5.2 平面向量数量积与应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算4.理解数量积的性质并能运用2014天津,8基底法线性表示向量向量的共线表示★★★2.平面向量数量积的应用1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及一些实际问题2015天津,14向量方法解决平面几何问题基本不等式★★★分析解读 在天津高考中,平面向量的数量积常以平面图形为载体,借助平行四边形法则和三角形法则来考查.当平面图形为特殊图形时,可以建立直角坐标系,通过坐标运算求数量积;遇到模的问题时,通常是进行平方,利用数量积的知识解决,主要从以下几个方面考查:1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.破考点【考点集训】考点一 平面向量的数量积1.已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则CM·CN的取值范围是( )A.-34,0 B.[-1,1) C.-12,1 D.[-1,0)答案 A 2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DE·CB的值为 ;DE·DC的最大值为 . 答案 1;1考点二 平面向量数量积的应用3.已知向量|AB|=2,|CD|=1,且|AB-2CD|=23,则向量AB和CD的夹角为( )A.30° B.60° C.120° D.150°答案 C 4.已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是( )A.4,0 B.42,4 C.42,0 D.16,0答案 A 5.已知向量a是单位向量,向量b=(2,23),若a⊥(2a+b),则a,b的夹角为 . 答案 2π3炼技法【方法集训】方法1 求平面向量的模的方法1.已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12,若|BC|=1,则|AC|的最大值为( )A.2-1 B.3-1 C.2+1 D.3+1答案 D 2.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且AB·CD=5,则|BD|等于( )A.6 B.4 C.2 D.1答案 C 3.已知向量a与向量b的夹角为2π3,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(x∈R且x≠0,y∈R),则xc的最大值为( )A.33 B.3 C.13 D.3答案 A 方法2 求平面向量的夹角的方法4.△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则向量a,b的夹角为( )A.30° B.60° C.120° D.150°答案 C 5.若e1,e2是平面内夹角为60°的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为( )A.30° B.60° C.90° D.120°答案 D 6.已知|a|=10,a·b=-5302,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为( )A.2π3 B.3π4 C.5π6 D.π3答案 C 方法3 用向量法解决平面几何问题的方法7.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 B 8.已知向量OA,OB的夹角为60°,|OA|=|OB|=2,若OC=2OA+OB,则△ABC为( )A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案 C 过专题【五年高考】A组 自主命题·天津卷题组考点一 平面向量的数量积1.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为( )A.-58 B.18 C.14 D.118答案 B 2.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若AE·AF=1,CE·CF=-23,则λ+μ=( )A.12 B.23 C.56 D.712答案 C 考点二 平面向量数量积的应用 (2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别段BC和DC上,且BE=λBC,DF=19λDC,则AE·AF的最小值为 . 答案 2918B组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 平面向量的数量积1.(2018课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4 B.3 C.2 D.0答案 B 2.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=( )A.1 B.2 C.3 D.5答案 A 3.(2017课标Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 答案 234.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= . 答案 -25.(2015湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB= . 答案 9考点二 平面向量数量积的应用1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )A.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3答案 A 2.(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是( )A.-2 B.-32 C.-43 D.-1答案 B 3.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则∠ABC=( )A.30° B.45° C.60° D.120°答案 A 4.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )A.4 B.-4 C.94 D.-94答案 B 5.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ= . 答案 223C组 教师专用题组1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=( )A.5 B.4 C.3 D.2答案 A 2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )A.-32 B.-53 C.53 D.32答案 A 3.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是( )A.[4,6] B.[19-1,19+1] C.[23,27] D.[7-1,7+1]答案 D 4.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为 . 答案 -35.(2015安徽文,15,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号) ①a为单位向量; ②b为单位向量; ③a⊥b;④b∥BC; ⑤(4a+b)⊥BC.答案 ①④⑤6.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是 . 答案 227.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=10,则a·b= . 答案 108.(2013课标Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= . 答案 29.(2013课标Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD= . 答案 2解析 解法一:AE·BD=AD+12AB·(AD-AB)=AD2-12AB2=22-12×22=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),则AE=(1,2),BD=(-2,2),则AE·BD=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2018天津芦台一中模拟,7)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2,CD=1,P为线段BC上的一点,设BP=23BC,若PA·PD=89,则|AD|=( )A.2 B.3 C.2 D.1答案 A 2.(2018天津南开二模,8)设△ABC是边长为1的正三角形,M是△ABC所在平面上的一点,且MA+2λMB+MC=CA,则当MA·MC取得最小值时,λ的值为( )A.13 B.12 C.2 D.3答案 A 3.(2019届天津新华中学期中,5)若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )A.π4 B.π2 C.34π D.π答案 A 4.(2017天津南开一模,7)在△ABC中,AB=AC=1,AM=MB,BN=NC,CM·AN=-14,则∠ABC=( )A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C 5.(2017天津五校联考一模,7)在△ABC中,AC=2AB=2,∠BAC=120°,O是BC的中点,M是AO上的一点,且AO=3MO,则MB·MC的值是( )A.-53 B.-76 C.-73 D.-56答案 A 6.(2019届天津南开中学第。