1.1.3 集合的基本运算第1课时 交集、并集 1.1.交集交集 【【思考思考】】当集合当集合A A，，B B无公共元素时，无公共元素时，A A与与B B有交集吗？有交集吗？提示：提示：当集合当集合A A，，B B无公共元素时，无公共元素时，A A与与B B有交集，它们有交集，它们的交集是空集的交集是空集. . 2.2.并集并集 【【思考思考】】(1)“x∈A(1)“x∈A或或x∈B”x∈B”包含哪几种情况？如何用维恩图表包含哪几种情况？如何用维恩图表示？示？ 提示：提示：““x∈Ax∈A或或x∈B”x∈B”这一条件包括下列三种情况：这一条件包括下列三种情况：x∈Ax∈A，但，但x x∉ ∉B B；；x∈Bx∈B，但，但x x∉ ∉A A；；x∈Ax∈A，且，且x∈B.x∈B.用维恩图用维恩图表示如图所示表示如图所示. . (2)(2)集合集合A∪BA∪B的元素个数是否等于集合的元素个数是否等于集合A A与集合与集合B B的元素的元素个数和？个数和？ 提示：提示：不一定等于不一定等于.A∪B.A∪B的元素个数小于或等于集合的元素个数小于或等于集合A A与集合与集合B B的元素个数和的元素个数和. . 3.3.交集与并集的运算性质交集与并集的运算性质交集的运算性交集的运算性质并集的运算性并集的运算性质A∩B=B∩AA∩B=B∩AA∪B=B∪AA∪B=B∪AA∩A=AA∩A=AA∪A=AA∪A=AA∩A∩∅ ∅= =∅ ∅∩A=∩A=∅ ∅A∪A∪∅ ∅= =∅ ∅∪A=A∪A=A如果如果A A⊆⊆B B，，则A∩B=AA∩B=A，，反之也成立反之也成立如果如果A A⊆⊆B B，，则A∪B=BA∪B=B，，反之也成立反之也成立 【【思考思考】】对于任意两个集合对于任意两个集合A A，，B B，，A∩BA∩B与与A A有什么关系？有什么关系？A∪B A∪B 与与A A有什么关系？有什么关系？ 提示：提示：(A∩B)(A∩B)⊆⊆A A，，A A⊆⊆(A∪B).(A∪B). 【【素养小测素养小测】】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“√”“√”，错的打，错的打““×”)×”)(1)(1)集合集合A A和集合和集合B B的公共元素组成的集合就是集合的公共元素组成的集合就是集合A A与与B B的交集的交集. .( ( ) )(2)(2)若若A∩B=A∩B=∅ ∅，则，则A A，，B B均为空集均为空集. .( ( ) ) (3)A(3)A，，B B中分别有中分别有3 3个元素，则个元素，则A∪BA∪B中必有中必有6 6个元素个元素. .( ( ) )(4)(4)若若x∈A∩Bx∈A∩B，则，则x∈A∪B.x∈A∪B.( ( ) ) 提示：提示：(1)√.(1)√.根据交集的定义可知此说法正确根据交集的定义可知此说法正确. .(2)(2)××. .当当A∩B=A∩B=∅ ∅时，时，A A，，B B可以为可以为∅ ∅，也可以不为，也可以不为∅ ∅，如，如A=A={1{1，，2}2}，，B={3B={3，，4}4}，，A∩B=A∩B=∅ ∅. . (3)(3)××. .求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异性性. .所以所以A A，，B B中分别有中分别有3 3个元素，则个元素，则A∪BA∪B中的元素个数中的元素个数可能是可能是3 3，，4 4，，5 5，，6 6个个. .(4)√.(4)√.因为因为(A∩B)(A∩B)⊆⊆(A∪B).(A∪B). 2.2.已知集合已知集合M={-1M={-1，，0 0，，1}1}，，N={0N={0，，1 1，，2}2}，则，则M∪N=M∪N=( ( ) ) A.{0A.{0，，1} 1} B.{-1B.{-1，，0 0，，2}2}C.{-1C.{-1，，0 0，，1 1，，2}2}D.{-1D.{-1，，0 0，，1}1} 【【解析解析】】选选C.M∪N={-1C.M∪N={-1，，0 0，，1 1，，2}.2}. 3.3.设集合设集合M=(-3M=(-3，，2)2)，，N=[1N=[1，，3]3]，则，则M∩N=M∩N=( ( ) )A.