无穷级数 知识点总复习本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和． §7.1 数项级数本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛．● 常考知识点精讲一、数项级数的概念1．数项级数定义定义：设是一个数列，则称表达式 为一个数项级数，简称级数，其中第项称为级数的通项或一般项，称为级数的前项部分和．2．级数收敛的定义定义：若数项级数的部分和数列有极限，则称级数收敛，极限值称为此级数的和．当不存在时，则称级数发散． 利用级数收敛的定义，易知当时，几何级数收敛，和为；当，几何级数发散．[例1.1] 判断下列级数的敛散性⑴ ⑵解：⑴由于 所以 ，故级数收敛． ⑵ 由于所以，故级数发散．二、级数的基本性质及收敛的必要条件1．设都收敛，和分别为，则必收敛，且；评注：若收敛，发散，则必发散；若都发散，则可能发散也可能收敛．2．设为非零常数，则级数与有相同的敛散性；3．改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性；4．级数收敛的必要条件：如果收敛，则；5．收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变．评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散．[例1.2] 判断下列级数的敛散性⑴ ⑵ 解：⑴由于收敛，发散，所以 发散，由性质5的“注”可知级数发散； ⑵ 由于，不满足级数收敛的必要条件，所以级数发散．三、正项级数及其敛散性判别法各项为非负（）的级数称为正项级数．1．正项级数收敛的基本定理定理：设是正项级数的部分和数列，则正项级数收敛的充要条件是数列有界．当时，级数收敛；当时，级数发散．（时的级数也叫调和级数）2．正项级数的比较判别法定理：（正项级数比较判别法的非极限形式）设都是正项级数，并设，则⑴ 若收敛，则收敛；⑵ 若发散，则发散．定理：（正项级数比较判别法的极限形式）设都是正项级数，并设或为，则⑴ 当为非零常数时，级数有相同的敛散性；⑵ 当时，若收敛，则必有收敛；⑶ 当时，若发散，则必有发散．评注：用比较判别法的比较对象常取级数与等比级数及．3．正项级数的比值判别法定理：设是正项级数，若或为，则级数有⑴ 当时，收敛；⑵ 当或时，发散；⑶ 当时，敛散性不确定．评注：⑴ 若，则级数必发散；⑵ 如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散性；⑶ 当1或不存在（但不为），则比值判别法失效．4．正项级数的根值判别法将比值判别法中的改成，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法．5．利用通项关于无穷小的阶判定正项级数的敛散性定理：设是正项级数，为的阶无穷小，则当时，正项级数收敛；当时，正项级数发散．[例1.3] 判断下列级数的敛散性 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷解：⑴ 由于，而级数发散，故原级数发散；⑵ 由于，所以由比值判别法可得，原级数收敛；⑶ 由于，所以由根值判别法可知，原级数收敛；⑷ 由于为的阶无穷小，所以原级数收敛．四、交错级数及其敛散性判别法1．交错级数定义定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如 的级数，称为交错级数．2．交错级数的莱布尼兹判别法定理：若交错级数满足条件⑴ ； ⑵ ，则交错级数收敛，其和其余项满足．五、任意项级数及其绝对收敛若级数的各项为任意实数，则称它为任意项级数．1．条件收敛、绝对收敛 若收敛，则称绝对收敛；若发散但收敛，则称条件收敛．评注：绝对收敛的级数不因改变各项的位置而改变其敛散性与其和．2．任意项级数的判别法定理：若级数收敛，则级数收敛．即绝对收敛的级数一定收敛．[例1.4] 判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛 ⑴ ⑵解：⑴ 记因为 所以级数收敛，故原级数收敛且为绝对收敛； ⑵ 记由于，而发散，所以级数发散 又是一交错级数，，且，由莱布尼兹定理知，原级数收敛，故原级数条件收敛．●● 常考题型及其解法与技巧一、概念、性质的理解[例7.1.1] 已知，，则级数的和等于__________.解：由于，所以根据级数的性质可得 从而因此．[例7.1.2] 设，则下列级数中肯定收敛的是（A）； （B）； （C）； （D） 解：取，则，此时（A）与（C）都发散；若取，则，此时（B）发散；由排除法可得应选（D）．事实上，若，则，根据“比较判别法”得收敛．从而收敛，故应选（D）．[例7.1.3] 已知级数发散，则（A）一定收敛， （B）一定发散（C）不一定收敛 （D）解：假设收敛，则根据级数敛散的性质，不改变各项的次序加括号后得到的新级数仍然收敛，即也收敛．这与已知矛盾，故一定发散．应选（B）．[例7.1.4] 设正项级数的部分和为，又，已知级数收敛，则级数必（A）收敛 （B）发散 （C）敛散性不定 （D）可能收敛也可能发散解：由于级数收敛，所以根据收敛的必要条件可得，又，所以，故级数发散，故应选（B）．