三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定[对应学生用书P7]1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．[说明] 1.在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．2．引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理，可以判定两直线平行．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．[说明] 对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．[对应学生用书P8]相似三角形的判定[例1] 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.[思路点拨] 已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.[证明] ∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1．如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：△AED与△AFG相似，△AED与△ABC相似，△AFG与△ABC相似．答案：C2．如图，O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.证明：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴DE＝AB，EF＝BC，FD＝CA.∴＝＝＝.∴△DEF∽△ABC.3．如图，D在AB上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且AD2＝AF·AB，求证：△AEF∽△ACD.证明：∵DE∥BC，∴＝.①∵AD2＝AF·AB，∴＝.②由①②两式得＝，又∠A为公共角，∴△AEF∽△ACD.直角三角形相似的判定[例2] 如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.[思路点拨] 由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明＝即可．[证明] 在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴＝2.∵＝3，∴＝4.又BC＝2DQ，∴＝2.在△ADQ和△QCP中，＝＝2，∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.直角三角形相似的判定方法：(1)相似三角形的判定定理1,2,3都适用于直角三角形相似的判定．(2)两个直角三角形，已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似．4．如图，∠C＝90°，D是AC上的一点，DE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC.证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∵∠C＝90°，∴∠DEA＝∠C.∵∠A＝∠A.∴△ADE∽△ABC5．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形．解：∵∠ACE为公共角，由直角三角形判定定理1，知Rt△FDC∽Rt△ACE.又∠A为公共角，∴Rt△ABD∽Rt△ACE.又∵∠A＋∠ACE＝90°，∠A＋∠ABD＝90°，∴∠ACE＝∠ABD.∴Rt△FBE∽Rt△ACE.故共有三个直角三角形，即Rt△ABD，Rt△FBE，Rt△FCD与Rt△ACE相似.相似三角形的应用[例3] 如图，D为△ABC的边AB上一点，过D点作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，连接GH.求证：GH∥AB.[思路点拨] 根据此图形的特点可先证比例式＝成立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝∠EBD即可．[证明] ∵DE∥BC，∴＝＝，即＝.又∵DF∥AC，∴＝.∴＝.∴＝.又∠GEH＝∠DEB，∴△EGH∽△EDB.∴∠EHG＝∠EBD.∴GH∥AB.不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系．6．如图，△ABC的三边长是2、6、7，△DEF的三边长是4、12、14，且△ABC与△DEF相似，则∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝________.＝＝＝________.解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F.＝＝＝.答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.(1)求证：△CDE∽△FAE；(2)当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.又∵点F在BA的延长线上，∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE.∴△CDE∽△FAE.(2)∵E是AD的中点，∴AE＝DE.由△CDE∽△FAE，得＝.∴CD＝FA.∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD.又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF.8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F.求证：＝.证明：∵E是Rt△ADC斜边AC上的中点，∴AE＝EC＝ED.∴∠EDC＝∠C＝∠BDF.又∵AD⊥BC且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C.∴∠BAD＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，∴＝.又在Rt△ABD与Rt△CBA中，＝，∴＝.[对应学生用书P10]一、选择题1．如图所示，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形共有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：根据相似三角形的判定定理可得：△OEF∽△OBC(∵EF∥BC)；△CHG∽△CBO(∵HG∥OB)；△OAD∽△OBC(∵AD∥BC)．故与△BOC相似的三角形共有3个．答案：C2．下列判断中，不正确的是( )A．两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似B．斜边和一直角边长分别是2，4和，2的两个直角三角形相似C．两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似解析：由直角三角形相似判定定理知A、B、D正确．答案：C3．如图，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是( )A.＝B.＝C．AC2＝CD·CBD．CD2＝AC·AB解析：∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.答案：C4.如图，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得＝，则有( )A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD解析：因为∠A＝∠C，＝＝2，所以△AED∽△CBD.答案：B二、填空题5．如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有________个，它们分别是____________________．解析：与△ABC相似的有△GFC，△OGE，△ADE.答案：3 △GFC，△OGE，△ADE6．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则AD＝________，BD＝________.解析：由题设可求得AB＝5，∵Rt△ABC∽Rt△ACD，∴＝.∴AD＝＝.又∵Rt△ABC∽Rt△CBD，∴＝.∴BD＝＝.答案： 7．已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，若CF＝4，BC＝5，则DF＝________.解析：连接AF.∵EF⊥AD，AE＝ED，∴AF＝DF，∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF，∠FDA＝∠BAD＋∠B，且∠DAC＝∠BAD，∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB，∴△AFC∽△BFA.∴＝.∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36.∴AF＝6，即DF＝6.答案：6三、解答题8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，E在AB的延长线上，且BE＝AB，求证：△ADC∽△ACE.证明：∵D是AB的中点，∴＝.∵AB＝AC，∴＝.∵ BE＝AB，∴＝.又AB＝AC，∴＝.∴＝.又∠A为公共角，∴△ADC∽△ACE.9.如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，且AB·CD＝DE·AC.求证：AE·CE＝DE·EF.证明：∵AB·CD＝DE·AC∴＝.∵AC⊥BC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴△ACB∽△DCE.∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.∴＝.∴AE·CE＝DE·EF.10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE是∠CAB的角平分线，CD与AE相交于点F，EG⊥AB于G.求证：EG2＝FD·EB.证明：因为∠ACE＝90°，CD⊥AB，所以∠CAE＋∠AEC＝90°，∠FAD＋∠AFD＝90°.因为∠AFD＝∠CFE，所以∠FAD＋∠CFE＝90°.又因为∠CAE＝∠FAD，所以∠AEC＝∠CFE.所以CF＝CE.因为AE是∠CAB的平分线，EG⊥AB，EC⊥AC，所以EC＝EG，CF＝EG.因为∠B＋∠CAB＝90°，∠ACF＋∠CA。
