无理方程教案 第 1 页 共 4 页 §21.4无理方程(一) [教学目标] 1. 知道无理方程、代数方程的概念，并会识别无理方程； 2. 经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想； 3. 会解简单的无理方程，，知道解无理方程需要检验，及如何检验 [教学重点] 掌握简单的无理方程的解法 [教学难点] 了解无理方程产生增根的原因 [教学方法] 带领学生类比学习，探究新知 [教学过程] 问题1∶已知平面直角坐标系内的A、B两点其中点A坐标(1,3)，点B是x轴上的点，且A、B两点间的距离等于5，求点B的坐标 解∶由点B在x轴上，可设B点坐标为(x,0)， 由两点间距离公式，得∶即∶(x-1)+(0-3)22=5 (x-1)2+9=5 ① [师述∶]大家能谈谈方程①的特点吗？ [学生回答]∶这个方程的根号里含有未知数 [师述∶]如果让你给这种根号里含有未知数的新方程起个名，你会怎么称呼它？ [学生回答] ∶这是根式方程，无理方程„„„„„„„ [师述]∶根式方程这个名称倒是挺形象的。
那无理方程同学们不妨回顾一下数与式我们都知道实数可分为有理数和无理数，有理数又可分为整数和分数而代数式可分为有理式和无理式，有理式又可分为整式和分式通过比较，我们可以看到代数式和实数分类结构相同，如下图所示∶ ììì整数ì整式有理数有理式ííïï实数í代数式 分数íîî分式， ïïî无理数î无理式[师述]∶那我们现在来看方程的分类我们学过的一元一次方程，二元一次方程,一元高次方程，都属于整式方程，前阶段我们还学过分式方程由类比，我们把整式方程和分式方程统称有理方程，而我们刚才列出的方程①就是无理方程 [师述∶]我们给出无理方程的概念∶方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程我们继续定义∶有理方程和无理方程统称代数方程代数方程结构如下∶ 第 2 页 共 4 页 在黑板上写无理方程的定义时∶可写为含有未知数的方程叫做无理方程 问题2∶试判断下列方程中哪些方程是无理方程 (1)x-6=2, (2) 3x+4=x (3)2x2+5x-1=0, 1x1+=1 (6)3x2=4 (4)x+5x+1=0, (5) 3+1x-1ìì整式方程有理方程íï代数方程íî分式方程ïî无理方程2(7) x+3+1=5 (8) , x+3解∶(1)是一元一次方程，(3)是二元一次方程，都属于整式方程；(5)是分式方程，而(2)、(4)、(6)、(7)、 (8)都是无理方程，以上八个方程都是代数方程。
[师述∶]现在，我们知道无理方程的概念了接下来，该一起来探究无理方程的解法了我们不妨来研究问题2中的方程 问题3∶解无理方程3x+4=x ② 解∶方程两边平方，得∶3x+4=x2 整理得∶x2-3x-4=0 ③ [师问]∶请问同学们，你平方的目的是什么？ [学生回答]∶两边平方去掉了根号，把无理方程化成了有理方程 [师述]∶同学们回答得非常好，通过平方我们把无理方程的求解化归到有理化的求解，显然有理方程我们是会解的 同时板书 学生继续求解 (x+1)(x-4)=0 ∴x1=-1,x2=4 [师生共同探讨]∶x=-1不是方程②的解，那我们是不是方程解错了？学生稍作停留，回答说没有但x=-1却是方程③的解，这是为什么呢？ [学生回答]∶平方，平方把无理方程化为了有理方程，但是.......，原方程中未知数允许取值的范围扩大了，如方程②平方前未知数x的取值范围是x³0，而方程②平方后未知数x允许的取值范围是一切实数，平方使未知数x的取值范围扩大了所以也就产生了增根 [师述]:很好看来由于解无理方程会产生增根因此有检验的必要现在我们就以方程②为例，来进行检验。
那怎样检验呢？停顿能像分式方程那样检验 第 3 页 共 4 页 吗？......只能把解依次代入原方程的左右两边，加以检验如果左=右，解是原方程的解，否则，解是原方程的增根，要舍去 [师述]∶老师带领学生在黑板上进行一次检验 检验∶当x=4时，方程②左边=3´4+4=16=4，右边=4，可知x=4是方程②的根； 当x=-1时，方程②左边=3´(-1)+4=1=1，右边=-1，而右边不可能是负数，可知x=-1是方程②的增根，应舍去 所以，方程②的解是 x=4 [师问]:通过刚才的探究，我们初步掌握了解无理方程的步骤那现在我们一起把问题1中的无理方程解完好吗？ 学生解，教师准备好，然后投影 [师述]∶那这个方程怎么没产生增根呢？ [学生回答]∶方程①平方前后未知数x的取值范围都是一切实数，没有变化，所以没有产生增根 归纳 解简单无理方程的一般步骤，可用流程图表示为∶ 开始 平方，去根号 解有理方程 检验 是 否 原方程的解 是增根，舍去 写出原方程的解，结束 课堂小结：本节课你的收获是什么？ 1．通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？ 学生答∶知道了无理方程的概念，探究了其解法。
解法中，通过平方将无理方程化归为有理化求解我们还探究了无理方程产生增根的原因 教师补充∶前面我们学过的分式方程，通过去分母使分式方程整式化，也体现了化归的数学思想 2．你领悟了哪些常用数学思想与方法？ 答∶类比法，化归思想 备用练习∶解问题2中的无理方程∶x+3-1=x 解∶移项∶ x+3=1+x 第 4 页 共 4 页 两边平方，得∶x+3=1+2x+x2 整理得∶ x2+x-2=0 x1=-2,x2=1 检验∶x1=-2是原方程的增根，舍去而x2=1是原方程的解 \x=1是原方程的解 [布置作业] 完成练习册P.18-19习题21.4(1) 板书设计 A B 挂例题，实无理方程板书 物投影 一 概念 C 解方程区域 D 可擦写区域， 小结归纳 1． 2．根号内含有未知数的方程叫无理方程 二 解法 1．化归∶“无理方程” 平方 “有理方程” 2．注意点∶无理方程需检验 。