§4–5 §4–5 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系(relationships between (relationships between load,shearload,shear force,andforce,and bending bending moment)moment)一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(differential (differential relationships between load, shear force, and bending moment)relationships between load, shear force, and bending moment)q q = = q q(x(x) )规定规定规定规定：：q q(x(x) )向上为正向上为正向上为正向上为正将将将将 x x 轴的坐标原点取在轴的坐标原点取在轴的坐标原点取在轴的坐标原点取在 梁的左端梁的左端梁的左端梁的左端。
设梁上作用有任意分布荷载设梁上作用有任意分布荷载设梁上作用有任意分布荷载设梁上作用有任意分布荷载其集度其集度其集度其集度xyq(x)Fm Fs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)假想地用坐标为假想地用坐标为假想地用坐标为假想地用坐标为 x x 和和和和 x x+d+dx x的的的的两横截面两横截面两横截面两横截面 m-mm-m 和和和和 n-nn-n 从梁从梁从梁从梁中取出中取出中取出中取出 d dx x 一段mmnnq(x)Cx x+d+dx x 截面处截面处截面处截面处 则分别为则分别为则分别为则分别为 F Fs( s(x x)+d)+dF Fs( s(x x) , ) , MM( (x)+x)+d dMM( (x x) ) 由于由于由于由于d dx x很小，略去很小，略去很小，略去很小，略去q(q(x x) ) 沿沿沿沿d dx x的变化的变化的变化的变化m-mm-m截面上内力为截面上内力为截面上内力为截面上内力为 F Fs( s(x x) ,) ,MM( (x x) )xyq(x)Fmxmmnn dx Y= 0Y= 0F Fs( s(x x) - [) - [F Fs(x)+ds(x)+dF Fs( s(x x)] + )] + q q( (x x)d)dx x = 0= 0得到得到得到得到 写出平衡方程写出平衡方程写出平衡方程写出平衡方程Fs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C略去二阶无穷小量即得略去二阶无穷小量即得= q(x)dFs(x)dx dM(x)dx= Fs(x) d M(x) 22d x= q(x)= q(x)dxdFs(x)公式的几何意义公式的几何意义公式的几何意义公式的几何意义剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小处荷载集度的大小处荷载集度的大小处荷载集度的大小弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
处剪力的大小处剪力的大小处剪力的大小 d M(x) 22d x= q(x)dx= Fs(x)dxdFs(x) = q(x)dM(x)M(xM(x) )图为一向上凸的二次抛物线图为一向上凸的二次抛物线图为一向上凸的二次抛物线图为一向上凸的二次抛物线Fs(xFs(x) )图为一向右下方倾斜的直线图为一向右下方倾斜的直线图为一向右下方倾斜的直线图为一向右下方倾斜的直线xFs(x)o二、二、二、二、q(xq(x) )、、、、Fs(xFs(x) )图、图、图、图、 MM（（（（x x）图三者间的关系）图三者间的关系）图三者间的关系）图三者间的关系(relationships between (relationships between load,shearload,shear force,andforce,and bending moment bending moment diagrams)diagrams)1 1、梁上有向下的均布荷载，即、梁上有向下的均布荷载，即、梁上有向下的均布荷载，即、梁上有向下的均布荷载，即 q(xq(x) < 0) < 0xoM(x) 2 2、梁上无荷载区段，即、梁上无荷载区段，即、梁上无荷载区段，即、梁上无荷载区段，即 q(xq(x) = 0) = 0剪力图为一条水平直线剪力图为一条水平直线剪力图为一条水平直线剪力图为一条水平直线弯矩图为一斜直线弯矩图为一斜直线弯矩图为一斜直线弯矩图为一斜直线xFs(x)o当当当当 Fs(xFs(x) > 0 ) > 0 时，向右上方倾斜。
