3.3 向量组的线性关系 3.3 向量组的线性关系一.线性组合 二.线性相关与线性无关 三.小结与思索题 向量组的线性关系对于我们揭示线性方程组中方程 与方程之间、解与解之间的关系乃至更广泛的事物之 间的联系是极其有意义的, 我们必需娴熟把握如何判 定向量组之间的线性关系. 一.线性组合定义3.7 对于 n 维向量 1 , 2 , , m , 若存在一组 实数k1 , k2 , , km , 使得 km m , m 的线性组合,或称2 k1 1 k2 2 则称向量β 是向量组 1 , 2 , 向量β 可由向量组 1 , 2 , , m 线性表示. 称k1 , k2 , , km 为组合系数或表示系数. 例1 设向量组 1 1 3 2 0 0 0 0 , 1 , 2 , 3 0 2 4 2 3 1 1 2 不难验证 2 1 2 或 1- 33 例2 设 判定向量β 是否可由向量组 1 , 2 , 3线性表示？ 假如可以, 写出他们的线性表示式. 解 设 k1 1 k2 2 k3 3 即 -1 1 0 2 1 = k 2 k 1 k 1 2 3 3 5 3 4 6 -1 1 0 2 1 , 1 2 , 2 1 , 3 3 5 3 4 6 由矩阵相等的定义, 得4 k1 0k2 2k3 1 2k1 k2 3k3 1 3k 4k 6k 5 2 3 1由矩阵的消元法或克莱姆法则解此方程组, 得唯一解 k1 1 k2 2 k 1 3于是, 向量β 可以由向量组 1 , 2 , 3线性表示. 其线性表示式为 1 2 2 35 1 1 3 2 , 1 0 , 2 2 例3 设 1 1 0 判定向量β是否可由向量组 1 , 2线性表示 . 解 设 k1 1 k2 2 即 1 1 3 k1 3k2 2 k 0 k 2 2 k 1 2 2 1 1 0 k 1 k1 3k2 1 由矩阵相等的定义, 得 2k2 2 k 1 1 明显方程组无解, 即满意 k1 1 k2 2 的k1 , k2 不存在. 所以向量β不能由向量组 1 , 2线性表示 . 定理3.3 设 1 , 2 , , m , 为 m 维向量, 则向量 β 可由向量组 1 , 2 , 方程组(3.1)有解. 即 , m 线性表示的充分必要条件是 x1 1 x2 2 有解, 其中 1 , 2 , xm m , m 为系数列向量, β 为常数项 列向量且一个解就是一组表示系数.7 例4 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 , 1 , 2 , 3 , 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 有 =2 1 5 2 3 3 0 4 所以, 称向量β是向量 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合,或向量β 可以由 向量 1 , 2 , 3 , 4 线性表示.即8 由以上线性表示可见, 线性表示的系数恰好是向量 β 的重量.关于线性组合，我们有下列有用的结果： (1) n维零向量 0 0 0 是任意n维向量组 1 , 2 ,(2) n 维向量组 1 , 2 , 的线性组合, 即 , m 0 1 0 2 0 m中的任意 i ( i 1,2, , m , m) 是此n 维向量组的线性组合 i 0 1 0 i 1 1 i 0 i 1 0 m9 (3)任何一个n维向量(a1 , a2 , 线性表示为 , an )T都可由n维基本向量组 ε1 = (1, 0, …, 0)T, ε2 = (0, 1,…, 0)T, …, εn = (0, 0 ,…,1)T a1 1 0 a 0 1 2 a a 1 2 0 0 an 其中表示系数恰是的重量 a1 , a2 , 0 0 an 1 , an . 向量 (0, k , k 2 )能由向量组 1 (1 k, 1, 1), 例5 设 2 (1, 1 k , 1), 3 (1, 1, 1 k ) 唯一线性表示, 则常数k 应满意什么条件？ 解 设 x1 1 x2 2 x3 3 ,由于 能由 1 , 2 , 3唯一表示， 则依据克莱姆法则, 得系数行列式 1 k 1 1 1 1 1 k 1 k 3 3k 2 0 1 1 k11 故当 k 0且k 3时， 能由 1 , 2 , 3 唯一线性表示. 二.线性相关与线性无关1. 线性相关与线性无关的定义定义3.8 设 1 , 2 , , m 为 m 维向量, 若存在不全 为零的数 k1 , k2 , , km , 使得 k1 1 k2 2 则称向量组 1 , 2 , km m 0 ( ) , m 线性相关, 否则称它们线性无关.12 定理3.4 n 维向量组 1 , 2 ,T , m 线性相关(线性无关)T T 的充要条件是齐次线性方程组(*)有非零解(仅有零解). 例6 设 1 1,1,1 , 2 0, 2, 5 , 3 2, 4, 7 试争论向量组 1 , 2 , 3以及向量 组 1 , 2的线性相关性.解 设数k1 , k2 , k3使得 k1 1 k2 2 k3 3 0即 1 0 2 0 k1 1 k2 2 k3 4 0 1 5 7 0 13 齐次线性方程组的未知量为 k1 , k2 , k3 . 由克莱姆法则，得系数行列式 1 0 2 1 2 4 0 1 5 7故齐次线性方程组有非零解，所以向量组 1 , 2 , 3 线性相关. 向量 1 , 2 对应重量不成比例，所以线性无关.14 推论1 设向量 i a1i , a2 i , 则向量组 1 , 2 , 其中矩阵 , ani (i 1,2,T , m) , m 线性相关的充要条件是R( A) m . A 1 , 2 , a11 a12 a a22 21 , m a n1 a n 2, n . a1n a2 n anm 推论2 n个n维向量 1 , 2 , 件是 A 0, 其中A 1 , 2 , , n 线性无关的充要条 向量组的线性相关无关性我们还有以下重要命题:(1)单独一个向量线性相关的充要条件是 0. 推论 单独一个非零向量必线性无关. (2) 若向量组 1 , 2 , , m中有部分向量线性相关, 则此向量组线性相关. 即部分相关, 全体相关. 证 不失一般性, 设 1 , 2 ,k1 1 k2 2 , l (l m) 线性相关, kl l 0 则存在一组不全为零的数k1, k2, … , kl , 使得从而有一组不全为零的数k1, k2,…, kl , 0,…,0, 使得16 k1 1 k2 2 kl l 0 l 1 0 m 0 故向量组 1 , 2 , , m 线性相关 推论 若一个向量组线性无关，则其任意一个部分 向量组也线性无关(即整体无关, 则部分无关).(3) 两个向量线性相关的充要条件是对应重量成比例. (4) Rn 中任意由n+1 (或更多)个向量组成的向量组 必线性相关；l (5)设列向量 1 , 2 , , m R , 设列向量 1 , 2 , , m Rs 且向量组 1 , 2 , , m 线性无关，则 l + s 维列向量组17 i i ( i 1, 2, i , m) 亦线性无关. 通常称向量 i为向量α i 的接长向量，或称向量α i 为 i 的截短向量. 即向量组 1 , 2 , , m 线性无关，则 其接长向量组 i (i 1, 2, , m) 亦线性无关.推论 假如向量组线性相关，则其截短向量组亦线性相关.18 例7 判定下列向量组是否线性相关： 5 1 (1) 1 1 , 2 3 2 1 解(1)由于两个向量对应重量不成比例， 所以两个向量线性无关. 1 2 2 3 。