基基 本本 要要 求求1、掌握立体的投影特性和作图方法2、掌握在立体表面上取点的方法3、掌握立体被截切后截交线的求法4、掌握立体表面相交线的性质和求法 平平面面立立体体是是由由若若干干个个多多边边形形平平面面所所围围成成的的，，空空间间不不同同数数量量和和位位置置的的平平面面将将构构成成不不同同的的平平面面立立体体我我们们画画平平面面立立体体的的投投影影可可以以归归结结为为画画它它的的所所有有多多边边形形表表面面的的投投影影也也就就是是画画这这些些多多边边形形边边和和顶顶点点的的投投影影所所以以我我们们必必须须掌掌握握平平面面立立体体表表面面上上的的点点的的取取法法，，从从而而解解决决平平面面立立体体表表面面上的线，截交线等作图问题上的线，截交线等作图问题§5-1 §5-1 平面立体的投影平面立体的投影 XYo 一、平面立体的投影一、平面立体的投影 1、棱柱、棱柱 （（1）投影）投影投影特性：投影特性： 一个投影为多边形，另外一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为矩形两个投影轮廓线为矩形 1、棱柱、棱柱 （（2 2）表面取点）表面取点注意两点：注意两点：1 1））利用棱柱表面积聚性利用棱柱表面积聚性 和点的投影特性。
和点的投影特性 2 2）可见性判断可见性判断XYo可见性？可见性？ 一、平面立体的投影一、平面立体的投影 一、平面立体的投影一、平面立体的投影三棱柱三棱柱六棱柱六棱柱 一、平面立体的投影一、平面立体的投影VH 2 2、棱锥、棱锥Mm'（（2 2）表面取点）表面取点mm'11'1'1mm"（（1）投影）投影S”C” a” b” 一、平面立体的投影一、平面立体的投影四棱锥四棱锥五棱锥五棱锥 1 1、平面立体的截交线是截平面和立体表面的、平面立体的截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点也是两表面的共有点共有线，截交线上的点也是两表面的共有点 2 2、截交线是一条闭合的平面多边形截交线是一条闭合的平面多边形 3 3、多边形的各顶点是截平面与立体各棱线或、多边形的各顶点是截平面与立体各棱线或边线的交点；多边形的各边是截平面和平面边线的交点；多边形的各边是截平面和平面立体各表面的交线，或是截平面之间的交线立体各表面的交线，或是截平面之间的交线。
截交线的性质截交线的性质: : 1.平面与棱锥相交 2.平面与棱柱相交 3. 求平面立体截交线的步骤 二、平面立体截交线二、平面立体截交线 二、平面立体截交线二、平面立体截交线a"b"c"q'p'1'2'(3')1231"2"3"4'(5')454"5"作图步骤：① 作水平截面Q与a's'’的交点1',又与正截面P交于2'（3 ' ），并对应在as上求出1，且过1作底边ab及ac的平行线1 2和1 3，其侧面投影积聚成直线2"1"3"②作图步骤：②然后作正截面P与正垂面△BCS交出正垂线4'（5'），并对应在△bcs上求出4 5，在△b"c"s"上求出4"5"在作截面P与△ABS及△ACS交出的截交线2 4、3 5及2"4"、3"5"作图步骤：作图步骤： ③ 加粗可见轮廓线例题：例题：求三棱锥正面求三棱锥正面 投影被投影被Q、、P 两两 面截切以后交线面截切以后交线 的三面投影的三面投影 1 1. .平面与平面与棱锥棱锥相交相交S” 验证结果验证结果的正确性的正确性 二、平面立体截交线二、平面立体截交线例题：例题：求作正五棱柱被截求作正五棱柱被截 切后交线的三面投影图。
切后交线的三面投影图2 2. . 平面与平面与棱柱棱柱相交相交 1 1、首先要确定空间基本立体的形状首先要确定空间基本立体的形状2 2、判断截平面的数量及各截面位置判断截平面的数量及各截面位置3 3、作截面与立体各棱线交点的投影作截面与立体各棱线交点的投影4 4、连接立体同一表面上交点的投影连接立体同一表面上交点的投影 5 5、分析并作出各截平面之间的交线分析并作出各截平面之间的交线 6 6、判断交线可见性，补全棱线投影判断交线可见性，补全棱线投影 二、平面立体截交线二、平面立体截交线 3 3、求平面立体截交线的步骤：、求平面立体截交线的步骤： 好镜注意：注意： 截平面之截平面之 间的交线间的交线 二、平面立体截交线二、平面立体截交线例例3 3 求出立体被截切求出立体被截切 后的三面投影后的三面投影 验证结果验证结果的正确性的正确性 二、平面立体截交线二、平面立体截交线例例4 4 求出立体被截切求出立体被截切 后的三面投影后的三面投影 曲面立体则是由曲面和曲面或曲面和平曲面立体则是由曲面和曲面或曲面和平面所围成的。
