word变量代换方法在求解微分方程中的应用1 引 言在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的然而，值得注意的是，不同的类型的方程, 其采用的变量代换可能不尽一样，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进展讨论和总结2 变量代换方法在几类微分方程求解中的应用定义1 如果一阶微分方程具有形式，如此该方程称为可别离变量微分方程.假设设，如此可将方程化为.即将两个变量别离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函数与.对于该类程，我们通常采用别离变量的方法来处理例1 求微分方程的通解.解 因为， 别离变量，，两端积分，， ，所以.令，于是为所求.注：以后为了方便，可将就写成，注意结果中可正可负.对于上面的例子，我们可以采用别离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量别离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为别离变量方程对于新方程应用别离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为别离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。
下面介绍几类这样的方程2.1 一阶齐次方程1. 形如的齐次方程〔其中)为常数〕 作变量代换，可将方程化为别离变量方程，将和代入方程，整理后可得：例2 解方程解 将方程整理后可得故令，带入后可得别离变量后，两边积分可得再代回原变量，得方程的通解为2. 形如的齐次方程作变量代换，如此，代回原方程，整理后可得此时方程转化为别离变量方程，故可求出其通解例3 解方程解 令可得，代入方程得别离变量，再积分，化简整理可得, 再代回原变量，得原方程的通解注: 该类型还可以推广到形如2.2 伯努利方程形如① 的方程称为伯努力方程 注： 此方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现次方，时为非线性的. 我们也可通过适当的变量替换，化为线性的微分方程求解方法为： 将方程①的两端同乘以，得 ，设变量替换 ，如此，即 ；代入原方程，得，即 ，这是一个非齐次线性微分方程.按非齐次线性微分方程的求解方法求出通解；再以换回原变量，即为所求.例4 求微分方程的通解.解 这是一个伯努力方程.以乘方程的两端，得 ，于是，令 ，如此，即 ，代入原方程，得，或 ，这是一个一阶非齐次线性微分方程.按照非齐次线性微分方程的常数变易法可求其通解。
2.3 二阶线性微分方程形如 〔1〕 其中都是的连续函数,为二阶线性微分方程的一般形式 〔2〕 称为与之对应的齐次方程对于上两方程有下面两定理：定理1 假设是的一个非零解，如此由变量代换可求得(1)通解其中，是任意常数且 (3) (4)证明 设是(1)的解，其中是u待定函数 ，如此有，将代入(1)整后并注意解得： (5)(5)是关于的一阶线性微分方程，从而可得：所以(1)的解为其中、分别为〔3〕，〔4〕可直接验证〔3〕是的(2)特解又不是常数，所以是的通解定理2 二阶线性微分方程其中A>0，a是常数，可经自变量代换化为常系数线性微分方程的充要条件是：，c为常数，在满足条件下由变换化为，k可取任意非零实数 (6)证明①在满足条件下将变换代人〔6〕可验证结论正确。
② 假设可把〔6〕化为： (7)把代入(7)得： (8)从而由于(7)和(8)是通解方程，所以把代入后一个等式可得2.31 二阶常系数线性微分方程形如〔其中p，q为常数〕 (9)的微分方程称为二阶常系数微分方程像这样的方程总可以经过变量代换将原方程(9)转化成关于Z的线性齐次方程，其中A是可以确定的待定常数，事实上，由于方程(9)有形如形式的特解，所以令如此有 ， 将这三个式子代入方程(9)得(10)整理得(11)要使方程称为齐次方程，当且仅当从而(12)容易看出，当不是对应其次线性方程的特征方程的根，用(12)式所确定的A代替变量代换中的A后，方程可化⑴为一个齐次方程当为特征方程的一个单根或重跟式，同理可得：① 为单根时，② 为重跟时，综上可得一下定理和推论：定理3 假设不是特征方程的根，如此方程可经过变量代换转化成Z的齐次方程推论1 假设是特征方程的单根时，如此方程可经过变量代换[其中]转化成Z的齐次方程推论2 假设是特征方程的重根时，如此方程可经过变量代换[其中]转化成Z的齐次方程。
对方程 (13)当不是特征方程的根时，方程(13)有形如形式的特解，于是可令做法同前面一样，代入中并整理得于是令：得：F=定理4 如不是特征根，如此方程，总可经过变量代换：转化为关于Z的齐次方程方程 (14)当不是特征根时，方程(14)有形如式的特解，于是可令：用与前面一样的做法，代入原方程并整理可得结果定理5 假设不是对应的其次线性微分方程的特征方程的根时，如此方程总可以经过变量代换转化成关于Z的线性齐次方程，其中，2.32 二阶变系数线性微分方程形如 〔15〕的方程，称为二阶变系数微分方程，其中，都是连续函数当，满足一定条件是，通过适当的变量代换，方程可化为变系数微分方程，进而求出其通解引理 假设方程中，只需引入变量如此方程可化为定理6 当时，方程可通过变量代换化成欧拉方程且通解为①时，②时，③时，证明 设，这里为待定的连续可微函数，此时有将，，代入方程〔15〕得， 〔16〕∵∴〔16〕式化为 〔17〕假设设，如此〔17〕为欧拉方程，将其代入〔17〕得 〔18〕或 〔19〕令，如此，〔18〕式化为 (20) (20)式便成为常系数线性微分方程，未知函数为，自变量换成t，求解(20)，再由代回，得到，从而得到方程(15)的通解，具体解法如下：方程对应的特征方程为，判别式可分为三种情况讨论：① 当即时，特征方程有两个相异的实根方程方程〔20〕的通解为将代入上式得所以方程〔15〕的通解为假设即时，方程的通解为② 当即时，特征方程有两个二重根方程〔20〕的通解为将代入上式∴方程的通解为③ 当即时，特征方程有一对共轭复根方程〔20〕的通解为将代入上式，有方程通解为3 应用举例例1 〔二阶线性微分方程〕求微分方程的通解。
解 ，∵∴可由变换化为：所以例2〔二阶常系数微分方程〕 求解方程解：特征方程，解得，，由于不是特征根，根据定理2，原方程可经过变量代换，将原方程化为进展求解例3〔二阶变系数微分方程〕 求解解 这里，且，此处符合情况①将，代入通解公式化简得方程的通解为4 完毕语 以上讨论了变量代换方法在常见的几种微分方程中的应用，其解题的关键时找到适宜的函数做变换，在寻找的过程中我们的目标始终是化一阶微分方程为变量别离方程、二阶变系数〔常系数〕微分方程为我们所熟知的齐次线性微分方程来求解易知以上的变量代换最终的目的都是使得方程的阶数降低或化繁为简，同时所作的变量代换的形式与微分方程有密切的关联在寻找变量代换的适宜函数时，我们可以知道，不管那种变量代换，它们都是有法可依的，关键要我们仔细观察参考文献[1]许敏伟，吴炳华. 变量代换法在求解微分方程问题中的应用[J]. 某某教育学院学报，2008.9 71-72.[2]余丽亚，一类二阶常系数微分方程求解的变量代换方法[J]. 某某职业大学学报，2003.9 56-57 .[3]孟红丽，李文清. 一类二阶变系数其次线性微分方程的通解[J]. 西南民族大学学报，2009.7 727-729.[4]康会光，某些二阶线性微分方程的变量代换方法[J].某某教育学院学报，1997.12 13-15[5]江磊，几类应用变量代换求解的常微分方程[J].某某纺织高等专科学校学报，2005.10 20-23. / 。