matlab 矩阵的表示和简单操作一、矩阵的表示在 MATLAB 中创建矩阵有以下规则：a、矩阵元素必须在”[ ]”内；b、矩阵的同行元素之间用空格（或”,”）隔开；c、矩阵的行与行之间用”;”（或回车符）隔开；d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数；e、矩阵的尺寸不必预先定义二，矩阵的创建：1、直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上面的规则建立向量的时候可以利用冒号表达式，冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3，其中 e1 为初始值， e2 为步长， e3 为终止值还可以用 linspace 函数产生行向量，其调用格式为：linspace(a,b,n) ，其中 a 和 b 是生成向量的第一个和最后一个元素，n 是元素总数2、利用 MATLAB 函数创建矩阵基本矩阵函数如下：(1) ones()函数：产生全为 1 的矩阵，ones(n) ：产生 n*n 维的全 1 矩阵，ones(m,n) ：产生 m*n 维的全 1 矩阵；(2) zeros()函数：产生全为 0 的矩阵；(3) rand()函数：产生在（0 ，1）区间均匀分布的随机阵；(4) eye()函数：产生单位阵；(5) randn()函数：产生均值为 0，方差为 1 的标准正态分布随机矩阵。
3、利用文件建立矩阵当矩阵尺寸较大或为经常使用的数据矩阵，则可以将此矩阵保存为文件，在需要时直接将文件利用 load 命令调入工作环境中使用即可同时可以利用命令 reshape 对调入的矩阵进行重排reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵 A 重新排成 m*n 的二维矩阵二、矩阵的简单操作1．获取矩阵元素可以通过下标（行列索引）引用矩阵的元素，如 Matrix(m,n)也可以采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序在 MATLAB 中，矩阵元素按列存储序号(Index)与下标(Subscript )是一一对应的，以 m*n 矩阵 A 为例，矩阵元素 A(i,j)的序号为(j-1)*m+i其相互转换关系也可利用 sub2ind 和 ind2sub 函数求得2．矩阵拆分利用冒号表达式获得子矩阵：(1) A(:,j)表示取 A 矩阵的第 j 列全部元素；A(i,:)表示 A 矩阵第 i 行的全部元素；A(i,j)表示取 A 矩阵第 i 行、第 j 列的元素2) A(i:i+m,:)表示取 A 矩阵第 i~i+m 行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取 A 矩阵第k~k+m 列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取 A 矩阵第 i~i+m 行内，并在第 k~k+m 列中的所有元素。
此外，还可利用一般向量和 end 运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵end 表示某一维的末尾元素下标利用空矩阵删除矩阵的元素：在 MATLAB 中，定义[]为空矩阵给变量 X 赋空矩阵的语句为 X=[]注意，X=[]与 clear X 不同， clear 是将 X 从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为 03、特殊矩阵(1) 魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等对于 n 阶魔方阵，其元素由 1,2,3,…,n2 共 n2 个整数组成 MATLAB 提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个 n 阶魔方阵2) 范得蒙矩阵范得蒙 (Vandermonde)矩阵最后一列全为 1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵在MATLAB 中，函数 vander(V)生成以向量 V 为基础向量的范得蒙矩阵3) 希尔伯特矩阵在 MATLAB 中，生成希尔伯特矩阵的函数是 hilb(n)使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果MATLAB 中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数 invhilb(n)，其功能是求 n 阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。
4) 托普利兹矩阵托普利兹 (Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同生成托普利兹矩阵的函数是 toeplitz(x,y)，它生成一个以 x 为第一列，y 为第一行的托普利兹矩阵这里 x, y 均为向量，两者不必等长 toeplitz(x)用向量 x 生成一个对称的托普利兹矩阵5) 伴随矩阵 MATLAB 生成伴随矩阵的函数是 compan(p)，其中 p 是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后6) 帕斯卡矩阵我们知道，二次项(x+y)n 展开后的系数随 n 的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵函数 pascal(n)生成一个n 阶帕斯卡矩阵三、矩阵的运算1、算术运算MATLAB 的基本算术运算有：＋ (加)、－(减)、*(乘)、/(右除 )、\(左除)、^(乘方) 、’(转置)运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例1) 矩阵加减运算假定有两个矩阵 A 和 B，则可以由 A+B 和 A-B 实现矩阵的加减运算运算规则是：若 A 和 B 矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A 和 B 矩阵的相应元素相加减。
