学校代码： 10722 学号： 分类号： O151.21 密级： 公开 题 目： 正定矩阵的鉴定、性质及其应用 Discussion on Determinant,Positive and Application of Positive Definite Matrix作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 5月 成 绩 评 定: 摘 要 在高等代数的学习中，我们具体学习了二次型的有关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特性值求解、系统稳定性鉴定中均有着非常重要的应用。
本文一方面简介了实对称矩阵的定义，然后给出了鉴定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的有关性质，最后通过举例阐明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用核心词：实对称；正定矩阵；鉴定；性质Abstract We have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.目 录摘 要 IAbstract II目录 III引言 11 正定矩阵的定义 11.1 正定二次型的定义 11.2 正定矩阵的定义 12 正定矩阵的鉴定 23 正定矩阵的性质 64 正定矩阵的应用 64.1 正定矩阵在证明不等式中的应用 64.2 正定矩阵在数学分析中的应用 74.3正定矩阵的其她应用 8小结 9参照文献 10谢 辞 11引言在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一种分支和高等代数的重要研究对象，并且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的诸多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。
在古代，西尔维斯特为了将数字矩形阵列和行列式区别开来，她便创立了“矩阵”，而后由凯莱第一种明确了“矩阵”这个术语的确切意思事实上，早在国内古代就已经对矩阵有所研究了[1]在公元前1世纪，在《九章算术》中矩阵形式解方程组已经非常成熟了，但是在那个时代矩阵只是被人们看做是一种解题的措施，而“矩阵”这一概念并没有被独立起来，形成一种统一完整的体系矩阵在求解线性方程组和行列式计算等问题中得以广泛应用是在18世纪末的时候，并且从那时起矩阵思想才得到进一步的发展[2] 矩阵论中正定矩阵有着十分重要的地位[3]历史上，在对于二次型和Hermite型的探究中最早浮现了对正定矩阵的具体探究二次齐次多项式是代数研究中此外一种非常重要的多项式，二次齐次多项式在数学的大多数分支中均有重要的应用，并且在解答与物理问题有关的内容中人们也会常常遇到需要运用正定二次型作解正定二次型在二次型中占有及其特殊的地位，并且由正定二次型的系数可以直接写出正定矩阵因此，无论是在研究中还是实际的应用中正定二次型和正定矩阵均有重要的意义[4]如今，矩阵已经成为理解决有限空间和数量关系的重要的工具正定矩阵在矩阵的研究中占有十分重要的地位，对于正定矩阵的研究有助于我们后来更加详尽的研究二次型、线性空间和线性变换。
下面我一方面简介正定矩阵的定义1 正定矩阵的定义1.1 正定二次型的定义定义1[5]：在实二次型中若对于任意一组不全为零的实数均有，则称该二次型为正定的;若，则称为半正定二次型；若，则称为负定二次型；若，则称为半负定二次型；若实二次型既不是半正定又不是半负定的则称为不定二次型1.2 正定矩阵的定义定义2：若实二次型正定，则称实对称阵正定;若实二次型半正定，则称实对称阵半正定；若实二次型负定，则称实对称阵负定；若实二次型半负定，则称实对称阵半负定；若实二次型不定，则称实对称阵不定 事实上，正定二次型与元数有关系，例如 当作为二元实二次型时正定（取任何不为零的数即可）；但当作为三元实二次型时不正定（取，，则成果不满足[6] ）2 正定矩阵的鉴定定理1[7]： 元实二次型是正定的充要条件是它的原则形的系数全为正证: 由于 = 对作合同变换，即取作非线性退化，则实二次型的原则形为 又由于为正定矩阵且正定矩阵作非退化线性替代其正定型不变，即也是正定矩阵则，，……即， ，…… ，因此实二次型的原则形的系数全为正定理2[8]：元实二次型是正定的充要条件是它的正惯性指数为证：由于是正定的，因此矩阵是正定矩阵，则 那么可化为，且由此可得，正惯性指数为。
