为 (2-19)3）典型实例：粒子对方势垒的透射能量为E的粒子入射到一个宽度为a，高度为的方形势垒 (2-20)反射系数和透射系数分别为， (2-21)其中 §2.2 习题分析与求解2.1 证明在定态中, 概率流密度与时间无关.【题意分析】已知条件：粒子处于定态，波函数为 (2.1-1)待证问题：概率流密度与时间无关；相互联系：概率流密度与波函数之间具有关系（2-7）【求解过程】将定态波函数的一般形式(2.1-1)式代入概率流密度公式(2-7)，得到 (2.1-2)容易看出，由上式得出的结果与时间无关。
又解：定态波函数满足关系和，因此有 (2.1-3)【物理讨论】不能简单地由定态中概率密度不随时间变化，就推断概率流密度也不随时间变化，粒子流绕z轴对称均匀加速转动就是一个相反的例子定态中概率流密度不随时间变化有更深刻的原因按(2-7)式，概率流密度可以变形为 (2.1-4)其中为波函数的位相，即幅角将上式与经典的粒子流密度比较，量子力学中的对应于经典运动的速度2.1-4)式表明概率流密度完全由波函数的位相决定，与波函数的模无关在定态的情况下，波函数的位相，因此与时间无关这表明在定态中，概率流动的速度是稳定的也不能由定态中概率密度不随时间变化，就推断概率流密度为零，定向传播的平面波就是一个相反的例子2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度:(1) , (2) 从所得结果说明表示向外传播的球面波, 表示向内(即向原点)传播的球面波.【题意分析】已知条件：粒子处于定态，定态波函数分别为和；待求问题：对应的概率流密度；相互联系：概率流密度与定态波函数之间满足关系式 (2.2-1)【求解过程】将定态波函数代入(2.2-1)式，利用梯度算符在球坐标中的表示形式（附录A），得到 (2.2-2)同理可得 (2.2-3)上式也可以通过在定态波函数的表达式中作变换直接得到。
又解：根据已知条件，定态波函数的模为，位相为，代入简化后的概率流密度公式(2.1-4)中，立即得到 (2.2-4)同理可计算出物理讨论】 本题中，概率流密度与角度变量和无关，具有球对称性与径向单位向量同方向，表示向外传播的球面波；与径向单位向量反方向，表示向内传播的球面波对于状态，单位时间通过球面向外传出的概率分别为 (2.2-5)这个概率值不随球面半径的大小变化，说明进入任意球壳层中的概率与流出的概率总是相等的，即任意球壳层中的概率不变然而，对于半径任意小的球面，总是有概率向外流出，这表明在原点处有一个强度为的概率源同理，状态中在原点处有一个强度为的概率源（即概率汇）2.3 一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数.【题意分析】已知条件：粒子处于一维无限深方势阱中运动；待求问题：粒子的能量本征值和定态波函数；相互联系：定态波函数，其空间部分和能量本征值满足定态薛定谔方程 (2.3-1)【求解过程】因为势场是分段函数，本征函数也应分段考虑。
在区间内，，而能量为有限值，定态薛定谔方程要求；在区间内，，(2.3-1)成为 (2.3-2)其中 (2.3-3)方程(2.3-2)的通解为 (2.3-4)由波函数在与处的连续性条件得到 (2.3-5)将通解(2.3-4)代入条件(2.3-5)，有 由上面第一式得到，代入第二式后解出 (2.3-6)将(2.3-6)式代入(2.3-3)式，得到能量本征值 (2.3-7)将(2.3-6)式代入 (2.3-4)式中，得到本征函数 (2.3-8)其中常数A由归一化条件确定，即 由此得到归一化系数。
定态波函数为又解：对于宽度为2b的对称一维无限深方势阱 (2.3-9)在该势场中运动粒子的能级为（见参考文献【1】§2.6节） (2.3-10)对应的本征函数为 (2.3-11)本题中研究的是宽度为a的一维无限深方势阱，如果在上述势阱中取2b = a，并把势阱的位置向x轴正向平移b，就成为本题的情况由于能量本征值的大小与势阱的位置无关，因此在能级表达式(2.3-10)中取2b = a，就得到本题情况下的能级 (2.3-12)将表达式(2.3-11)中的本征函数向x轴正向平移b，再取2b = a，就得到本题情况下的本征函数 (2.3-13)三解：注意到本题中势阱恰好是宽度为2a的对称一维无限深方势阱的一半，对称一维无限深方势阱中的奇宇称本征函数 (2.3-14)恰好满足本题中势阱内本征函数所要求的。