如果 A 与 B 的维数不相同，则 MATLAB 将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配2) 矩阵乘法 假定有两个矩阵 A 和 B，若 A 为 m*n 矩阵，B 为 n*p 矩阵，则 C=A*B 为m*p 矩阵3) 矩阵除法在 MATLAB 中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除如果 A 矩阵是非奇异方阵，则 A\B 和 B/A 运算可以实现A\B 等效于 A 的逆左乘 B 矩阵，也就是inv(A)*B，而 B/A 等效于 A 矩阵的逆右乘 B 矩阵，也就是 B*inv(A)对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系，一般 A\B≠B/A4) 矩阵的乘方 一个矩阵的乘方运算可以表示成 A^x，要求 A 为方阵，x 为标量5) 矩阵的转置 对实数矩阵进行行列互换，对复数矩阵，共轭转置，特殊的，操作符.’共轭不转置（见点运算）；(6) 点运算在 MATLAB 中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算点运算符有.*、./、.\和.^两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。
2、关系运算MATLAB 提供了 6 种关系运算符：( 大于) 、>=(大于或等于) 、==(等于)、~=(不等于)关系运算符的运算法则为：(1) 当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小若关系成立，关系表达式结果为 1，否则为 0；(2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由 0 或 1 组成；(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由 0 或 1 组成3、逻辑运算MATLAB 提供了 3 种逻辑运算符：&(与)、|( 或)和~(非) 逻辑运算的运算法则为：(1) 在逻辑运算中，确认非零元素为真，用 1 表示，零元素为假，用 0 表示；(2) 设参与逻辑运算的是两个标量 a 和 b，那么，a&b a,b 全为非零时，运算结果为 1，否则为 0 a|b a,b 中只要有一个非零，运算结果为 1~a 当 a 是零时，运算结果为 1；当 a 非零时，运算结果为 0。
3) 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由 1 或 0 组成；(4) 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由 1 或 0 组成；(5) 逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则；(6) 在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低四、矩阵分析1、对角阵(1) 对角阵只有对角线上有非 0 元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为 1 的对角矩阵称为单位矩阵1) 提取矩阵的对角线元素设 A 为 m*n 矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵 A 主对角线元素，产生一个具有 min(m,n)个元素的列向量diag(A)函数还有一种形式 diag(A,k)，其功能是提取第 k 条对角线的元素2) 构造对角矩阵设 V 为具有 m 个元素的向量，diag(V)将产生一个 m*m 对角矩阵，其主对角线元素即为向量 V 的元素diag(V)函数也有另一种形式 diag(V,k)，其功能是产生一个n*n(n=m+k)对角阵，其第 m 条对角线的元素即为向量 V 的元素。
2、三角阵三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为 0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为 0 的一种矩阵1) 上三角矩阵 求矩阵 A 的上三角阵的 MATLAB 函数是 triu(A) triu(A)函数也有另一种形式 triu(A,k)，其功能是求矩阵 A 的第 k 条对角线以上的元素2) 下三角矩阵在 MATLAB 中，提取矩阵 A 的下三角矩阵的函数是 tril(A)和 tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的函数 triu(A)和 triu(A,k)完全相同3、矩阵的转置与旋转(1) 矩阵的转置 转置运算符是单撇号(’)2) 矩阵的旋转 利用函数 rot90(A,k)将矩阵 A 旋转 90o 的 k 倍，当 k 为 1 时可省略4、矩阵的翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依次类推矩阵 A 实施左右翻转的函数是 fliplr(A)，对矩阵 A 实施上下翻转的函数是 flipud(A)5、矩阵的逆与伪逆(1) 矩阵的逆 对于一个方阵 A，如果存在一个与其同阶的方阵 B，使得：AB=BA=I (I 为单位矩阵) 则称 B 为 A 的逆矩阵，当然，A 也是 B 的逆矩阵。
求方阵 A 的逆矩阵可调用函数inv(A)2) 矩阵的伪逆如果矩阵 A 不是一个方阵，或者 A 是一个非满秩的方阵时，矩阵 A 没有逆矩阵，但可以找到一个与 A 的转置矩阵 A’同型的矩阵 B，使得：ABA=A，BAB=B 此时称矩阵B 为矩阵 A 的伪逆，也称为广义逆矩阵在 MATLAB 中，求一个矩阵伪逆的函数是 pinv(A)6、方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值在 MATLAB 中，求方阵 A 所对应的行列式的值的函数是 det(A)7、矩阵的秩与迹(1) 矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩在 MATLAB 中，求矩阵秩的函数是rank(A)2) 矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和在 MATLAB中，求矩阵的迹的函数是 trace(A)8、向量和矩阵的范数矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同1) 向量的 3 种常用范数及其计算函数 在 MATLAB 中，求向量范数的函数为：a、norm(V)或 norm(V,2)：计算向量。