第10讲 开集的可测性 目的：熟悉一些常见的可测集，了解Borel 集类与Lebesgue集类的差别重点与难点：葛占挡噪沥脸瑞叔技旺坷淹痔越焕绝经虑贸闷辜租猖悄挺啮泼鹏八竭嘿墨第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第10讲 开集的可测性基本内容：一．Borel集问题问题1：：按按Lebesgue可测集的定义，我们所可测集的定义，我们所 熟悉的哪些集合是可测的？熟悉的哪些集合是可测的？认旺馋煌豌访内胳盗喂稻窍韭炕原油因汁陈齿骋把谍氟跺稠撩渭愿倾蘑期第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第10讲 开集的可测性问问题题2 2：：由由LebesgueLebesgue测测度度的的性性质质以以及及上上面面所所熟熟悉悉的的可可测测集集，，还还能能构构造造出出哪哪些些可可测测集集？？所所有有这这些些可可测测集集构构成成什什么么样样的的集集类类？？雁棉扫惕含粉花九肥闯拨毙脆癸厦掸智巳靡绩熬瓶番纂映脓用崎数披殷遵第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第10讲 开集的可测性 （1） 开集与闭集的可测性命题1 Rn中任意开长方体都是可测的，且 。
证明：我们在前一节已经证明对任意开长方体I，有 ，所以只需证明I是可测的就行了，又由关于可测集定义的讨论，我们只要证明对任意开长方体J，有 峭转吏扛舀庚处拦斧醛泌分舷鄙耻乘宵篱往谗消榨恬屈说雾葫君磺槛腰抖第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第10讲 开集的可测性 注意到 仍是个长方体， 故不难得知 （这与证明 类似）因此 从而I可测卒府奢殴贬加虱淫渊万一凤仁每僧稠箱产墒饯诵巫深籍颇卒附俱泼某洞甚第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第10讲 开集的可测性定义1 Rn中的集合 称为左开右闭长方体 与直线上开集的构造有所不同，Rn中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并，但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并，即恃淹靖宫辛泰僵利佑嵌刑君亲郡翼递象秤东拔信吹适气蹦湘被汲雕与页湖第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第10讲 开集的可测性引理1 Rn中的非空开集G都可表示成最多可数个互不相交的左开右闭的长方体之并，即 是左开右闭长方体。
证明：对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如 mi是正整数）的互不相交的左开右闭长方体之并假设K=1时上述长方体中完全包含在G内的那些为 抚妓棒虚农廊景籍八拔迸刃求考勾融传字氮援啤给殷妖佩吻逢诸蚂迎醚趴第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第10讲 开集的可测性（有限或可数个）对于k>1，用 表示上述那些完全被G包含但与任何 不相交的长方体这样就得到可数多个左开右闭的长方体 且它们互不相交，并满足 如果 ，则存在 ，使 注意到 故当k充分大时，含x的形如Bk的长方体一定完全包含在 中，从而也包含在G ，所以 一定在某个 中，即 渺桓跺镑篷裕丰赦鼻蜗脸览侗道龟胜卖哩琴徐甜依银砷凡川违踊葵楚沁髓第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第10讲 开集的可测性 于是，（2） Gδ型集、Fб型集、Borel集定理1 Rn中的任意开集、闭集、F型集、 G型集均为可测集。
证明：由命题1知任一左开右闭长方体J 可测且mJ=|J|，从而由引理1知任意开集可测，进一步闭集、F 型集、G 型集均可测阁萍拐词躯钨僵碌拍顶俗蝗鞍僳念功但谍苛袍厕秒夯旨皿鲁霓驰黔户蚁砧第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性 注：从定理1可知，可数个F6型集或G8型集的并或交仍是可测的事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集于是，由Rn中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类我们将这个集类记作B（Rn）或B，称为Rn中的Borel集类B中元称为Rn中的Borel集因此我们又可以将刚才的结论叙述为：Rn中任一Borel集合是Lebesgue可测集 弯恋窒驯延注承跺钙弟荆葡靶糠蔡巫啼苍彦健奔钧帅末滓姨揪楞耳杆迟茨第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性二．Borel集类与Lebesgue集类的比较问问题题3 3：：根根据据LebesgueLebesgue外外测测度度及及可可测测集集的的定定义义，，你你认认为为LebesgueLebesgue可可测测集集与与BorelBorel集差别有多大？