把握数学概念本质，设计有价值的数学活动 ——基于《倍数与因数》的课例研究 北部新区花朝小学 刘燕 小学阶段所涉及的数学概念都是非常基本、非常重要，但是“越是简单的，往往越是本质的”，因此对于小学阶段的基本数学概念内涵的理解，是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观、真正使“情感、态度、价值观”目标得以落实的载体就要求我们必须在数学课堂上设计有价值的数学活动来凸显数学概念的本质，以促进数学概念的建构一、 研究背景北京教育学院刘加霞教授提出：“为什么数学中火热的发明会变成现实中冰冷的美丽，教材是‘教学法的颠倒’教师与学生都在形式上的理解，造成目前数学教学的难堪境地教材所呈现的是形式化的、冰冷的结果，教学如果从这些“冰冷”的形式开始，学生就不可能经历“火热”的数学思考过程实际数学教学时，如果从“形式”开始，学生就容易出现“形式”上的理解为了避免“形式”上的教，张奠宙先生指出：“一线教师需要将“学术形态的数学”转化为“教育形态的数学”。
为此我们需要关注学生的生活概念、经验与数学概念之间的本质联系与区别，自然地实现由“生活概念向科学概念的运动（杜威）”数学教师课堂教学的核心应该是对数学学科知识本质的把握，特别是对数学概念本质的认知和把握关注数学概念、知识发展的历史本源，关注其形成、发展的原始动力与过程；关注现实问题向数学问题的转化过程，真正让学生经历“建模”的过程，体验到数学之于解决实际问题的重要意义；更需要关注学生的朴素问题与思维过程，真正激发学生探究的愿望，发展理智的好奇二、 研究的问题（一） 挖掘倍数与因数的知识本质《倍数与因数》是小学数学中关于两个数关系的一节起始概念课，“倍数和因数”的教材编排跟老教材相比有着很多不同之处，最大的不同在于老教材是先让学生认识整除，然后在整除的基础上引出倍数和因数的定义概念的揭示从抽象到抽象，没有学生经历的过程，也无学生借助原有经验的自主建构西师版新教材首先介绍了自然数，为因数的数域做准备，然后是从韩信点兵的情境图引入的，让学生根据情境写出不同的算式，从而导出倍数和因数的概念从算式中去理解倍数与因数的概念可以说这其实就是一种形式上的呈现，需要我们做教育性的处理作为一节起始概念课，我们有理由对倍数与因数的概念进行深入的挖掘，帮助学生去理解概念的本质，更好的建立起基本概念。
通过查阅文献我们发现对于因数与倍数是描述的数与数之间的关系《初等数论》（潘承洞、潘承彪著）以及《什么是数学》（柯朗等著）里对因数和倍数是这样解释的：有两个非零自然数a、b，如果存在一个q∈z,使得b=qa,则b是a倍数，a是b的因数这句话翻译成儿童能听懂的语言，就是说，如果b里面刚好能分成几个a,则a就是b的因数，b就是a的倍数可以把理解因数与倍数的关系，结合前面学习的平均分能整除来理解这样定义的：“整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的因数或素数素数和因数的区别有三点：1.数域不同素数只能是自然数，而因数可以是任何数2.关系不同素数是对两个自然数的整除关系而言，只要两个数是自然数，就能确定它们之间是否存在素数关系，如：40÷5=8，40能被5整除，5就是40的素数，12÷10=1.2，12不能被10整除，10不是12的素数因数是两个或两个以上的数对它们的乘积关系而言的如：8×0.2=1.6，8和0.2都是积1.6的因数，离开乘积算式就没有因数了3.大小关系不同当数a是数b的素数时，a不能大于b，当a是b的因数时，a可以大于b，也可以小于b例如，5是60的素数，5< 60，8是4.8的因数，8 >4.8基于以上的思考，我把教学目标设定为1．通过动手操作写出不同的乘除法算式，认识倍数和因数，初步理解倍数和因数相互依存的关系。
2．使学生在认识倍数和因数以及探索一个数的因数的过程中，进一步体会数学知识之间的内在联系，并总结找一个数的因数的方法，从而提高数学思考的水平3．培养学生的合作意识、探索意识，以及热爱数学学习的情感二） 设计有价值的数学学习活动整个课堂的推进主要是依靠有价值的数学学习活动来展开的，考量教学活动的设计价值也是本课例着重要研究的内容和方向所有的活动的目的都是围绕着，教学目标的实现而非其它，有了目标就有了活动的方向，活动才能在有序的组织中推动学生概念的建构本课设计中的活动主要有两个活动一：用12 个小正方形，拼摆一个长方形，每次必须全部用完，并用算式把你的拼摆过程表示出来活动的目的：旨在把学生调动起来，感受整除，初步的感知倍数与因数，都是以整除为前提拼摆的过程就是认识倍数与因数的过程这是本课例重点研究的一个课堂主要活动，也是本节课知识的核心本质所在活动二：找寻36的所有因数活动的目的：让学生在寻找一个数所有因数的过程中，去观察因数的特征，从而总结出，寻找一个数所有因数的方法，进一步体会数学知识之间的内在联系，提高数学思考的水平三、研究的方法 三课两反思的课例研究模式四、研究的过程：（一） “为什么教学要超时?”1、课堂片段节录：教师引入新课后：师：课件出示：12个正方形，请把它们拼成一个长方形，把你的拼法在方格纸上框画出来，再试着用算式表示出来，写在草稿本上。
