单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,定理,：,行列式某一行（或列）的每一元素与另一行（或列）元素的代数余子式乘积之和为零即:,2 逆矩阵,一、,准备知识,结合行列式的展开定理，有：,引例：,若 ，求矩阵,X,，使：,AX=E,2,解：,设,解线性方程组容易得到：,x,1,=3,x,2,=2,x,3,=1,x,4,=1.,问题：,对于矩阵,A,，,是否存在一个矩阵,A,1,，,使得：,比较矩阵方程,AX=B,与数的方程,ax=b.,二、逆矩阵的概念,1.定义,：,对于,n,阶,方阵,A,，,如果存在一个,n,阶方阵,B,，,使,AB,=,BA,=,E,，,则称,A,为,可逆矩阵,（简称可逆），并称,B,为,A,的,逆矩阵,例,：,对于,，,否则称,A,是不可逆的AB=E,=BA.,故,A,是可逆的,，并且,B,为,A,的逆矩阵A,的逆矩阵记为：,A,1,，即：,A,A,1,=,A,1,A=E,2.问题：,(1)怎么样的方阵才可逆？,(2)若,A,可逆，逆阵有多少个？,(3)若,A,可逆，怎样去求它的逆阵,A,1,？,分析：,设,B,和,C,都是,A,的逆矩阵,则：,AB,=,BA,=,E,AC,=,CA,=,E,B=BE,=,B,(,AC,),=,(,BA,),C,=,EC,=,C,需证明,B=C,（证明唯一性常用同一法）,又,注：,适当乘上单位阵,E,，并将,E,表示成一个矩阵与其,逆阵,乘积的形式，是一种常用的技巧。
单位阵技巧,3.定理：,若,A,可逆，则,A,的逆阵唯一三、,逆阵存在的充分必要条件,1.定理：,若,A,可逆，则 .,注：,如果 ，则称,A,是,非奇异的,，否则称,A,是奇异的2.伴随矩阵,：,设,A,n,=（,a,ij,），,令,A,ij,是,A,的行列式|,A,|中元素,a,ij,的代数余子式,，,将这,n,2,个数排成如下,n,阶方阵:,（注意 中,A,ij,的排列）,称之为,A,的,伴随矩阵,例,：,求 的伴随矩阵同理可得：,解,：,所以：,2,3,2,6,6,2,4,5,2,3.定理：,设,A,为,n,阶方阵，若 ，则,A,可逆，且：,一行元素与另一行元素对应代数余子式乘之和,|,A,|,0,0,0,|,A,|,0,|,A,|,0,0,一行元素与对应代数余子式乘之和,同理：,证明,：,例：,求 的逆矩阵解：,A,1,存在，,故,注:,求逆阵需注意:1.,A,ij,的符号(-1),i+j,;2.,中,A,ij,的排列4.定理,：,方阵,A,可逆,推论,：,若,A,、,B,都是,n,阶矩阵，且,AB,=,E,，则,BA,=,E,，即,A,、,B,皆可逆,且,A,、,B,互为逆矩阵。
证明：,因为,AB,=,E,，所以|,A,|,B,|=1,，|,A,|,0,|,B|,0,故,A,、,B,皆可逆BA,=,EBA,=(,A,1,A,),BA,=,A,1,(,AB,),A,=,A,1,EA,=,A,1,A,=,E,注：1.,判断,B,是否为,A,的逆,只需验证,AB,=,E,或,BA,=,E,的一个等式成立即可2.逆矩阵是相互的即：若,A,1,=,B,，则,B,1,=,A.,（课本54页推论1）,练习,：1.,求 的逆矩阵答案,：1.,（其中|,A,|=1）,2.设,A、B,都是,n,阶方阵，,B,可逆，且,A,2,+AB+B,2,=O,，证明：,A,和,A+B,均可逆2.提示：,只需证明,把,A,2,+AB+B,2,=O,改写为,A,(,A+B,),=B,2,思考：,四、逆阵的性质,1.若,A,可逆，则,A,1,也可逆，且,(,A,1,),1,=,A,.,2.若,A,可逆，数 ，则,kA,也可逆，且：,3.若,A,可逆，则,A,T,也可逆，且(,A,T,),-1,=,(,A,-1,),T,.,4.若,A、B,为同阶可逆方阵，则其积,AB,也可逆，且:,(,AB,),-1,=,B,-1,A,-1,推广：,5.若,A,可逆，,|,A,1,|,=,|,A,|,1,，(,AB,),-1,A,-1,B,-1,注：,一般的，,(,kA,),-1,kA,-1,例,：,设 求矩阵,X,，,使,AX,=,B.,分析,：,法一：待定系数法,若,法二：,，则,A,可逆，,由,AX,=,B,可得：,X,=,A,1,B,注,：,若,YA,=,B,，则,Y,=,BA,1,.,例,：,矩阵,A、B,满足,AB,=2,A+B,，,求,A,，,其中：,分析,：,AB,=2,A+B,AB,2,A,=,B,A,(,B,2,E,)=,B,若,|,B,2,E,|,0,，则,A,=,B,(,B,2,E,),1,容易错为,A,(,B,2)=,B,A,=,B,(,B,2,E,),1,练习,：,用逆矩阵解线性方程组,答案：,思考,：,若,A,、,B,均可逆，那么,A,+,B,可逆吗？,不一定。
如,A=E，B=E,，,A,+,B=O,不可逆注,：,就算,A,+,B,可逆，(,A,+,B,),1,A,1,+,B,1,.,。