27.1 比例性质、黄金分割 一、教学目标1．核心素养通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力．2. 学习目标（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质．能运用比例的性质解决与比例线段有关的几何问题．（2）知道黄金分割的定义，并能运用.3．学习重点（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质．（2）了解黄金分割的意义，并能运用.4．学习难点运用比例的基本性质解决有关问题；黄金比，找黄金分割点.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1 上网学习，思考：什么是比例的基本性质？什么是合比性质？什么是等比性质？怎么推导？任务2 上网学习，思考：什么是黄金分割？黄金比是多少，怎么得来？黄金分割有怎样的应用？2．预习自测1.已知，则的值为（ ）A. B. C. D.【知识点:比例性质】答案：C解析：略2.已知点M是线段AB的黄金分割点(AM>BM)，若AB=8cm，则AM的长为（ ）A.(4–4)cm B.(12-4)cm C.(2–2)cm D.(6-2)cm【知识点:黄金分割】答案：A解析：略3.若x：6=(5+x)：8,则x=______.【知识点:比例基本性质】答案：x=15解析：略（二）课堂设计1．知识回顾（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比.（2）比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
3）比例：表示两个比相等的式子叫做比例.2．问题探究问题探究一 什么是比例的基本性质？ 重点、难点知识★▲●活动1 交流学习，合作探究探究：已知80：2=200∶5，仔细观察：两个外项和两个内项，你发现了什么？80 5=2 200两外项积是：805＝400两内项积是：2200＝400验证：6:10=9:15，，，2.4：3=5.6：7.归纳：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．这叫做比例的基本性质.比例的基本性质：若四条线段满足，则有ad=bc．●活动2 探究：已知 ad=bc，你能得到哪些比例式?对调内项或外项后，比例依然成立!!归纳：更比性质(交换比例的内项或外项)：反比性质(把比的前项、后项交换)：．●活动3 例题讲解，比例基本性质的应用例1：判断：5x=6y，则x：y=5：6（ ）【知识点:比例基本性质】解： 由比例的基本性质得6x=5y，与已知5x=6y不符，所以错误.点拨：在改写比例时，x作外项，和x相乘的5一定也作外项把ax=by改写成比例式后，a和x必须同时为外项，或同时为内项例2.已知1.3：x=5.2：(x+30), 则x=________.【知识点:比例基本性质】解：由比例的基本性质得5.2x=1.3(x+30)，解得x=10.点拨：由比例的基本性质转化为解方程.●活动3 应用练习1.把1.6、6.4、20和5四个数组成比例式，应为______________.【知识点:比例基本性质】解：答案不唯一，如1.6：6.4=5：20.2.已知=6y，则y：x=________ ．【知识点:比例基本性质】解：5：18 由=6y，得5x=18y，由比例的基本性质y：x=5：18.问题探究二 什么是合比性质？什么是等比性质？ 重点、难点知识★▲●活动1 让学生通过计算、推理证明，得出合比性质.合作探究：（1） 已知=3,求和；（2） 如果=k（k为常数），那么成立吗？为什么？（3） 如果，那么成立吗？为什么？在学生的分析、讨论下，可得出;（1）∵=3，∴a=3b，c=3d，则，．（2）∵=k，∴a=kb，c=kd，∴，，∴．（3）∵=k，∴a=kb，c=kd，∴，，∴．归纳：合比性质：如果，那么．●活动2 引导学生探究，得出等比性质.探究1：如图的值相等吗？的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？分析：由已知可得，所以．发现：若干个比的比值相等，且所有分母的和不为0,则所有分子的和与所有分母的和之比值与原来这些比的比值相等。
探究2：如果==…=（b+d+f…+n≠0）, 那么吗？解：设比值法：归纳：等比性质：如果==…=（b+d+f…+n≠0）,那么．●活动3 例题讲解例1.若，则；．【知识点:合比性质】解：∵，由合比性质，得，．例2.若，则【知识点:等比性质】解：∵，∴●活动3 应用练习1. 已知，则，．【知识点:合比性质】解：，.2. 若, 则，.【知识点:等比性质】解：.问题探究三 什么是黄金分割？怎么求黄金比？ 重点、难点知识★▲●活动1. 探究黄金比. 动手操作，然后算一算，完成下面的填空：度量线段AC、BC的长度，线段AC=____，BC=____，计算=____,=____, 与的值相等吗？活动2 计算黄金比. 你能求出黄金比吗？引导学生通过列方程求出黄金比归纳：段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，其中=≈0.618. 即，简记为：．说明：黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个.黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为，精确到0.001为0.618.●活动3 确定黄金分割点.提出问题：如何找到一条线段的黄金分割点？引导学生用尺规作图找出一条线段的黄金分割点。
