直线及圆位置关系知识点及经典例题

直线与圆位置关系直线与圆位置关系一．一．课标要求课标要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想二．知识框架二．知识框架相离几何法弦长直线与圆的位置关系相交代数法切割线定理相切直线与圆代数法求切线的方法几何法圆的切线方程过圆上一点的切线方程圆的切线方程切点弦过圆外一点的切线方程方程三．直线与圆的位置关系及其判定方法三．直线与圆的位置关系及其判定方法1.利用圆心O(a,b)到直线Ax By C  0的距离d Aa BbCA  B22与半径r的大小来判定1）d  r 直线与圆相交（2）d  r 直线与圆相切（3）d  r 直线与圆相离2.联立直线与圆的方程组成方程组， 消去其中一个未知量， 得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定1）有两个公共解〔交点〕 ，即  0 直线与圆相交（2）有且仅有一个解〔交点〕 ，也称之为有两个一样实根，即  0直线与圆相切（3）无解〔交点〕 ，即  0 直线与圆相离3.等价关系相交 d  r    0相切 d  r    0相离 d  r    0练习练习〔位置关系〕〔位置关系〕1.动直线l : y  kx5和圆C:(x1) y 1，试问k为何值时，直线与圆22相切、相离、相交.〔位置关系〕〔位置关系〕2.点M(a,b)在圆O:x  y 1外，则直线axby 1与圆O的位置关系是22-〔〕A.相切B.相交C.相离D.不确定〔最值问题〕〔最值问题〕3.实数x、y满足方程x  y 4x10，22（1）求y的最大值和最小值；x（2）求x y的最大值和最小值；（3）求x  y的最大值和最小值。

〖分析〗〖分析〗 考察与圆有关的最值问题， 解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解， 运用数形结合的方法， 直观的理解 转化为求斜率的最值； 转化为求直线y  xb截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题〔位置关系〕〔位置关系〕 4.设m,nR， 假设直线(m1)x(n1)y2  0与圆(x1)(y 1)12222相切，则mn的取值围是〔〕〔〔位位置置关关系系〕〕5.在平面直角坐标系xoy中，圆x2 y2 4上有且仅有四个点到直线12x 5y c  0的距离为 1，则实数c的取值围是6．直线3x  y  2 3  0截圆*2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角是 (C)A、B、C、D、643222〔位置关系〕〔位置关系〕 7．圆x  y 2x 2y 10上的点到直线x  y  2的距离最大值是〔〕A．2B．1 2C．12D．1 2 22〔最值问题〕〔最值问题〕8.设 A 为圆(x2)2(y 2)21上一动点，则 A 到直线x  y  5  0的最大距离为______.9．圆 C 的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x  4y  4  0与圆 C 相切，则圆 C的方程为〔〕A．x  y 2x 3022B．x  y  4x  0D．x  y  4x  02222C．x  y 2x 302210.假设曲线y 1 x2与直线y  x b始终有两个交点，则b的取值围是__________.〔对称问题〕〔对称问题〕 11.圆C1:(x 3)(y 1)4关于直线x  y  0对称的圆C2的方程22为:()-A.(x 3)(y 1)4B.(x 1)  (y 3)  42222C.(x 1)(y 3)4D.(x 3)  (y 1)  422222212. 直线y  kx3与圆(x2) (y 3)  4相交于M,N两点，假设| MN |2 3，则k的取值围是()A．[,0]34B．[33,]33C．[ 3,3]D．[,0]2313.圆C：(*－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)*＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)证明：不管m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；(2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值．[解析](1)将方程(2m＋1)*＋(m＋1)y＝7m＋4， 变形为(2*＋y－7)m＋(*＋y－4)＝0.直线l恒过两直线 2*＋y－7＝0 和*＋y－4＝0 的交点，2*＋y－7＝0由得交点M(3,1)．*＋y－4＝0又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M(3,1)在圆C，∴直线l与圆C恒有两个交点．(2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．又|CM|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴弦长为l＝2r2－|CM|2＝225－5＝45.四．计算直线被圆所截得的弦长的方法四．计算直线被圆所截得的弦长的方法1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的Rt计算，即AB  2 r d222.代数法：运用根与系数关系〔韦达定理〕 ，即AB k21 xA xB(k21) (xA xB)24xAxB〔注：当直线AB斜率不存在时，请自行探索与总结；（弦中点坐标为练习练习xA xByA yB,），求解弦中点轨迹方程。