[1A.[1，，2)2)B.[1B.[1，，2]2]C.(2C.(2，，3]3]D.[2D.[2，，3]3] 【【解析解析】】选选A.A.因为因为M=(-3M=(-3，，2)2)且且N=[1N=[1，，3]3]，，所以所以M∩N=[1M∩N=[1，，2).2). 类型一 交集概念及其应用类型一 交集概念及其应用【【典例典例】】1.(2018·1.(2018·全国卷全国卷Ⅰ)Ⅰ)已知集合已知集合A={0A={0，，2}2}，，B=B={-2{-2，，-1-1，，0 0，，1 1，，2}2}，则，则A∩B=A∩B=( ( ) ) A.{0A.{0，，2}2}B.{1B.{1，，2}2}C.{0}C.{0}D.{-2D.{-2，，-1-1，，0 0，，1 1，，2}2} 2.2.已知已知A={x|x≤-2A={x|x≤-2或或x>5}x>5}，，B={x|12m-1m+1>2m-1，，解得解得m<2m<2，，当当B≠B≠∅ ∅时，为使时，为使B B⊆⊆A A，，m m需满足需满足 解得解得2≤m≤32≤m≤3，，综上知实数综上知实数m m的取值范围为的取值范围为(-(-∞∞，，3].3]. (2)(2)先求先求A∩B=A∩B=∅ ∅，当，当B=B=∅ ∅时由时由(1)(1)知知m<2m<2，当，当B≠B≠∅ ∅时，为时，为使使A∩B=A∩B=∅ ∅，，m m需满足需满足或或 ，解得，解得m>4m>4，，综上知当综上知当m<2m<2或或m>4m>4时时A∩B=A∩B=∅ ∅，，所以若所以若A∩B≠A∩B≠∅ ∅，实数，实数m m的取值范围是的取值范围是[2[2，，4].4]. 【【内化内化··悟悟】】画数轴求两个集合的交集时，要注意哪些问题？画数轴求两个集合的交集时，要注意哪些问题？提示：提示：(1)(1)两个集合的交集是表示两个集合的图形所覆两个集合的交集是表示两个集合的图形所覆盖的公共范围盖的公共范围.(2).(2)注意端点处的注意端点处的““实实””与与““虚虚””. . 【【类题类题··通通】】1.1.求集合求集合A∩BA∩B的步骤的步骤 (1)(1)要清楚集合要清楚集合A A，，B B的元素是什么的元素是什么. .(2)(2)把所求交集用集合符号表示出来，写成把所求交集用集合符号表示出来，写成““A∩B”A∩B”的的形式形式. . (3)(3)把化简后的集合把化简后的集合A A，，B B的所有公共元素都写出来即可的所有公共元素都写出来即可( (相同元素只写一个相同元素只写一个).). 2.2.求集合求集合A∩BA∩B的常用方法的常用方法 (1)(1)若若A A，，B B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集方程的根后，再求两集合的交集. . (2)(2)若集合的代表元素是有序数对，则若集合的代表元素是有序数对，则A∩BA∩B是指两个方是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集程组成的方程组的解集，解集是点集. .(3)(3)若若A A，，B B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意意““实实”“”“虚虚””点点. . 【【习练习练··破破】】1.1.已知集合已知集合P=(-∞P=(-∞，，0)0)，，Q=(-∞Q=(-∞，，1]1]，则，则P∩Q=________. P∩Q=________. 【【解析解析】】因为因为P=(-P=(-∞∞，，0)0)，，Q=(-Q=(-∞∞，，1]1]，，故故P∩Q=(-P∩Q=(-∞∞，，0).0).答案：答案：(-(-∞∞，，0)0) 2.2.已知集合已知集合A={aA={a2 2，，a+1a+1，，-3}-3}，，B={a-3B={a-3，，2a-12a-1，，a a2 2+1}+1}，，若若A∩B={-3}A∩B={-3}，求实数，求实数a a的值的值. . 【【解析解析】】因为因为A∩B={-3}A∩B={-3}，所以，所以-3∈B.-3∈B.