反之，若该元实二次型的正惯性指数为，且为对称矩阵，根据定理1可得矩阵为正定矩阵推论：实对称矩阵正定的充要条件是的正惯性指数等于的级数定理3：阶实对称矩阵是正定的充要条件是二次型的秩与符号差均为证：必要性 由于是实对称正定矩阵，因此实对称矩阵所相应的实二次型的正惯性指数为、负惯性指数0，从而可得实二次型符号差为由于矩阵的主对角线上的元素相应元实二次型的系数，又矩阵为正定矩阵，因此正定矩阵的主对角线上的所有数所有不小于零，进而可推出正定矩阵的秩为充足性 由于二次型的秩与符号差均为，因此正惯性指数为，从而由定理2可得矩阵为正定矩阵定理4[9]：阶实对称矩阵是正定的充要条件是与单位矩阵合同，即存在实可逆矩阵，使的证：阶实对称矩阵正定的充要条件是元实二次型正定，当且仅当的正惯性指数为，当且仅当与单位矩阵合同定理5：阶实对称矩阵是正定的充要条件是的顺序主子式证：必要性 设实二次型是正定的将任意一组不全为零的实数代入实二次型,有因此，是正定二次型的由此，的矩阵的行列式,这就证明了矩阵的顺序主子式全不小于0充足性 对作第二数学归纳法（1）设当时，=，由题可得 ,则易得是正定的2）假设当时，命题成立。
3）下面证明元时的情形： 令， 于是矩阵可以写成由于的顺序主子式全不小于零，从而的顺序主子式也全不小于零由假设是正定矩阵，则存在一种可逆的阶矩阵，使得 令，于是再令 ，有=令 ， 就有 ，进而有由条件，，因此显然： =即矩阵合同于单位矩阵，从而得出是正定矩阵，进一步可得实二次型是正定的定理6[10]： 阶实对称矩阵是正定的充要条件是的特性值都不小于零证：由于矩阵为正定矩阵，因此存在一种正交矩阵，使得 ，进而有 其中 均为矩阵的特性值那么所相应的二次型为，其中令则有又由于 即其为正定二次型因此 均不小于零，即的特性值均不小于零定理7：阶实对称矩阵是正定的充要条件是该矩阵对角线上各个元素均不小于零 注：（1）正定矩阵必须为对称矩阵因此在鉴定一种矩阵与否为正定矩阵的时候必须先鉴定该矩阵与否为对称阵，若不是则一定不是正定矩阵，若是则可继续对其进行鉴定2）在题目若给出的是一种具有具体数字的实对称矩阵，那么要判断矩阵与否为正定矩阵，则要验证的各阶顺序主子式与否都不小于零若均不小于零，则为正定矩阵，否则不是正定矩阵3）在题目中若给出的是一种不含具体数值的抽象矩阵，则证明矩阵与否正定一般使用如下两种措施：措施1 运用定义：即对任意列向量，恒有二次型,则矩阵为正定矩阵。
措施2 运用特性值：如果矩阵的特性值所有不小于零则可得出矩阵为正定矩阵[11]例1：当取何值时，为正定二次型？解：设二次型的矩阵，则 ，，由二次型正定的充要条件可知当，时正定由得；由得于是，当且仅当为正定二次型例2：设阶实对称矩阵为，且满足，证明矩阵是正定矩阵证:设,即是的特性值，是的特性向量，由题可以得出： 由得显见，原式的特性值为，，又由于实对称矩阵的特性值为实数，因此根据上式可得的特性值为1和3，又1和3均为不小于零的数，从而矩阵是正定矩阵3 正定矩阵的性质性质1[12]：正定矩阵主对角线上的元素全不小于零证：设正定矩阵为，得对任一非零向量，均有取，则有，因此正定矩阵的主对角线上元素全不小于零性质2：正定矩阵的行列式必不小于零且正定矩阵一定可逆性质3：若是正定矩阵，则(其中是主对角线上元素全不小于零的上三角形矩阵)证：由于正定矩阵可以写为，其中为可逆矩阵再设其中为正交矩阵为主对角线上元素全不小于零的矩阵，因此 性质4：若是正定矩阵，则的逆矩阵、随着矩阵及、各阶主子矩阵均为正定矩阵证：由于正定，则又为存在的一种可逆实矩阵，使得，则 即因此是正定矩阵注：类似可证得正定矩阵的随着矩阵*也为正定矩阵。
性质5：若是可逆矩阵，则对任意阶可逆矩阵，是正定矩阵性质6：若正定矩阵为阶正定矩阵，则也为正定矩阵证：由正定，故,因此是对称矩阵对于任意非零列向量,有，,从而,故正定,所觉得正定矩阵4 正定矩阵的应用4.1 正定矩阵在证明不等式中的应用例1 证明：(均不等于零)证：由原题可设 = =易得：的各级顺序主子式均不小于零，即为正定矩阵，进而 又由于均不等于零，因此，则命题得证例2 设是阶正定矩阵，证明证：设矩阵的特性值为，由正定可知又由可知其特性值为，因此4.2 正定矩阵在数学分析中的应用定理[13]：元实函数的一阶偏导数等于零的点为,且在点处具有二阶持续偏。