62金融工程二叉树定价

二叉树模型(Cox-Ross-Rubinstein模型)主要内容¡单时段-双状态模型¡风险中性定价¡多时段模型股价的运动规律：单时段-双状态¡投资有效期[0,T], 交易仅在端点处进行¡T=3个月，股票当前价格为 $20¡3个月后，股价可能是 $22 或 $18ST= $18ST= $22S0= $20股价ST = $18期权价值VT = $0股价S0 = $20期权价格V0=?例1：看涨期权的定价¡有效期为3个月，Call Option的敲定价格K= $21¡设无风险利率为12%(年利率) 股价ST = $22期权价值VT = $1¡构造无风险组合：选取D，使得 Φ= D S - V 在[0,T]内无风险，即，ΦT=(1+rT)Φ0 Φ0¡于是，22D – 1 = 18D，即D = 0.25，该组合无风险22D – 118D方法一：Delta对冲续（1）¡由于无风险利率为12%，和组合 Φ = 0.25 S – V 在[0,T]中无风险，故在T时刻，组合Φ的价值为 ΦT =22 × 0.25 –1 =18 × 0.25 = 4.50¡组合Φ折现到初始时刻的价值为 Φ0 =4.5 × (1-0.12 × 0.25) =$4.365续（2）¡由于组合Φ无风险，故 Φ0 = $4.365¡ 由 Φ0 = 0.25 × S0 – V0 =5.000 – V0知， V0 = $0.635方法二：复制策略¡用风险资产S和无风险资产B复制衍生品V：即，l选取D1和D2，使得在[0,T]内，有 V= D1S + D2 B¡VT=1=22 D1 + D2 BT¡VT=0=18 D1 + D2 BTlD1 = 0.25， D2 BT = -4.5，其中BT =1+rT¡于是，V0= D1S0 + D2 B0¡V0= 0.25*S0 – 4.5*(1+rT)-1 = 0.635总结¡期权的有效期为[0,T]，敲定价格K，利率r¡标的资产在T时刻的价格可能上升到S0 的 u倍，也可能下降到S0 的 d 倍 (d<1+rT

但它们不是股价上升和下降的实际概率S0u VuS0d VdS0V0=?p1 – p 续（5）¡ EQ (ST) = puS0 +(1-p)dS0 = erTS0¡这说明，在Q的意义下， T时刻股票的预期价格是 S0erT，即，股票的预期收益率是无风险利率¡ EQ (VT) = pVu + (1 – p)Vd = erTV0 ¡即，在Q的意义下，期权的预期收益率也是无风险利率 风险中性定价¡Q被称为风险中性测度，或风险中性概率风险中性测度，或风险中性概率¡在风险中性概率意义下给出的期权价格称为期权的风险中性价格风险中性价格¡风险中性世界风险中性世界：所有人对风险都是无差异的，在这样的世界中，人们对风险不要求补偿，所有证券的预期收益都是无风险利率市场无套利  d < erT < u¡如果不成立，市场将存在套利l若uerT，则在期初借钱买入股票，到期股价即使下跌到dS0，也要卖出股票，偿还银行借款，到期获益为正重做例1¡在Q的意义下，股价预期收益率是r，¡即，EQ (ST) = puS0 +(1-p)dS0 = erTS0¡ 22p + 18(1 – p ) = 20e0.12 × 0.25  p = 0.6523S0u = 22 Vu = 1S0d = 18 Vd = 0S0=20V0=?p1 – p 续（1）¡或者利用 p 的表达式，可得续（2）  在Q的意义下， EQ (VT) = pVu + (1 – p)Vd = erTV0 于是，期权的价格为 e–0.12 × 0.25 (0.6523 × 1 + 0.3477 × 0) = 0.633S0u = 22 Vu = 1S0d = 18 Vd = 0S0V00.65230.3477注¡期权价格依赖于标的股票的价格，但股票价格上升和下降的实际概率对期权价格没有影响。

即，期权的风险中性价格不依赖于投资人对标的股票的预期¡风险中性世界风险中性世界中所有资产的预期回报都是无风险的，不依赖于投资人的偏好不依赖于投资人的偏好¡定理定理：：在由S和B组成的市场中， d < erT < u成成立的充要条件是市场无套利立的充要条件是市场无套利 练习¡已知股票在未来时刻T的价格， t=0 t=T(1个月) ST=45 S0=40 ST=35 在t=0 购买一份一个月到期，K=40的欧式看涨期权在[0,T]内存款的年利率为12%, 问期权金为多少?Delta¡注意，在[t, t+Δt]中，lDelta (D) 表示期权价格变化与标的资产价格变化的比率lD-对冲就是构造由标的资产和期权组成的无风险投资组合lD的值是随时间变化的，这说明为保持一个无风险对冲，需要定期调整所持有的标的资产数量两步二叉树模型¡股票价格S的运行规律 每步的时间间隔是3 个月¡K=21, r=12%¡上升下降的概率是否不变？¡u=1.1, d=0.9, T=0.25，故概率不变20221824.219.816.2看涨期权的价格¡在节点 B 期权价值为 e–0.12×0.25(p×3.2 + q×0) = 2.0257 ¡在节点 A 期权价值为e–0.12×0.25(p×2.0257 + q×0) = 1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFp=0.6523Delta值¡在两步二叉树模型中，每一步都可以计算出看涨期权的delta：¡在第一个时间步中，lΔ0=(2.0257-0)/(22-18)=0.506；¡在第二个时间步中，l对于向上变动的股价(S=22) Δ1u=(3.2-0)/(24.2-19.8)=0.727；l对于向下变动的股价(S=18), Δ1d =0。