[例7.1.5] 设有命题（1） 若收敛，则收敛；（2）若为正项级数，且，则收敛；（3）若存在极限，且收敛，则收敛；（4）若，又与都收敛，则收敛．则上述命题中正确的个数为（A） （B） （C） （D）解：关于命题（1），令，则收敛，但发散，所以不正确； 关于命题（2），令，则为正项级数，且，但发散，所以不正确； 关于命题（3），令，则在极限，且收敛，但发散，所以不正确；关于命题（4），因为，所以，因为与都收敛，所以由“比较判别法”知收敛，故收敛．故应选（A）．二、正项级数敛散性的判定正项级数判别敛散的思路：①首先考察（若不为零，则级数发散；若等于零，需进一步判定）；②根据一般项的特点选择相应的判别法判定．评注：⑴ 若一般项中含有阶乘或者的乘积形式，通常选用比值判别法： ⑵ 若一般项中含有以为指数幂的因式，通常采用根值判别法：⑶ 若一般项中含有形如（为实数）的因式，通常采用比较判别法．⑷ 如果以上方法还行不通时，则可考虑用敛散的定义判定．[例7.1.6] 判断下列级数的敛散性 （1） （2） （3） （4） （5） （6）解：（1）用比值法． ，所以原级数收敛．（2）用比值法． ，所以原级数收敛．（3）用根值法． ，所以原级数发散．（4）用比较法．取，因为，而收敛，所以原级数收敛．（5）用比较法． 取，因为，而发散，所以原级数发散．（6）由于，故由级数收敛的必要条件知原级数发散．评注：在考研题中遇到该类问题应①先看当时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出，可跳过这一步），若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则②再看级数是否为几何级数或级数，因为这两种级数的敛散性已知．如果不是几何级数或级数，则③用比值判别法进行判定，如果比值判别法失效，则④再用比较判别法进行判定．常用来做比较的级数主要有几何级数、级数等．[例7.1.7] 判断下列级数的敛散性（1） （2）分析：用比值判别法失效，用比较判别法不易找到用来作比较的级数，此时一般利用通项关于无穷小的阶判定正项级数的敛散性．解：（1）考查 换成连续变量，再用罗必达法则， 取，上述极限值为．所以原级数与同敛散，故原级数收敛．（2）考查 换成连续变量，再用罗必达法则， 取，上述极限值为．所以原级数与同敛散，故原级数收敛．[例7.1.8] 研究下列级数的敛散性（1）（是常数）； （2），这里为任意实数，为非负实数．分析：此例中两个级数的通项都含有参数．一般说来，级数的敛散性与这些参数的取值有关．对这种情况通常由比值判别法进行讨论．解：（1）记，由比值判别法可得 显然，当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，由于，所以，故级数发散．（2）记，由比值判别法可得 显然，当，为任意实数时，级数收敛；当时，为任意实数时，级数发散；当时，比值判别法失效．这时，由级数的敛散性知，当时，级数收敛；当时，级数发散．[例7.1.9] 判别下列级数的敛散性（1） （2）分析：此例两个级数的通项都是由积分给出的正项级数．如果能把积分求出来，再判定其敛散性，这样做固然可以，但一般工作量较大．常用的方法是利用积分的性质对积分进行估值．估值要适当：若放大则不等式右端应是某收敛的正项级数的通项；若缩小，则不等式左端应是某发散的正项级数的通项．解：（1）因为时，，所以 由于级数收敛，所以原级数收敛．（2）因为函数在区间上单减，所以 由于，又因为级数收敛，所以原级数收敛．三、交错级数判定敛散判别交错级数敛散性的方法：法一：利用莱布尼兹定理；法二：判定通项取绝对值所成的正项级数的敛散性，若收敛则原级数绝对收敛；法三：将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数都收敛则原级数收敛；若一收敛另一发散，则原级数发散；法四：将级数并项，若并项后的级数发散，则原级数发散．评注：法二、法三和法四适应于不单调减少或判定单调很困难的交错级数．[例7.1.10] 判定下列级数的敛散性（1） （2）（3） （4）解：（1）该级数是交错级数，显然．令，则，所以单调减少．由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛．（2）不难得到数列不单调．而 ，显然，级数发散；又级数是交错级数，显然满足，令，则，所以单调减少，由莱布尼兹判别法可得，级数收敛． 故由级数敛散的性质可得，原级数发散．（3）不难得到不单调，但有即加括号后得到的新级数发散，利用级数的性质可知，原级数发散．（4）显然判定数列的单调性很麻烦． 但 ，而由比值判别法易得到级数收敛，所以级数收敛． 从而原级数收敛，且绝对收敛．四、判定任意项级数的敛散性 对任意项级数，主要研究它绝对收敛性和条件收敛性．解题的一般思路：①先看当时，级数的通项是否趋向于零，若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则②按正项级数敛散性的判别法，判定是否收敛，若收敛，则。