高中数学 第三章 不等式单元同步测试（含解析）北师大版必修5一、选择题(5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|x2<4，x∈R}，N＝{x|x2－2x－3<0，x∈R}，则集合M∩N等于( )A．{x|x<－2} B．{x|x>3}C．{x|－10的解集为( )A．{x|x＜－2，或x>3}B．{x|x<－2，或13}D．{x|－20，由穿针引线法，可得不等式的解集为{x|－23}．答案 C3．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－10，那么下列不等式中正确的是( )A.< B.|b|解析 <0，>0.答案 A5．不等式－} B．{x|x>，或－0.得x>，或－－2；③log2a>1，④log2<1，其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析 ①正确．答案 A7．不等式组表示的平面区域的面积为( )A．2 B．4C．6 D．8解析 不等式组表示的平面区域如图所示，A(2,3)，B(2，－1)，S△＝|AB|×2＝4.答案 B8．已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式＋的最小值为( )A．24 B．25C．26 D．27解析 因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以有2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25，选B.答案 B9．实数x，y满足若函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为( )A．2 B．3C．4 D.解析 由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出不等式对应的区域，平移直线y＝－x＋z，由图像可知当直线经过点D时，直线的截距最大为4，由解得即D(2,2)，所以a＝2，选A.答案 A10．已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时f(x)恒为正数，则k的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1)解析 设3x＝t(t>0)，f(x)＝t2－(k＋1)t＋2，由题意可得，(k＋1)t4的解集为________．答案 (－∞，－3)∪(－2，－1)13．设点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限的图像上运动，则log2m＋log2n的最大值是________．解析 ∵m＋n＝1，且m>0，n>0，log2m＋log2n＝log2mn≤log22＝－2.答案 －214．已知x∈[0,1]时，不等式(2m－1)0，即x<时，(x＋1)(x－3)>(x＋2)(x－2)；当1－2x＝0，即x＝时，(x＋1)(x－3)＝(x＋2)(x－2)；当1－2x<0，即x>时，(x＋1)(x－3)<(x＋2)(x－2)．17．(12分)若f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)>0，求x的取值范围．解 (1)由题意得>0，得－11时，由f(x)＝loga>0，得>1，得>0，得00，得0<<1，得得－11时，f(x)>0的解集为(0,1)，当00的解集为(－1,0)．18．(12分)已知a，b，c都是正数，求证＋＋≥a＋b＋c.证明 ∵＋≥2 ＝2c，同理＋≥2a，＋≥2b.∴2≥2a＋2b＋2c.即＋＋≥a＋b＋c.当且仅当a＝b＝c时“＝”成立，c为框架周长．19．(13分)某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x，y分别为多少时用料最省？解 设框架长为x ，宽为y，面积为S，则S＝xy＋x2＝8.∴y＝－，c＝2x＋2y＋x＝(2＋)x＋2＝x＋≥2 ＝8＋4.当且仅当x＝，即x＝4(2－)，y＝2.故当x＝8－4，y＝2时用料最省．20．(13分)设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当00，>0，∴x＋1＋≥2.当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，f(x)取最小值．此时，f(x)min＝2－1.(2)当0x2≥0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2).∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1.∴(x1＋1)(x2＋1)>1.而00.∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a.21．(13分)已知函数f(x)＝(a、b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k>1，解关于x的不等式f(x)<.解 (1)将x1＝3，x2＝4分别代入方程－x＋12＝0，得解得∴f(x)＝(x≠2)．(2)不等式即为<，可化为<0，即(x－2)(x－1)(x－k)>0.①当10，解集为(1,2)∪(2，＋∞)；③当k>2时，解集为(1,2)∪(k，＋∞)。