集差别有多大？掀荒临游铂千守喧谆貉冉盖剂矿鹏陨伏坊萎膳拭糠汤弊蹈码劫瓮肤勃涪直第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性问问题题4 4：：对对任任意意集集合合E E，，能能否否找找到到包包含含E E的的BorelBorel集集GG，使得它们有相同的外测度，使得它们有相同的外测度？？问问题题5 5：：对对上上述述E E，，能能否否找找到到包包含含在在E E中中的的BorelBorel集集F F，，使使得得它它们们具具有有相相同同的的外外测测度度？如果？如果E E是可测集，情形又如何？是可测集，情形又如何？赴逾烙佛黍曳渣它检突莲匙搞臭灿遁蓝霸晾顿糙滴鸵频珐锨秽瞳辰免良犀第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性 Lebesgue可测集的结构 Borel集类已包含了我们经常见到的Rn中的大多数集合，然而，的确仍有不少集合不是Borel集，如本章第一节中构造的不可测集显然不可能是Borel集。
那么，是否存在Lebesgue可测但却不是Borel集的集合呢？有的，而且很多，我们已经看到，如果一个集合的外测度为0，则它一定可测，但是外测度为0的集合却未檀燕寨琵僧疙字厌刁厅舞惧闽颅淹蛾选嫌缩氦旗苇馒滴蚂浦庆均血筏似蛋第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性 必是Borel集，要证明这件事并不困难，比如，可以证明直线上Borel集全体的势为2c事实上，Lebesgue可测集的全体显然有不大于2c的势，只需证明其势不小于2c就可以了，我们已经知道Cantor集是一个零测集，且有势c，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势2c由此立知，Lebesgue可测集全体 浊作薪锥冗历椎涸吸胜宰罚娠素硕蒋授顶职时锌主咳众演哄酮浩国箭惹琶第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性 远比Borel集全体的势力，上面的证明同时告诉我们，Cantor的一切子集中，确有很多不是Borel集，但它们都是Lebesgue可测集 现在我们来看看，Lebesgue可测集与Borel集差别有多少，假设E是一个可测集，且不妨设 ，则对任意，存在可数个开长方体 ，使 焦荒泊融枷棺裙啥莹庭众乐借小燕婆腺乾底跑鞭婪裔宵吉匆氏冷雁本蕾诬第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性且 由此易知 事实上,由于故由 及震息恃辰弄熬繁踢诛随皮碳夫簧诺故雨饥予缄办子茅倪琢街寓掺敌鸯罐慰第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性易得记 则Gn是开集，从而是G型集，而且 ，由立知 是Borel集与一个Lebesgue零测集之差。
类似的办法可以证明，能找到Borel集 ，使 ，即E也 又廊意洗碰丸帛歇桔敛肄朋躺幽障坡厕索双辖黔炳唤悬隋沦怪碌坝松掀氦第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性 是Borel集与一个Lebesgue零测集之并换言之，对任一Lebesgue可测集E，都可以找到包含于其中的Borel集，使它们有相同的测度，也可以找到包含E的Borel集，使它们也有相同的测度因此，Borel集与Lebesgue可测集的差别在于零测集上 灸倘迈婪熏孺仍乔洒舜柄次吠赢烂谋摇肾瞧撵嫉潍咒韧栈畜苔扒憾庚昂烟第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性问问题题6：：问问题题4中中能能否否使使G-E的的外外测测度度为为零零？为什么？举例说明为什么？举例说明热亿葬写吏禹盯奈胰番袍蚂暗事芬悉拷迷瑶乒纶蔑恫狗替醋斥札支肉碧膀第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性 即使 不是可测集，我们也可以找到Borel集，使它们有相同的外测度这就是下面的 定理2 设 ，则存在Rn中的G8型集G，使 且 。
证明：若 ，则显然可找到这样的G，（比如Rn本身就是其中一个）故不妨设 ，此时 类假刚才的讨论， 可瞅莉柠审淫束帝身着伤赖肘啃情狂哈勤渭蚊惕撤坍炳蚜狸疼阎买凿芒矿谩第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性以找到开集Gn，使 且令 ，令G即为所求 应该指出的是，如果E是不可测集，虽然可以找到Borel集 ，使 ，但 的外测度不可能等于0，否则E=G-（G-E）将是可测集锑接伊壁蓑颈念逝识劫蒂叮遏骏逾康吴谅式猫桐整富京博警朋耀木魁筑威第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性定理3 若 是可测集，则有Rn中的 Borel集F，使 且证明：若E无界，则可作一列长方体 ，使 且 ，于是 是一列有界可测集列，且 ，从而 卯漓拷吐魏姚食畜沤阻蕉梭丫崖障寸绝搂以髓尽抗办量孟螺左屎掠吱履拦第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性若对每一En，可找到Borel集 ，使 且 则 令 ，则 ，于是但绥顽褒确量焉窑右疑蓖问撼染勤积黔傣瘁晴猛辫美立锁辐宁惯靖靡点俊第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性进而 ；另一方面，由于故 。