而而a a2 2+1≠-3+1≠-3，所以，所以a-3=-3a-3=-3或或2a-1=-3.2a-1=-3. (1)(1)当当a-3=-3a-3=-3时，时，a=0.a=0.A={0A={0，，1 1，，-3}-3}，，B={-3B={-3，，-1-1，，1}1}，于是，于是A∩B={-3A∩B={-3，，1}1}，，这样与这样与A∩B={-3}A∩B={-3}矛盾；矛盾；(2)(2)当当2a-1=-32a-1=-3时，时，a=-1a=-1，符合，符合A∩B={-3}A∩B={-3}，综上知，综上知a=-a=-1.1. 【【加练加练··固固】】已知集合已知集合M=(-∞M=(-∞，，a]a]，，N=(-2N=(-2，，0)0)，若，若M∩N=M∩N=∅ ∅，则，则a a的的取值范围为取值范围为( ( ) )A.(0A.(0，，+∞)+∞) B.[0B.[0，，+∞)+∞)C.(-∞C.(-∞，，-2)-2)D.(-∞D.(-∞，，-2]-2] 【【解析解析】】选选D.D.画数轴可知，画数轴可知， 当当M∩N=M∩N=∅ ∅时，时，a a的取值范围是的取值范围是(-(-∞∞，，-2].-2]. 类型二 并集概念及其应用类型二 并集概念及其应用【【典例典例】】1.1.设集合设集合M={x|xM={x|x2 2+2x=0+2x=0，，x∈R}x∈R}，，N={x|xN={x|x2 2- -2x=02x=0，，x∈R}x∈R}，则，则M∪N=M∪N= ( ( ) ) A.{0}A.{0}B.{0B.{0，，2}2}C.{-2C.{-2，，0}0}D.{-2D.{-2，，0 0，，2}2} 2.2.已知集合已知集合M={x|-35}x>5}，则，则M∪N=M∪N=( ( ) )A.{x|x<-5A.{x|x<-5或或x>-3}x>-3}B.{x|-55}x>5} 3.3.设设S={x|x<-1S={x|x<-1或或x>5}x>5}，，T={x|a-1a>-1D.a<-3D.a<-3或或a>-1a>-1 【【思维思维··引引】】1.1.列举法表示集合列举法表示集合M M，，N N，根据并集的定，根据并集的定义写出义写出M∪N.M∪N.2.2.在数轴上表示集合在数轴上表示集合M M，，N N，观察图形根据并集的定义，观察图形根据并集的定义写出写出M∪N.M∪N.3.3.在数轴上表示集合在数轴上表示集合S S，，T T，观察图形并根据，观察图形并根据S∪T=RS∪T=R列列出不等式组，求解得实数出不等式组，求解得实数a a应满足的条件应满足的条件. . 【【解析解析】】1.1.选选D.M={x|xD.M={x|x2 2+2x=0+2x=0，，x∈R}={0x∈R}={0，，-2}-2}，，N={x|xN={x|x2 2-2x=0-2x=0，，x∈R}={0x∈R}={0，，2}2}，故，故M∪N={-2M∪N={-2，，0 0，，2}.2}. 2.2.选选A.A.在数轴上表示集合在数轴上表示集合M M，，N N，如图所示，，如图所示， 则则M∪N={x|x<-5M∪N={x|x<-5或或x>-3}.x>-3}. 3.3.选选A.A.在数轴上表示集合在数轴上表示集合S S，，T T如图所示如图所示. . 因为因为S∪T=RS∪T=R，由数轴可得，由数轴可得 解得解得-3b}.(1){x|xb}.(3){x|xb(ab(ab}(2){x|x>b} (3){x|xb(ab(a5}.x>5}.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)若若A∩B=A∩B=∅ ∅，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围. .(2)(2)若若A∪B=BA∪B=B，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围. . 【【思维思维··引引】】(1)(1)根据根据A∩B=A∩B=∅ ∅列不等式组，求实数列不等式组，求实数a a的的取值范围取值范围. .(2)(2)由由A∪B=BA∪B=B，推出，推出A A⊆⊆B B，列不等式求实数，列不等式求实数a a的取值范的取值范围围. . 