面所围成的 画曲面立体的投影就是要画它的轮廓线、画曲面立体的投影就是要画它的轮廓线、尖点的投影以及转向轮廓线的投影尖点的投影以及转向轮廓线的投影 工程中常见的曲面回转体，主要有圆柱工程中常见的曲面回转体，主要有圆柱体、圆锥体、球体等体、圆锥体、球体等§5-2 §5-2 曲面立体曲面立体 1 1、形成、形成 圆柱是由圆柱面、顶面和底面所围成的曲面立体圆柱是由圆柱面、顶面和底面所围成的曲面立体 圆柱面可看作是直线围绕其平行的轴线旋转而成圆柱面可看作是直线围绕其平行的轴线旋转而成 一、圆柱体的投影一、圆柱体的投影 2 2、圆柱的投影、圆柱的投影3 3、圆柱表面取点、圆柱表面取点 投影投影可见否可见否？？ 投影投影可见否可见否？？ 投影投影可见否可见否？？ 投影投影可见否可见否？？ 一、圆柱体的投影一、圆柱体的投影 1 1、形成、形成 圆锥是由圆锥面和锥底面所围成的圆锥是由圆锥面和锥底面所围成的 圆锥面可看作是直线绕着与其相交的轴线旋转而成圆锥面可看作是直线绕着与其相交的轴线旋转而成 二、圆锥体的投影二、圆锥体的投影 2 2、圆锥的投影、圆锥的投影3 3、圆锥表面取点、圆锥表面取点 Ⅰ Ⅱ 投影投影可见否可见否？？ 投影投影可见否可见否？？ 1 1）辅助素线法）辅助素线法 2 2）辅助平面法）辅助平面法 投影投影可见否可见否？？ 二、圆锥体的投影二、圆锥体的投影 1 1、形成、形成 球是由球面围成的，球面也可看作是圆绕其直径为轴线旋转而成。
球是由球面围成的，球面也可看作是圆绕其直径为轴线旋转而成 三、球体的投影三、球体的投影 2 2、球的投影、球的投影3 3、球的表面取点、球的表面取点 投影投影可见否可见否？？ 投影投影可见否可见否？？如何求如何求？？ 三、球体的投影三、球体的投影 1 1、形成、形成 环是以圆为母线，绕轴线旋转而成环是以圆为母线，绕轴线旋转而成 四、圆环的投影四、圆环的投影 1 1、投影、投影 四、圆环的投影四、圆环的投影HVW 2 2、投影画法、投影画法 四、圆环的投影四、圆环的投影 3 3、投影特性及表面取点、投影特性及表面取点 四、圆环的投影四、圆环的投影m1'2m'（n'）12'（n） §5-3 §5-3 平面与曲面体相交平面与曲面体相交 曲面立体截交线的性质曲面立体截交线的性质 1. 曲面体的截交线常是由曲线或直线所围成的平面图形曲面体的截交线常是由曲线或直线所围成的平面图形 2. 曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线 3. 曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。
曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点 4. 截交线的形状与立体的形状及截平面的相对位置相关截交线的形状与立体的形状及截平面的相对位置相关 矩形矩形椭圆椭圆圆圆截交线的形状有几种？截交线的形状有几种？ 一、平面与圆柱相交一、平面与圆柱相交 3'7'1'2'8'4'6'1 ''4''6 ''8 ''2 ''3''7 ''157328是什么立体？属于截是什么立体？属于截切的那种情况？切的那种情况？分析：截交线的正面投影分析：截交线的正面投影 截交线的水平投影截交线的水平投影 截交线的侧面投影截交线的侧面投影1、找截交线的特殊点：最高点、、找截交线的特殊点：最高点、最低点、最前点、最后点、最最低点、最前点、最后点、最左点、最右点、即转向轮廓线左点、最右点、即转向轮廓线上的点2、找一般点（至少一对）、找一般点（至少一对）3、将点的投影光滑连线、将点的投影光滑连线4、加粗可见的轮廓线、加粗可见的轮廓线5''5'46 〔〔例例1 1〕〕作出立体被正垂面作出立体被正垂面P P截切以后的侧面投影截切以后的侧面投影 〔〔例例2 2〕〕完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影a'b' a"( b" )abAB 3 ' (4')34ⅢⅣⅠⅡ12 〔〔例例3 3〕〕由空心缺口圆柱的正面投影和水平投影，作出被切后的侧面投影。