合作探究，用尺归作图作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.点C即为线段AB的黄金分割点.●活动4 黄金比的应用例： 如图，已知等腰ΔABC中，AB=AC，，BD平分交BC于点D，求证：分析：由题意可证得BC=BD=AD易证ΔBDC∽ΔABC，可得，即，∴点D是AC的黄金分割点，∴，故归纳：黄金三角形：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金三角形.黄金矩形：宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.●活动5 应用练习⒈已知线段AB=2，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC=________,BC=________.【知识点：黄金分割，黄金比】解：，.2.点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若AB=20cm，则CD=_______cm.【知识点：黄金分割，黄金比】解：.●活动6 课外在网上去搜索黄金分割的应用.3．课堂总结【知识点梳理】（1）比例的基本性质：比例的两外项之积等于两内项之积．即若，则ad=bc．（2）更比性质：交换比例的内项或外项，比例仍成立．即．（3）反比性质：把比的前项、后项交换，比例仍成立．即．（4）合比性质：在一个比例里，第一个比的前后项的和（或差）与它后项的比，等于第二个比的前后项的和（或差）与它的后项的比.即如果，那么．（5）等比性质：如果==…=（b+d+f…+n≠0）,那么（6）黄金分割：段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，其中=≈0.618.（7）黄金三角形：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金三角形.黄金矩形：宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.【重难点突破】（1）比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．（2）等比性质的证明可运用“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，引入比值k的方法是解决有关比例计算变形中的一种重要方法，以后经常会用到．应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个.若点C、D是线段AB的两个不同的黄金分割点，则.4．随堂检测（1）把mn=pq写成比例式写错的是（ ） 【知识点：比例的基本性质】答案：D解析：略（2）若，则（ ）A． B． C． D．答案：C解析：略【知识点：比例的合比性质】（3）若，则等于（ ）A．8 B．9 C．10 D．11【知识点：比例的性质】答案：C解析：略（4）若点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则的值为（ ）A. B. C. D.【知识点：黄金比】1. 答案：C解析：略二、填空题（5）0.618是黄金分割率，当环境温度与人的正常体温（36.5℃）的比值等于黄金分割率时，机体的新陈代谢、生理节奏功能均处于最佳状态，则环境温度为________时，人感到最舒适.【知识点：黄金分割率】2. 答案：22.6℃解析：略（三）课后作业基础型 自主突破1. 已知，则x的值是（ ）A. B. C. D.【知识点：比例性质】答案：B解析：略2. 若，则的值为（ ）A. B. C.1 D.【知识点：比例性质】答案：A解析：略3. 若3a=4b，则下列各式中不正确的是（ ）A. B. C. D.【知识点：比例性质】答案：D解析：略4. 已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC 2=BC•AB，则下列式子成立的是（ ）A. B. C. D.【知识点：黄金分割】答案：B解析：略5. 若线段AB=2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）A. B. C. D.【知识点：黄金分割】答案：D解析：略6. 已知，，则（ ）A．1 B．3 C．2 D．5【知识点：比例性质】答案：C解析：略能力型 师生共研7. 若a、b、c、d是互不相等的正数，且，则下列式子错误的是（ ）A. B. C. D.【知识点：比例性质】答案：D解析：略8. 已知：，且2x-3y+z=10，则x+y+z=（ ）A．90 B．-90 C．70 D．-70【知识点：比例性质】答案：B解析:∵，∴x=2k,y=3k,z=4k.∵2x－3y+z=10，22k－33k+4k=10解得，∴x+v+z＝2k+3k＋4k=9k==﹣90.故选B9. 如果，那么k的值为（ ）A．-1 B． C．2或-1 D．或-1【知识点：比例。