【【解析解析】】(1)(1)因为因为A∩B=A∩B=∅ ∅，所以，所以 解得解得-1≤a≤2-1≤a≤2，所以实数，所以实数a a的取值范围是的取值范围是[-1[-1，，2].2]. (2)(2)因为因为A∪B=BA∪B=B，所以，所以A A⊆⊆B B，，所以所以a>5a>5或或a+3<-1a+3<-1，，即即a a的取值范围为的取值范围为a>5a>5或或a<-4a<-4，，所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是(-(-∞∞，，-4)∪(5-4)∪(5，，+ +∞∞).). 【【素养素养··探探】】交集、并集运算性质的应用问题中，经常利用核心素交集、并集运算性质的应用问题中，经常利用核心素养中的直观想象，常利用维恩图或数轴直观展示，根养中的直观想象，常利用维恩图或数轴直观展示，根据集合运算结果分析集合之间的关系并列出不等式据集合运算结果分析集合之间的关系并列出不等式( (组组) )，求参数的值或范围，求参数的值或范围. . 本例中若将条件改为本例中若将条件改为A={x|-32k-1k+1>2k-1时，时，k<2k<2，满足，满足B B⊆⊆A A；； (2)(2)当当B≠B≠∅ ∅时，要使时，要使B B⊆⊆A A，只需，只需 解得解得2≤k≤ .2≤k≤ .综合综合(1)(2)(1)(2)可知可知k k的取值范围是的取值范围是 【【类题类题··通通】】1.1.集合运算常用的性质集合运算常用的性质(1)A∪B=B(1)A∪B=B⇔⇔A A⊆⊆B.(2)A∩B=AB.(2)A∩B=A⇔⇔A A⊆⊆B.B.(3)A∩B=A∪B(3)A∩B=A∪B⇔⇔A=B.A=B. 2.2.利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到到A∪B=BA∪B=B，，A∩B=AA∩B=A等问题，解答时常借助于交集、并等问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解求解. . (2)(2)关注点：当集合关注点：当集合A A⊆⊆B B时，若集合时，若集合A A不确定，运算时不确定，运算时要考虑要考虑A=A=∅ ∅的情况，否则易漏解的情况，否则易漏解. . 【【习练习练··破破】】1.(2018·1.(2018·天津高考天津高考) )设集合设集合A={1A={1，，2 2，，3 3，，4}4}，，B={-1B={-1，，0 0，，2 2，，3}3}，，C={x∈R|-1≤x<2}C={x∈R|-1≤x<2}，则，则(A∪B)∩C=((A∪B)∩C=( ) ) A.{-1A.{-1，，1}1}B.{0B.{0，，1}1}C.{-1C.{-1，，0 0，，1}1} D.{2D.{2，，3 3，，4}4} 【【解析解析】】选选C.C.因为集合因为集合A={1A={1，，2 2，，3 3，，4}4}，，B={-1B={-1，，0 0，，2 2，，3}3}，，A∪B={-1A∪B={-1，，0 0，，1 1，，2 2，，3 3，，4}4}，，所以所以(A∪B)∩C={-1(A∪B)∩C={-1，，0 0，，1}.1}. 2. 2. 集合集合A={x|xA={x|x2 2-3x+2=0}-3x+2=0}，，B={x|xB={x|x2 2-2x+a-1=0}-2x+a-1=0}，，A∩B=BA∩B=B，求，求a a的取值范围的取值范围. . 【【解析解析】】由题意，得由题意，得A={1A={1，，2}2}，因为，因为A∩B=BA∩B=B，，当当B=B=∅ ∅时，时，(-2)(-2)2 2-4(a-1)<0-4(a-1)<0，解得，解得a>2a>2；；当当1∈B1∈B时，时，1-2+a-1=01-2+a-1=0，，解得解得a=2a=2，且此时，且此时B={1}B={1}，符合题意；，符合题意； 当当2∈B2∈B时，时，4-4+a-1=04-4+a-1=0，，解得解得a=1a=1，此时，此时B={0B={0，，2}2}，不合题意；，不合题意；当当1∈B1∈B且且2∈B2∈B时，此时时，此时a a无解无解. .综上所述，综上所述，a a的取值范围的取值范围是是[2[2，，+ +∞∞).). 。