时，向右上方倾斜时，向右上方倾斜时，向右上方倾斜当当当当 Fs(xFs(x) < 0 ) < 0 时，向右下方倾斜时，向右下方倾斜时，向右下方倾斜时，向右下方倾斜 d M(x) 22d x= q(x)dx= Fs(x)dxdFs(x) = q(x)dM(x)xoM(x)oM(x) 3 3、梁上最大弯矩、梁上最大弯矩、梁上最大弯矩、梁上最大弯矩 MMmaxmax可能可能可能可能发生在发生在发生在发生在Fs(xFs(x) = 0 ) = 0 的截面上的截面上的截面上的截面上; ; 或发生在集中力所在的截面或发生在集中力所在的截面或发生在集中力所在的截面或发生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用处；上；或集中力偶作用处；上；或集中力偶作用处；上；或集中力偶作用处； 最大剪力可能发生在集 最大剪力可能发生在集 最大剪力可能发生在集 最大剪力可能发生在集中力所在的截面上；或分布中力所在的截面上；或分布中力所在的截面上；或分布中力所在的截面上；或分布载荷发生变化的区段上载荷发生变化的区段上载荷发生变化的区段上载荷发生变化的区段上4 4、在集中力作用处剪力图有、在集中力作用处剪力图有、在集中力作用处剪力图有、在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中突变，其突变值等于集中突变，其突变值等于集中突变，其突变值等于集中力的值。
弯矩图有转折弯矩图有转折弯矩图有转折弯矩图有转折5 5、在集中力偶作用处弯矩图有突变、在集中力偶作用处弯矩图有突变、在集中力偶作用处弯矩图有突变、在集中力偶作用处弯矩图有突变，，其突变值等于集中力偶其突变值等于集中力偶其突变值等于集中力偶其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化的值，但剪力图无变化的值，但剪力图无变化的值，但剪力图无变化 d M(x) 22d x= q(x)dx= Fs(x)dxdFs(x) = q(x)dM(x) q<0向下的均布向下的均布荷载荷载无荷载无荷载集中力集中力FC集中力偶集中力偶mC向下倾斜的向下倾斜的直线直线上凸的二次上凸的二次抛物线抛物线在在Fs=0的截的截面面水平直线水平直线一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突变处有突变F在在C处有转折处有转折在剪力突变在剪力突变的截面的截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变m在紧靠在紧靠C的某的某一侧截面一侧截面一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在最大弯矩所在截面的可能位截面的可能位置置表表表表 4-1 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征 三、分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系三、分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系三、分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系三、分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系(integral relationships between load, shear force, (integral relationships between load, shear force, and bending moment)and bending moment)若在若在若在若在 x=xx=x1 1 和和和和 x= x2 x= x2 处两个横截面处两个横截面处两个横截面处两个横截面 A A，，，，B B 间无集中力则间无集中力则间无集中力则间无集中力则 等号右边积分的几何意义是，上述等号右边积分的几何意义是，上述等号右边积分的几何意义是，上述等号右边积分的几何意义是，上述 A A，，，， B B 两横截面间两横截面间两横截面间两横截面间分布荷载图的面积分布荷载图的面积分布荷载图的面积分布荷载图的面积。