〕22221.直线y  2x3被圆x  y 6x8y 0所截得的弦长等于〔〕2.过点(2,1)的直线中被圆x  y 2x 4y 0截得的弦长最大的直线方程22是()A.3x  y 5  0B.3x  y 7  0C.x 3y 5  0D.x 3y 5  03.圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l : y  x1被圆C所截得的弦长为2 2，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为〔〕-4.直线*－2y－3＝0 与圆C： (*－2)2＋(y＋3)2＝9 交于E、F两点， 则△ECF的面积为()3335A.B.C．25D.2455.圆C:(x 3)(y 4)4和直线l :kx  y  4k 3  022〔1)求证:不管k取什么值,直线和圆总相交;(2)求k取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.6.假设曲线*2＋y2＋2*－6y＋1＝0 上相异两点P、Q关于直线k*＋2y－4＝0 对称，则k1的值为()A．1B．－1C.D．227.过点M3,3的直线l与圆x2 y2 4y  21 0相交于A,B两点，〔1〕假设弦AB的长为2 15，求直线l的方程；〔2〕设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程．解： 〔1〕假设直线l的斜率不存在，则l的方程为x  3，此时有y 4y 12  0，弦2| AB|| yA yB| 268，所以不合题意．故设直线l的方程为y3 kx3，即kx y3k 3 0．将圆的方程写成标准式得x y2 25，所以圆心0,2，半径r 5．22圆心0,2到直线l的距离d |3k 1|k 12，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以1523k 1k212 25，即k 3 0，所以k  3．2所求直线l的方程为3x y12  0．〔2〕设Px, y，圆心O10,2，连接O1P，则O1P AB．当x  0且x  3时，kO1PkAB 1，又kAB kMPy (3)，x (3)22y2y3355则有． ． ． ． ． 〔1〕 1，化简得xy．x0x3222当x  0或x  3时，P点的坐标为0,2,0,3,3,2,3,3都是方程〔1〕355的解，所以弦AB中点P的轨迹方程为xy．22222-8.圆x  y  x 6y  m 0和直线x  2y 3  0相交于P,Q两点,O 为原点,且22OP  OQ,数m的取值.五．切点，求切线方程五．切点，求切线方程22221.经过圆x  y  r上一点P（x0, y0）的切线方程为x0x y0y  r2.经过圆(xa) (y b)  r上一点P（x0, y0）的切线方程为222(x0a)(xa)(y0b)(y b)  r23.经过圆x  y  Dx Ey  F 0上一点P(x0, y0)的切线方程为22x0x y0y D练习练习x0 xy  y E0 F  022221.经过圆上一点P(4,8)作圆(x7)(y 8)9的切线方程为〔〕222.圆x  y 4x 0在点P(1,3)处的切线方程为〔〕A．x 3y  2  0B．x 3y  4  0C．x 3y  4  0D．x 3y  2  0六．切点未知，过园外一点，求切线方程六．切点未知，过园外一点，求切线方程1.k不存在，验证是否成立；2.k存在，设点斜式，用圆到直线的距离d  r，即练习练习1.求过A(3,5)且与圆C:x  y 4x4y 70相切的直线方程。

22七．切线长七．切线长假设圆C :(xa) (y b)  r，则过圆外一点P(x0, y0)的切线长222d (x0a)2(y0b)2r2练习练习1.自点A(1,4)作圆(x 2)2(y 3)21的切线，则切线长为〔B〕(A)5(B) 3(C)10(D) 52.自直线 y=*上点向圆*2+y2-6*+7=0 引切线，则切线长的最小值为八．切点弦方程八．切点弦方程过圆C :(xa) (y b)  r外一点P(x0, y0)作圆C的两条切线方程， 切点分别为A,B,222-2则切点弦AB所在直线方程为：(x0a)(xa)(y0b)(y b)  r1．过点C(6，－8)作圆*2＋y2＝25 的切线于切点A、B，则C到两切点A、B连线的距离为()15A．15B．1C.D．52九．切割线定理九．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项， 即练习练习1.自动点P引圆x  y 10的两条切线PA,PB，直线PA,PB的斜率分别为k1,k222（1）假设k1k2k1k2 1，求动点P的轨迹方程；（2）假设点P在直线x y  m上，且PA PB，数m的取值围。

〖解析〗〔1〕由题意设P(x0,y0)在园外，切线l : y y0 k(x x0),kx0 y0k 12 10，由k1k2k1k2 1得点P的轨迹方程为x y  2 5  02）P(x0,y0)在直线x y  m上，x0 y0 my1022又PA PB，k1k2 1,02 1，即x0 y0 20，将x y  m代入化简得x010又  0，-2 10  m  2 10又x0 y010恒成立，m  2或m  2 5222。