第五章 年金精算现值本章内容：生存年金概念和种类 连续给付型生存年金离散给付型生存年金每年给付数次的年金利用换算函数计算年金精算现值 §5.1 生存年金的概念和种类1. 生存年金的概念： 以某人生存为条件，按约定金额多次给付的保险形式2. 种类： 按缴费方式，趸缴与年缴 被保险人数，个人年金与联合年金 给付额度，定额年金与变额年金 开始日期，即付与延期付年金 有效期，终身与定期 3. 生存年金精算现值的概念：注意：精算现值因子与趸缴纯保费精算积累因子定义精算现值因子： 例3.1 某人遗嘱中记录，其儿子年满21岁时可获得其5万元遗产若其子现年12岁，利用附录中生命表计算其儿子所得遗产的精算现值（i=6%）解： 例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元在65岁的精算积累值解： §5.2 连续给付型生存年金连续型生存年金：在保障期间，以被保险人存活为条件，连续支付年金的保险形式类型：终身年金定期年金延期年金 n 几种年金形式的精算现值模型假设：(x)购买终身生存年金，连续给付，年支付额1元Ø总额支付法考虑其精算现值： 设余命 T , 未来给付的现值随机变量 Y，则1. 终身生存年金 (x)生存至t的概率为考虑到计算时间[t,t+dt)所支付的当期年金的现值按可能支付的时间积分，得到期望年金现值Ø现时支付法考虑其精算现值： 2. n年定期生存年金 3. 延期年金延期h年终身生存年金延期h年n年定期年金 例3.3 设随机变量T的概率密度函数为利力为0.05，求（1）（2） 基金足够用于实际支付年金的概率。
解：注：只有一张保单时，以期望值建立基金，保证支付概率偏低 n 年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系1. 关系（以终身生存年金为例）类似地，有 2. 方差终身年金：n年期生存年金： 延期h年终身生存年金： n 年金的精算积累值 §5.3 离散型年金n 期初付年金及其精算现值1 终身生存年金Ø模型假定：(x)购买了期初付终身生存年金，年金金额为1元，每个保单年度初给付年金Ø给付现值随机变量：总额支付法中对上式求期望即得精算现值 现时支付法：总额支付法:Ø两种方法下的精算现值： Ø模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，每个保单年度初给付年金1元Ø年金给付的现值随机变量： 2 n年定期生存年金 Øn年定期生存年金的精算现值3 延期付期初付生存年金 n 年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系1 终身年金：说明：x岁的生存者，在年利率为i时，缴纳1元保费可享受每年初给付d元的终身生存年金，并且死亡时还有1元的死亡给付 给付现值随机变量的方差： 2 其他年金形式：Øn年定期生存年金： Ø延期付生存年金： n 期末付年金的精算现值1 期末付终身生存年金在每个保单年度末给付1元，直至终身死亡。
Ø现时支付法：Ø总额支付法： Ø精算现值与趸缴纯保费的关系： 2 其他期末付年金形式 险种延期m年期末付终身生存年金延期m年期末付n年定期生存年金精算现值 n 年金的精算积累值 §5.4 每年给付数次的年金1 终身生存年金Ø模型：（x）,终身生存年金，每年支付m次，期初支付，每次支付1/m.Ø精算现值：Ø给付现值随机变量：视1/m段为一年，L表示活过的整1/m段数，实际利率为 ，实际贴现率为 ，于是考虑每次付款额为1/m的年金 其中， Ø两类年金精算现值关系由上两式，可得 精确公式：i很小时 ，因此有近似公式对上述近似公式的说明：根据下面提示得到 2 定期生存年金模型：(x)期初付、n年期、每年给付m次，每次给付1/m.精算现值： 3 延期终身生存年金模型：(x)期初付、延期h年、终身年金、每年给付m次，每次给付1/m.精算现值： 4 期末付终身生存年金模型：(x)每期期末付、终身年金、每年给付m次，每次给付1/m.精算现值： 例3.5 (35)欲购买如下生存年金，已知下列年金均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率6%。
求下列年金的精算现值：(1)终身年金；(2)延期15年终身年金；(3)15年定期生存年金解： (1) (2)(3) §5.5 利用换算函数计算年金精算现值 1 每年给付一次的生存年金Ø终身生存年金 注：期末付终身生存年金 其他： 险种期初付期末付终身生存年金定期生存年金延期终身生存年金延期定期生存年金 例3.6设对(60)每年年末给付养老金10000元，直到死亡，求该年金的精算现值（i=6%）解： 例3.7 (25)，欲购买一份10年期每年年初给付10，000元的生存年金，求该年金的精算现值（i=6%）解：精算现值为 2 每年给付m次的生存年金计算方法：（一）将a(m)与 a建立联系，即年付多次的用年付一次的表示 （二） N(m)与N建立联系，引入一个新的换算函数符号 结论： 例3.8 (30)每月初可领取生存年金240元，求下列年金精算现值（UDD, i =6%）：（1）终身生存年金；（2）延期10年终身生存年金；（3）10年定期生存年金解： 例3.9 求(30)每年支付1200元的下列期末付终身生存年金的精算现值（6%）。
若给付方法为：（1）按年；（2）按半年；（3）按季；（4）按月解： 第五章中英文单词对照v生存年金v初付年金v延付年金v确定性年金v当期支付技巧v综合支付技巧vLife annuityvAnnuities-duevAnnuities-immediatevAnnuities-certainvCurrent payment techniquevAggregate payment technique 补充：第二章练习81.（1）假设（x）死亡在某一个小段上发生，该小段段初时间为，段末时间为，则保险给付的数额为1，给，从而有付时刻为 （2）UDD假设下，有，故 本章完 补充：确定性年金-永续年金例子 例 某人去世后，保险公司将支付10万元的保险金，其三个受益人经协商决定按永续年金方式领取该笔款项，A受益人领取前8年的年金，受益人B领取以后10年的年金，然后由受益人C领取以后的所有年金所有的年金领取都发生在年初保险公司的预定利率为6.5％计算A、B、C各自所领取的保险金份额解：每年可领取的年金数额为： A的份额为：C的份额为：B的份额为： 各人所得的保险金份额之和为100,000元，若A、B、C三位受益人计划领取期末付年金，则每年的支付额为：100000×0.065＝6500元，三人所领取份额之和仍为100,000元。