给你一分钟看谁的方法多，开始生：学生独立完成，后汇报师：（1）你是怎样画的（框画了几排，每排有几个），算式是怎样列的？（2）学生展示汇报师：老师把你们的画法整理了一下，请你观察：出示课件 3×4=12 6×2=12 12×1=124×3=12 2×6=12 1×12=12师：指算式，观察这些算式，它们有什么共同点？从上面的算式中，我们发现，这些算式中的两个数相乘都得12，像这样两个数相乘等于12的数，和12 之间有着某种关系，你们想知道吗？师：介绍因数与倍数（课件出示：3是12的因数，12是3的倍数；4是12的因数，12是4的倍数请生读一遍这句话中有两个关键词，请你把它重读师：这里出现了两个重要的词“因数与倍数”，这就是今天我们要一起来学习的新课（板书课题:倍数与因数）师：你能像老师一样也用因数与倍数来描述一下余下的两组算式吗？生：两人一组，说一说师：通过刚才的描述，我们发现12都有哪些因数呢？（板书：12:1、2、3、4、6、12 ）师：满足什么条件就是12的因数呢？生：每两个数相乘的积都是12，我们说这些数都是12的因数师：两个数相乘等于12的算式还有没有，你能举例说说吗？生：2.4×5=12师： 2.4×5=12，这里的2.4是不是12的因数为什么？生1：不是生2：是，因为这两个数相乘也等于12.师：不是，因为我们所说的因数与倍数都是在自然数范围内，不包括小数、分数师：0可以做12的因数吗？为什么？生：0乘任何数都不能得到12师：所以在自然数范围内的因数要除0以外即非0自然数。
师：听了你们刚才的描述，有一个同学也觉得自己收获很大，她也要来描述一下这一组算式. 3×4=12中， 3是因数，12是倍数，你觉得这个同学说得对吗？为什么？生1：我觉得好像对好像又不对生2：对的师：倍数和因数是描述的两个的数的关系，不能只说一个，要说成：“3×4=12中， 3是12的因数，12是3的倍数2、课后问题聚焦（1）学生活动耗时过长，整个课堂节奏缓慢教师在设计活动时的初衷，是希望学生能在头脑中建构起12个小正方形，拼成长方形的画面，再描画出来，并以形为支撑，列出算式，初步感受倍数因数与整除的联系但在实际的操作中，学生用于画长方形的时间太长，让学生在画的过程中耽误了太多的时间浪费了精力，没有很好的去思考三种摆法的共同点，以及列出的算式的相同之处2）对于数学本质的追问不够，逻辑不太合理 教师在活动后，对于倍数与因数的概念，是直接告知的，本来这种告知是可以的，但是缺乏对知识的本质的追问例如：在介绍了倍数与因数概念后，教师让学生仿照老师的样子说一说另外两种摆法的两个数与12的关系这种学习纯粹是模仿学习，只能学其形，而不能学其神作为倍数与因数的意义，与整除是有着密切联系的，所以，教师在算式的呈现中，只呈现乘法算式，对于帮助学生更深入的理解概念，是比较不具有说服力的。
3、改进建议：(1)活动形式：建议把原来的由学生想画，改成学生在10×12的方格纸上用斜线涂画，这样即可以比较准确的表达学生的思维，又比较节约时间而且在课堂展示中看上去也比较规范美观，便于其它同学观察、发现，能提高课堂的效率2）活动过程： 建议给学生一个固定的时间，在呈现反馈学生的作品可以事前收集，集中突破一个，后面进行类推课堂教学中采用一分钟竞赛的形式，即有效的把控时间，又可以训练学生集中注意力完成学习任务，提高课堂教学的高效性3）活动追问： 活动最后的追问：“3×4=12中， 3是因数，12是倍数，你觉得这个同学说得对吗？为什么？”容易把学生带入到误区，由于倍数因数的本质问题，没有在课中得到很好的解释，所以这里可以不提这个问题，而是把这个问题放在整个这节课的最后，最好能让学生通过这节课的学习，能自己提出来，这样老师就可以更好的加以引导解释，在这里出现不是特别的恰当这一次的小组研讨，更多的是集中在课堂中的形式修正和问题设置，这样的研讨可以让课堂有更紧凑的呈现，但是本质的核心问题不清晰是不是有了完美形式的掩饰就可以了呢 ？（二） “因为2.4不是自然数，所以不是12的因数？”1、 课堂片段节录：师：12个正方形，请把它们拼成一个长方形，把你的拼法在方格纸上用斜线涂画出来，再试着用算式表示出来，写在草稿本上。
给你一分钟看谁的方法多，开始生：独立完成，后汇报1）你是怎样画的（画了几排，每排有几个），算式是怎样列的？（2）学生展示汇报师：把你们的画方法整理了一下，请你观察：出示课件 3×4=12 6×2=12 12×1=124×3=12 2×6=12 1×12=12师：指算式：观察这些算式，它们有什么共同点？生：从上面的算式中，我们发现，这些算式中的两个数相乘都得12，像这样两个数相乘等于12的数，和12 之间有着某种关系，你们想知道吗？师：介绍因数与倍数并板书（课件出示：3是12的因数，12是3的倍数；4是12的因数，12是4的倍数请生读一遍这句话中有两个关键词，请你把它重读师：这里出现了两个重要的词“因数与倍数”，这就是今天我们要一起来学习的新课（板书课题:倍数与因数）师：你能像老师一样也用因数与倍数来描述一下余下的两组算式吗？生：两人一组，说一说师：通过刚才的描述，我们发现12都有哪些因数呢？板书：12的因数:1、2、3、4、6、12 师：满足什么条件就是12的因数呢？( )×( )=12师：那12÷5=2.4，那2.4是不是1。