由空心缺口圆柱的正面投影和水平投影，作出被切后的侧面投影1' (2') 圆圆椭圆椭圆三角形三角形双曲线双曲线抛物线抛物线截交线的形状有几种？截交线的形状有几种？ 二、平面与圆锥相交二、平面与圆锥相交 65是什么立体？属于截切的那种是什么立体？属于截切的那种情况？情况？分析：截交线的正面投影分析：截交线的正面投影 截交线的水平投影截交线的水平投影 截交线的侧面投影截交线的侧面投影1、找截交线的特殊点：最高点、最低点、、找截交线的特殊点：最高点、最低点、最前点、最后点、最左点、最右点、转向最前点、最后点、最左点、最右点、转向轮廓线上的点，椭圆长短轴上的点轮廓线上的点，椭圆长短轴上的点2、找一般点（至少一对）、找一般点（至少一对）3、将点的投影光滑连线、将点的投影光滑连线4、加粗可见的轮廓线、加粗可见的轮廓线3 ' (4')3'' 4''345 ' (6')5'' 6''7 ' (8')877'' 8'' 二、平面与圆锥相交二、平面与圆锥相交 PQⅠⅡ1'(2')121"2"ⅫⅪⅩⅣⅢ7'77"5'(6')5"6"653'(4')343"4" 〔〔例例4-14-1〕〕求作圆锥被求作圆锥被Q Q与与P P平面截切以后，所截交线的投影平面截切以后，所截交线的投影qp 1"11'232'3'2"3"4"5"454'5' 〔〔例例4-24-2〕〕 求作圆锥被截切以后，截交线的投影求作圆锥被截切以后，截交线的投影 圆圆 三、平面与球相交三、平面与球相交 211'(2')2"1" 〔〔例例5 5〕〕 作出半圆球被切口以后交线的投影作出半圆球被切口以后交线的投影 〔〔例例6 6〕〕 完成圆球被正垂面完成圆球被正垂面P P截切以后的水平投影截切以后的水平投影1'2'3'(4')5'(6')7'(8')124378p'r'q'65P 有两个以上的基本体便可构成组合体，平面与组合体截切一般会产生几段不同的交线，相邻两段交线的分界点必在组合体的分界线上。
因此，作组合截切时应先确定各立体的形状，及确定相邻立体间的分界线，然后分别作出各自的截交线四、立体组合截切四、立体组合截切 〔〔例例7 〕〕 求作圆锥被求作圆锥被Q与与P平面截切以后，所截交线的投影平面截切以后，所截交线的投影PQ(10")3'3(5')1'5"1"3"152'(4')2"4"24(6')10'(6")1068'8"8(7')9'9"7"97 3"2"1'2'(3')4'(5')231455"4"1" 〔〔例例8 〕〕 完成组合立体被截切后的投影完成组合立体被截切后的投影 §5-4 §5-4 两回转体表面相交两回转体表面相交 两回转立体表面相交产生的交线称为相贯线，它是两立体表面的共有线，一般是封闭的空间曲面，特殊情况下是平面曲线或直线 求两立体表面相贯线的投影，实质上就是求出相贯线上一系列共有点的投影 一、辅助平面求点法一、辅助平面求点法 辅助平面求点法，就是利用三面共点的原理求相贯线上的共有点，如图所示 （（1 1）辅助平面必须是特殊位置的平面；）辅助平面必须是特殊位置的平面； （（2 2）辅助平面与两回转体同时相交，所）辅助平面与两回转体同时相交，所产生的两截交线必须是简单的直线和圆。