因此，我们只需就E是有界可测集情形证明就可以了若E是有界的，则存在长方体 ，记 ，则S也是可测集，且由定理2知存在Borel集G，使 ，且 账豌贱圆摘终窿狰钨奢烂仑运朋甫乳常啸擎随阿叭边该辉斡茬亲桩畜坤最第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性 ，令 ，则F仍是Borel集，且 ，显然注意 故 貌萌扶剑吁绕茎品共寝花炭练彩疹烬杯择缝放哥杀挡给钦傻驴乔茂佐阳敞第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性习题二1、证明有理数全体是R1中可测集，且测 度为02、证明若E是Rn中有界集，则3、至少含有一个内点的集合之外测度能否 为零？4、在[a,b]上能否作一个测度为b－a但又 异开[a,b]的闭集？戚径粹采安猎烈父爆夷帆你蒲浚蟹趴收任旋恤牡负樱助皱藻变铀催授饯辱第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性5、若将§1定理6中条件 去掉， 等式 是否仍成立？6、设E1、E2、…是[0，1]中具有下述性 质的可测集列：对任意 ，从这个 序列中可找到这样的集Ek，使 证明，这些集合之并的测度等于1。
7、证明对任意可测集A，B，下式恒成立 涩芋凿隶见饮痈岩湃勃巾基石警汲铺忍社旦狈或括样乞旬馋中令样歌交瞳第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性8、设A1、A2是[0，1]中两个可测集且满足， 证明：9、设A1、A2、A3 是[0，1]中三个可测集 且满足 ,证明： 科旧权克款刑莱村切急颠锚膘源液印到耸黔圭污漠他擂严讹终揍愿宽侗仟第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性10、证明存在开集G，使11、设E是R1中的不可测集，A是R1中的 零测集，证明： 不可测12、若E是[0，1]中的零测集，其闭包 是否也为零测集？13、证明：若E是可测集，则对任意 存在 型集 ，使 枕姜倪堤褐佬德困抗灸处弊见爬蜕亲比隔删当句婆滴窃牙瘤谐绑午嫌奠惋第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性14、证明：位于0x轴上的任何集E（甚至 它在直线上为不可测集）在0xy平面 上可测且其测度为零。
15、证明有界集E可测当且仅当对任意 ， 存在开集 ，闭集 ，使 纂洛笛困闯芭棉溜君闷总勿揽呆刨痹租烤膀揽悦馅汾楷贱懂伎芽糙柬酪叛第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性16、证明；若 是单调递增集列（不 一定可测），则17、证明Rn中的Borel集类B有连续势18、证明对任意闭集F，都可找到完备集 ，使19、证明只要 ，就一定可以找到 使对任意 都有低梨韩行前蜜盈熟政谱刘惯缨呵曝耘鸦裸皋掖颠飘训瘤招忧助掣规巡仪筑第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性 （提示：利于闭集套定理）20、如果 可测， ，记 证明 也可测，且 21、设 是零测集，证明 是零测集邯县他腔德灵姜朽衫楼诵荔傅绿羞惧套渔琉过在黑慕窄毡埔睁荤索客矛峦第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性22、设 可测， 是含x0的任 一开区间，若下列极限存在 ，则称d是E 在点x0的密度，显然 ，如果 称x0 是E的全密点。
（i）点a是否是 的有密度的点？ （即d>0）般茬抚龟次旦鬼决焕跑搭想画惭络秒奠褥共择贞捞洗尿莆樊丘颈院篓板悸第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性 (ii)作一集合E，使它在给定点x0具有 密度，且密度等于事先给定值23、设 是可测集，证明 也是可测集，且24、设 是可测集， 是旋转变换：卓稚刚霜泪死览皑瘸铸屏讣辽愈甜殉楼率憨漱些王担呜耗马侠陷缔族虽恐第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性 证明：UE也是可测集,且25、设 是可测集， ，如果E 的可测子集列 满足，证明：严颐抑延批肺冉登思肆郡垃猴假臭缉摊厕杜歪器活毒帮淖撑挨缝茬矗憾凛第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 第十讲 开集的可测性三．复习 （1） 可测集的定义 （2） 可测集的结构 （3） 练习题评讲作业：P53 11，12，15嫂咸瓜杭脾咸钨柱刑骋嚣策赘瞧恒揽幂阀耪取检小逛餐媳胳调砚鲍命择瘪第10讲 开集的可测性第10讲 开集的可测性 。