¡注意，delta值是随时间变化的！售出Call后的套保策略 (1)¡做市商出售看涨期权的同时，需要利用股票和无风险资产对冲空头风险：V=ΔS –B¡t=0，出售看涨收入1.28 ，同时借钱买入0.506份股票，该操作共支付10.12- 1.28=8.84¡t=1对冲成功？(√)l若S1=22，则买入的股票值0.506*22=11.13, 借款支付为8.84*1.03=9.11，这时该对冲操作的价值2.02，与此时的期权价值相等l若S1=18，则买入的股票值0.506*18=9.11借款支付为8.84*1.03=9.11，这时该对冲操作的价值=期权值0.续¡当S1=18时，期权价值为0，故不需再对价格风险进行对冲¡在t=1时，只需对冲S1=22的情形，这时Δ1u =0.727做市商借钱$(15.99-2.02)买入0.727份股票¡t=2对冲成功？(√)l若S2=24.2，则买入的股票值17.59, 借款支付为13.97*1.03=14.39，故组合价值=期权值3.2l若S2=19.8，则买入的股票值14.39，借款支付为14.39，故组合价值=期权值0.欧式看跌期权的定价K = 52，时间间隔 =1年，r = 5%504.2313604072048432201.4299.5ABCDEFu=1.2，d=0.8p=62.5%，q=37.5%Delta¡在第一个时间步中，ldelta=(1.429-9.5)/(60-40) = -0.404；¡在第二个时间步中，l对于股价上升 delta=(0-4)/(72-48) = -0.1667；l对于股价下降 delta=(4-20)/(48-32) = -1。

¡再次说明，利用标的股票和期权复制一个无风险资产时，需要定期调整持有的股票数量Delta (续)¡当投资者出售看跌期权时，需要对冲该空头头寸，即利用标的资产和无风险资产复制看跌期权： V = ΔS +B¡t=0，以4.23卖出看跌期权，同时卖空0.404份股票，并将所有收益存入银行¡t=1对冲成功：l如果S1=60，卖空的股票值24.24，银行收益25.67=(4.23+0.4*50)(1+5%), 这时售出的期权价值为1.43l如果S1=40，这时期权价值与复制策略价值-40* 0.404+ 25.67=9.5相同续2¡当S1=18时，期权价值为0，故不需再对价格风险进行对冲¡在t=1时，只需对冲S1=22，Δ1(u)=0.727做市商借钱$(15.99-2.02)买入0.727份股票¡t=2对冲成功？(√)l若S2=24.2，则买入的股票值17.59, 借款支付为13.97*1.03=14.39，故组合价值=期权值3.2l若S2=19.8，则买入的股票值14.39，借款支付为14.39，故组合价值=期权值0.多时段二叉树定价模型¡两步二叉树时，期权的价格为 V0 = e-2rT[p2Vuu + 2p(1-p) Vud +(1-p)2Vdd]¡N等分有效期[0,T]，S在每一段上遵循单时段-双状态模型。

记¡则鞅过程¡赌徒进行了n次赌博，第i次赌博后的赌资为Ui在已知{U0,U1,…,Un}的信息下，第n+1次赌博后的预期赌资为 E(Un+1|(U0,U1,…,Un))¡如果E(Un+1|(U0,U1,…,Un))= Un，那么称赌博是公平公平的这时称{Un | n=0,1…,N}是离散鞅过程¡如果E(Un+1|(U0,U1,…,Un)) Un，那么称Un是下鞅，反之是上鞅鞅测度¡在风险中性概率Q下，Sn和Vn的贴现过程Sn/(1+rT)n和Vn /(1+rT)n是鞅过程¡风险中性测度Q称为鞅测度鞅测度¡在无套利的市场中，总是存在与实际概率等价的鞅测度Q¡风险资产价格基本定理风险资产价格基本定理：若原生资产价格的运行以二叉树方式进行，则存在惟一等价鞅测度Q的充分必要条件是市场无套利风险中性概率¡风险中性概率l不支付红利l股指期权，红利率为ql外汇期权，国外无风险 利率为rfl期货合约u和d 的选取已知股票的波动率，一种 u 和 d 的取法 其中  是波动率，Dt 是时间间隔 这种取法来自Cox, Ross & Rubinstein，用于数值计算。

美式看跌期权定价VB=max{K-SB,1.425}，VC=max{K-SC,9.5}K=52505.121604072048432201.42512.0ABCDEF。