产生的两截交线必须是简单的直线和圆辅助平面的辅助平面的选择原则：选择原则： 5621解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （（1 1）两圆柱的相对位置怎样？）两圆柱的相对位置怎样？（（2 2））小小圆圆柱柱是是否否完完全全贯贯在在大大圆圆柱内？柱内？5 5 光滑且顺次地连接光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，各点，作出相贯线，并且判别可见性；并且判别可见性；6 6 加粗可见轮廓线加粗可见轮廓线2 2 判判断断一一下下相相贯贯线线的的哪哪个个投投影影是是已已知知的的，，根根据据已已知知的的投投影影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点：：最最高高、、最最低低、、最最前前、、最最后后、、最最左左、、最右、转向轮廓线上的点最右、转向轮廓线上的点1" 2"1'2'3"4"3'4'34yy5"6"5'6'4 4 求出至少一对一般点求出至少一对一般点；； 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交PHPW实对实相贯 解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （（1 1）孔和柱的相对位置怎样？）孔和柱的相对位置怎样？（（2 2）孔是否全贯在大圆柱内？）孔是否全贯在大圆柱内？5 5 光滑且顺次地连接光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，各点，作出相贯线，并且判别可见性；并且判别可见性；6 6 加粗可见轮廓线。
加粗可见轮廓线2 2 判判断断一一下下相相贯贯线线的的哪哪个个投投影影是是已已知知的的，，根根据据已已知知的的投投影影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点：：最最高高、、最最低低、、最最前前、、最最后后、、最最左左、、最右、转向轮廓线上的点最右、转向轮廓线上的点4 4 求出至少一对一般点求出至少一对一般点；；空对实相贯PH 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交56211" 2"3'4'34y5"6"5'6'1'2'3"4"PWy 5621解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （（1 1）孔和孔的相对位置怎样？）孔和孔的相对位置怎样？（（2 2））孔孔是是否否完完全全贯贯在在大大圆圆柱柱孔孔内？内？5 5 光滑且顺次地连接光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，各点，作出相贯线，并且判别可见性；并且判别可见性；6 6 加粗可见轮廓线加粗可见轮廓线2 2 判判断断一一下下相相贯贯线线的的哪哪个个投投影影是是已已知知的的，，根根据据已已知知的的投投影影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点：：最最高高、、最最低低、、最最前前、、最最后后、、最最左左、、最右、转向轮廓线上的点。
最右、转向轮廓线上的点1" 2"3'4'345"6"5'6'4 4 求出至少一对一般点求出至少一对一般点；；空对空相贯1'2'3"4" 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交yPHyPW 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交（（1 1）圆柱和圆柱偏交）圆柱和圆柱偏交 解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （（1 1）两圆柱的相对位置怎样？）两圆柱的相对位置怎样？（（2 2））小小圆圆柱柱是是否否完完全全贯贯在在大大圆圆柱内？柱内？5 5 光滑且顺次地连接各点，光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可作出相贯线，并且判别可见性见性( (公共的可见部分才公共的可见部分才是可见的是可见的) )；；6 6 加粗可见轮廓线加粗可见轮廓线2 2 判判断断一一下下相相贯贯线线的的哪哪个个投投影影是是已已知知的的，，根根据据已已知知的的投投影影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点：：最最高高、、最最低低、、最最前前、、最最后后、、最最左左、、最右、转向轮廓线上的点最右、转向轮廓线上的点。
