三三 垂垂 线线 定定 理理2024/9/7POAαa1 直线和平面垂直的判定定理是什么？直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？定义：定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直线都垂直性质定理：性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面内的任何直线判定定理：判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于平面2 POAα如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影直线PA是斜线直线PO是垂线直线OA是直线PA在平面内的射影a思考：若 ，直线a和直线PA是什么关系？3 POAαaPO⊥αa α∪∪①PO⊥aPA 平面POA∪∪a⊥PA③证明：证明：③③线线垂直线线垂直②②线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直①①线线垂直线线垂直性质定理性质定理判定定理判定定理性质定理性质定理AO⊥a②a⊥平面POA4 POAαa三垂线定理：在三垂线定理：在平面内平面内的一条直线，如果和这个的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条斜线垂直斜线垂直即即:线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定定 理理5 POAaα定理中包括三种垂直关系：定理中包括三种垂直关系：②②线射垂直线射垂直POAaα①①线面垂直线面垂直③ ③ 线斜垂直线斜垂直POAaα直直 线线 和和平平面面垂直垂直平面内的直平面内的直线线和平面一条斜和平面一条斜线的线的射射影垂直影垂直平面内的直平面内的直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线垂直线垂直 6 POAαa对定理的几点说明说明1、三垂线定理描述的是斜线PA、射影OA和a直线之间的垂直关系2、直线a可以移动，但只能在平面内移动。
因此，直线a和斜线PA可以相交也可以异面3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理αaPOA7 思考：思考： 如果将定理中的条件如果将定理中的条件a⊥ ⊥OA改成改成a⊥ ⊥PA，你会得到怎，你会得到怎样的结果？命题一定成立吗样的结果？命题一定成立吗?POAαa线射垂直线射垂直逆定理 定定 理理线斜垂直线斜垂直线斜垂直线斜垂直线射垂直线射垂直逆定理逆定理结论：结论：a⊥ ⊥OA8 ABCDOA1D1C1B1例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC垂直吗？说明你的理由D1O在平面ABCD内的射影是DOAC与BD垂直 D1O与AC垂直（ ）三垂线定理三垂线定理你知道吗？ D1B⊥AC线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直9 例例例例2 2 2 2、道旁有一条河，彼岸有电塔、道旁有一条河，彼岸有电塔、道旁有一条河，彼岸有电塔、道旁有一条河，彼岸有电塔ABABABAB，高，高，高，高15m15m15m15m，只有测角，只有测角，只有测角，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：解：解：解：在道边取一点在道边取一点在道边取一点在道边取一点C C C C，，，，使使使使BCBCBCBC与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于90°90°90°90°，，，，再在道边取一点再在道边取一点再在道边取一点再在道边取一点D D D D，，，，使水平角使水平角使水平角使水平角CDBCDBCDBCDB等于等于等于等于45°45°45°45°，，，，测得测得测得测得C C C C、、、、D D D D的距离等于的距离等于的距离等于的距离等于20m20m20m20mB BA AC C90°90°D D⌒45°45°应用举例10 B BA AC C90°90°D D⌒45°45° ∵BC ∵BC ∵BC ∵BC是是是是ACACACAC的射影的射影的射影的射影 且且且且CD⊥BC ∴CD⊥AC(CD⊥BC ∴CD⊥AC(CD⊥BC ∴CD⊥AC(CD⊥BC ∴CD⊥AC(三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理) ) ) ) ∵∠CDB=45° ∵∠CDB=45° ∵∠CDB=45° ∵∠CDB=45°，，，，CD⊥BCCD⊥BCCD⊥BCCD⊥BC，，，，CD=20m ∴BC=20mCD=20m ∴BC=20mCD=20m ∴BC=20mCD=20m ∴BC=20m，，，，在直角三角形在直角三角形在直角三角形在直角三角形ABCABCABCABC中中中中 AC AC AC AC2 2 2 2=AB=AB=AB=AB2 2 2 2+BC+BC+BC+BC2 2 2 2，，，，AC= 15AC= 15AC= 15AC= 152 2 2 2+20+20+20+202 2 2 2 =25(m)=25(m)=25(m)=25(m)答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是25m25m25m25m。
因此斜线因此斜线因此斜线因此斜线ACACACAC的长度就是电塔顶与道路的距离的长度就是电塔顶与道路的距离的长度就是电塔顶与道路的距离的长度就是电塔顶与道路的距离应用举例“一垂二射三证”11 POAαa线射垂直线射垂直逆定理 定定 理理线斜垂直线斜垂直三垂线定理及三垂线定理逆定理定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！12 如图：已知点P是ΔABC所在平面外一点，若点P在平面内的射影O恰好是ΔABC的垂心，求证：PA⊥BC(教材练习题)POACB垂心：三边高的交点““问百度问百度””三角形的外心、内心、重心、垂心，并摘抄！三角形的外心、内心、重心、垂心，并摘抄！13 14 15 再再见见感感谢谢您您的的莅莅临临指指导导16 。