定积分习题课定积分习题课一、基本概念、基本理论一、基本概念、基本理论1、定积分的定义、定积分的定义2、存在定理存在定理（可积的两个充分条件）可积的两个充分条件）定理 1 当函数在区间上连续时，称在区间上可积.)(xf],[ba)(xf],[ba定理 2 设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间)(xf],[ba)(xf上可积.],[ba3、定积分的性质定积分的性质性质 1： badxxgxf)]()([ badxxf)( badxxg)(性质 2： (为常数) babadxxfkdxxkf)()(k性质 3： 假设bca badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性质 4：dxba 1dxba ab 性质 5： 如果在区间上，则 ],[ba0)( xf0)( dxxfba)(ba 推论：（1）如果在区间上，则 ],[ba)()(xgxf dxxfba )(dxxgba )()(ba （2） dxxfba )(dxxfba )()(ba 性质 6：设 M 和 m 分别是在区间上的最大值及最小值，则 )(xf],[ba.)()()(abMdxxfabmba 性质 7： (定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续，则在积分区间)(xf],[ba上至少存在一个点，使 ],[ba dxxfba )())((abf )(ba 4、牛顿、牛顿—莱布尼茨公式莱布尼茨公式5、定积分的计算法、定积分的计算法（1）换元法：dtttfdxxfba )()]([)(（2）分部积分法： bab abavduuvudv][6、广义积分、广义积分（1）无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.（2）无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim 0 badxxf)( badxxf)(lim 0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim 0 bcdxxf )(lim 0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.二、典型例题与方法展示二、典型例题与方法展示上 上上 上上 上上 上上 上上 上 12222241241141[).1(limnnnnn L))1(sin2sin(sin1).2(limnn nnnn L])(41)(41)2(41141[1)1(222 2nn ni nnn LL上 上上 上上 上上 上一个积分和式，于是 上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上]10[ 41)( 2xxf 10 210 2102)2()2(11)2(12141xdxdxxdx x上 上上 上21arctan2arctan10 x)0)1(sin2sin(sin1)2(lim nn nnnnL 上 上上 上)sin)1(sin2sin(sin1lim nn nn nnnn L一个积分和式，于是上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上]0[sin)( xxf 02sin1xdx上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上 2 212121 2 0222)2(21sin)1(2dxeexdxx 解：xxxxx sinsinsin]20[)1(2上 上上 上上 上上 上 821sin2 2 022 02 02 xxdxdx0]210[0]0 ,21[)2( yy上 上上 上上 上上 上上 上)21(1]2121[21 2 xeex上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上]2121[1]2121[212121 2 dxeex上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上51)(3 x)1()()(21)( 02fdtttxxfx 上 上上 上上 上 上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上xdtttxtxxfx)()2(21)( 022 xxxdtttdtttxdttx 02002)()(2)([21 )()(2)(2)()(2[21)(22002xxxxdtttxxdttxxfxx xxdtttdttx 00)()( )()()()( 0xxxxdttxfx 5)1()1()()( fxxfdxxdxtgxtgxxx 0sin000sin4lim上 上上 上上 上上 上解：解： xtgxxxtgx200sec)sin(cos)(sinlim 上 上上 上2100])sin(sin sin)(sin[limtgxtgx tgxx xxtgx 1 )(21)()(5220xfdttfxfxx上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上 xxxfx22ln22)(22 上 上上 上上 上上 上上 上上 上2ln2)(2ln2)(22xxxfxf 例例 6.2sin12 0 dxx上 上上 上上 上 2 0cossin dxxx上 上上 上 244 0)cos(sin)sin(cos dxxxdxxx. 222 例例 7 .] )1(ln1sin[21212 8 dxxxx上 上解：解： dxx 2121)1ln(0上 上上 上dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 例例 8 .},1min{222 dxxx上 上解：解：是偶函数是偶函数, 1,11, },1min{22 xxxx xxQdxxx},1min{2220 上 上上 上 21102122dxxdxx. 2ln232 例例 9 .)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy上 上上 上解：解： 10022][)1(2dxdyexxyy上 上上 上 10231 002322)1(31])1(31[dxexdyexxxxyy= 1021)1(2])1[()1(612xdexx 016duueeu).2(61 e例例 10 .cos1)(sin 2cos1)(sin:,], 0[)( 0202 dxxxfdxxxxfxf上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上证：证： , tx 上 上,dtdx )(cos1)(sin)(02dtttft 上 上上 上dxxxfx 02cos1)(sin)(dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sin cos1)(sindxxxfdxxxxf 0202cos1)(sin cos1)(sin2上 上.cos1)(sin 2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf 例例 11 .)()()(. 0)(],[)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上证：作辅助函数证：作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa Q,2)()( )()( xaxaxadtdtxftfdttfxf, 0)( xfQ2)()( )()( xftf tfxf0)2)()( )()(()( dtxftf tfxfxFxa上 上.)(上 上上 上上 上上 上xF, 0)( aFQ上 上, 0)()( aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 上 上例例 12 . 123)2(;94) 1 ( : 2122 xxxdx xxdx上 上上 上上 上上 上上 上上 上上 上解：（解：（1）） 02029494xxdx xxdx上 上上 上 bbaaxdx xdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx00 52arctan51lim52arctan51lim .5 （（2））, 1231lim)(lim 211 xxxxf xxQ.)(1上 上上 上上 上上 上xfx 2120123lim xxxdx上 上上 上。