4 4 求出至少一对一般点求出至少一对一般点；；TWyyTH 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交（（1 1）圆柱和圆柱偏交）圆柱和圆柱偏交 （（2 2）两圆柱等直径正交）两圆柱等直径正交（（2 2）两圆柱等直径正交）两圆柱等直径正交 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交 （（2 2）两圆柱等直径正交）两圆柱等直径正交 1 1、圆柱和圆柱相交、圆柱和圆柱相交 yyPW1PV1yy125 5 光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，，作作出出相相贯贯线线，，并且判别可见性；并且判别可见性；6 6 整理轮廓线整理轮廓线解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （（1 1））柱柱锥锥的的相相对对位位置置怎样？怎样？（（2 2））圆圆柱柱是是否否完完全全贯贯在圆锥内？在圆锥内？2 2 判判断断一一下下相相贯贯线线的的哪哪个个投投影影是是已已知知的的？？3 3 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊点4 4 求求出出至至少少一一对对一一般点般点；；1"1'4"3' 4' 3"2"2' 34"PV3PW3PV2PW25"6"56 5' 6'（（1 1）圆柱和圆锥正交）圆柱和圆锥正交 2 2、圆柱和圆锥相交、圆柱和圆锥相交 （（2 2）柱锥相贯线变化趋势）柱锥相贯线变化趋势 当大小发生变化时，当大小发生变化时，相贯线相贯线的的变化趋势变化趋势 当相对位置变化时，当相对位置变化时，相贯线的变化趋势相贯线的变化趋势 2 2、圆柱和圆锥相交、圆柱和圆锥相交 （（2 2）柱锥相贯线变化趋势）柱锥相贯线变化趋势 2 2、圆柱和圆锥相交、圆柱和圆锥相交 PW3PV2yy3'4'343"1"12'1'2"2yy4" PW2 PV3解题步骤解题步骤1 1 空间分析空间分析 （（1 1））锥锥球球的的相相对位置怎样？对位置怎样？（（2 2））圆圆锥锥是是否否完全贯在球内？完全贯在球内？2 2 相相贯贯线线的的哪哪个个投影是已知的？投影是已知的？PV1 3 3、圆锥和球相交、圆锥和球相交 二、辅助球面求点法二、辅助球面求点法 辅助球面求点法，其基本原理是：当球心在回转面轴线上时，该球面与回转面相交，其相贯线为垂直于回转轴的圆；若两回转面轴线相交，则以轴线的交点为球心作一球面，球面与两回转面的交线分别为圆，由于两圆均在同一球面上，因此，两圆的交点为两回转面的共有点。
二、辅助球面求点法二、辅助球面求点法 作出圆锥与圆柱轴线倾斜相交，表面相贯线的两面投影o' 1 1））两两个个回回转转体体具具有有公公共共轴轴线线时时，，其其表表面面的的相相贯贯线线为为圆圆，，并并且且该该圆圆垂垂直直于于 公共轴线公共轴线 三、相贯线的特例三、相贯线的特例 2 2））外切于球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线外切于球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线——椭圆 三、相贯线的特例三、相贯线的特例 三个或三个以上的立体相交在一起，称为复合相贯这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点 处理复合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相贯，从而确定其有几段相贯线组成§5-5 §5-5 多形体相交多形体相交 1"2"121' 2'3"33'4"44' 〔〔例例1 1〕〕 分析并想象出物体相贯线投影的形状分析并想象出物体相贯线投影的形状 〔〔例例2 2〕〕 补画两空心圆柱及侧块相交的正面投影图补画两空心圆柱及侧块相交的正面投影图PHPV 本章结束 。