式中，式中，式中，式中，FsFsx1 x1 ，，，，FsFsx2 x2 分别为在分别为在分别为在分别为在 x=xx=x1 1 和和和和 x= xx= x2 2 处两个横截面处两个横截面处两个横截面处两个横截面 上的剪力上的剪力上的剪力上的剪力 若横截面若横截面若横截面若横截面 A A，，，，B B 间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得式中，式中，式中，式中，MMA A，，，，MMB B 分别为在分别为在分别为在分别为在 x = a , x = b x = a , x = b 处两个横截面处两个横截面处两个横截面处两个横截面 A A 及及及及 B B 上的弯矩上的弯矩上的弯矩上的弯矩等号右边积分的几何意义是，等号右边积分的几何意义是，等号右边积分的几何意义是，等号右边积分的几何意义是，A A，，，，B B 两个横截面间两个横截面间两个横截面间两个横截面间剪力图的面积剪力图的面积剪力图的面积剪力图的面积 例题例题例题例题1 1 ：一简支梁受两个力：一简支梁受两个力：一简支梁受两个力：一简支梁受两个力F F 作用，如图作用，如图作用，如图作用，如图 a a 所示。
已知所示已知所示已知所示已知 F= F= 25.3kN25.3kN，有关尺寸如图所示试用本节所述关系作此梁的剪力，有关尺寸如图所示试用本节所述关系作此梁的剪力，有关尺寸如图所示试用本节所述关系作此梁的剪力，有关尺寸如图所示试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图图和弯矩图图和弯矩图图和弯矩图解：解：解：解：1 1）、求梁的支反力）、求梁的支反力）、求梁的支反力）、求梁的支反力BACD2001151265FF BACD2001151265FF将梁分为将梁分为将梁分为将梁分为 ACAC，，，，CDCD，，，，DB DB 三段每一段均属无载荷区段三段每一段均属无载荷区段三段每一段均属无载荷区段三段每一段均属无载荷区段 BACD2001151265FF2 2、剪力图、剪力图、剪力图、剪力图每段梁的剪力图均为水平直线每段梁的剪力图均为水平直线每段梁的剪力图均为水平直线每段梁的剪力图均为水平直线ACAC段：段：段：段：FsFsAA右右右右 = R= RAA = 23.6KN= 23.6KNCDCD段：段：段：段：FsFs C C右右右右 = R= RA A - F = -1.7KN- F = -1.7KNDBDB段：段：段：段：FsFsDD右右右右 = - R= - RB B = - 27KN= - 27KN23最大剪力发生在最大剪力发生在最大剪力发生在最大剪力发生在DBDB段中的段中的段中的段中的任一横截面上任一横截面上任一横截面上任一横截面上123.61.727FsFsB B右右右右 = 0= 0 80KN80KNDBDB段段段段 ：水平直线：水平直线：水平直线：水平直线CDCD段：段：段：段： 向右下方的斜直线向右下方的斜直线向右下方的斜直线向右下方的斜直线ACAC段段段段 ：水平直线：水平直线：水平直线：水平直线 FsFsAA右右右右 = R= RA A = 80 KN= 80 KN2 2、剪力图、剪力图、剪力图、剪力图EqABCD0.21.612RARB EqABCD0.21.612最大剪力发生在最大剪力发生在最大剪力发生在最大剪力发生在 AC AC 和和和和 DB DB 段的任一横截面上。
段的任一横截面上段的任一横截面上段的任一横截面上RARB80KN80KN 3 3、弯矩图、弯矩图、弯矩图、弯矩图ACAC段：向上倾斜的直线段：向上倾斜的直线段：向上倾斜的直线段：向上倾斜的直线CDCD段：向上凸的二次抛物线段：向上凸的二次抛物线段：向上凸的二次抛物线段：向上凸的二次抛物线1EqABCD0.21.612RARB 其极值点在其极值点在其极值点在其极值点在 Fs = 0 Fs = 0 的中点的中点的中点的中点 E E处的横截面上处的横截面上处的横截面上处的横截面上DBDB段：向下倾斜的直线段：向下倾斜的直线段：向下倾斜的直线段：向下倾斜的直线 MMB B = = 0 01EqABCD0.21.612FAFB 161648 MB = 0全梁的最大弯矩梁跨中全梁的最大弯矩梁跨中全梁的最大弯矩梁跨中全梁的最大弯矩梁跨中 E E点的横截面上点的横截面上点的横截面上点的横截面上EqABCD0.21.612单位：单位：KN.m 例题例题例题例题3 3：作梁的内力图：作梁的内力图：作梁的内力图：作梁的内力图解：支座反力为解：支座反力为解：支座反力为解：支座反力为3m4mABcDE4m4m 将梁分为将梁分为将梁分为将梁分为 ACAC、、、、CDCD、、、、 DBDB、、、、BE BE 四段四段四段四段3m4mABcDE4m4m DBDB：水平直线：水平直线：水平直线：水平直线 (—(—））））Fs =F2 -RB=- 3kNEBEB：水平直线：水平直线：水平直线：水平直线 (—(—））））3m4mABcDE4m4m 3m4mABcDE4m4mFs = - 3KN7KN1KN3KN3KN2KN 3m4mABcDE4m4m20.5201666 解：支座反力为解：支座反力为解：支座反力为解：支座反力为R RA A = 81 KN= 81 KNR RB B = 29 KN= 29 KNmmAA = 96.5 = 96.5 KN.mKN.m例题例题例题例题5 5：：：： 用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图。
用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图10.5113F=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m 将梁分为将梁分为将梁分为将梁分为 AEAE，，，，ECEC，，，， CDCD，，，，DKDK，，，，KB KB 五段10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m FxFqxlqxF F 单独作用单独作用单独作用单独作用Fs Fs 单独作用单独作用单独作用单独作用F F，，，， q q 作用该截面上的弯矩等于作用该截面上的弯矩等于作用该截面上的弯矩等于作用该截面上的弯矩等于F F，，，， q q 单独作用该截面上的弯矩单独作用该截面上的弯矩单独作用该截面上的弯矩单独作用该截面上的弯矩的代数和的代数和的代数和的代数和叠加原理的应用叠加原理的应用F=1/3ql PxPqxlqx1/2ql2 +-1/6ql21/3l1/18ql2 §4—6 §4—6 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图平面刚架的内力平面刚架的内力平面刚架的内力平面刚架的内力：：剪力剪力剪力剪力（（（（forceshearforceshear ) )，，，，弯矩弯矩弯矩弯矩(bending moment)(bending moment)，，，，轴力轴力轴力轴力(axial force)(axial force). .ABC平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构。
相互刚性连结而组成的结构相互刚性连结而组成的结构相互刚性连结而组成的结构一、平面刚架的内力图一、平面刚架的内力图一、平面刚架的内力图一、平面刚架的内力图（（（（internal diagrams for plane frame internal diagrams for plane frame membersmembers））））（（（（internal diagrams for plane frame internal diagrams for plane frame members&amembers&a curved bars) curved bars) 例题：图示为下端固定的刚架在其轴线平面内受集中力例题：图示为下端固定的刚架在其轴线平面内受集中力例题：图示为下端固定的刚架在其轴线平面内受集中力例题：图示为下端固定的刚架在其轴线平面内受集中力F F1 1 和和和和 F F2 2 作用，作此刚架的弯矩图和轴力图作用，作此刚架的弯矩图和轴力图作用，作此刚架的弯矩图和轴力图作用，作此刚架的弯矩图和轴力图alF1F2ABC 解：将刚架分为解：将刚架分为解：将刚架分为解：将刚架分为 CBCB，，，，AB AB 两段两段两段两段CB CB 段：段：段：段：F FN N (x) = 0 (x) = 0M(xM(x) = F) = F1 1x (0x (0 x x a) a)CxM(x)alF1F2ABCxFN(x)Fs(x)Fs(xFs(x) = F) = F1 1 (+) (0
弯矩画在受压侧弯矩画在受压侧弯矩画在受压侧对所考虑的一端曲杆内一点取矩产生顺对所考虑的一端曲杆内一点取矩产生顺对所考虑的一端曲杆内一点取矩产生顺对所考虑的一端曲杆内一点取矩产生顺时针转动趋势的剪力为正时针转动趋势的剪力为正时针转动趋势的剪力为正时针转动趋势的剪力为正1 1、平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件 内力情况及绘制方法与平面刚架相同内力情况及绘制方法与平面刚架相同内力情况及绘制方法与平面刚架相同内力情况及绘制方法与平面刚架相同2 2、内力符号的确定、内力符号的确定、内力符号的确定、内力符号的确定 。