实用标准文案文档1.圆锥曲线对比表2.硬解定理内容3.结论与推论平面解析几何第一部分 圆锥曲线对比表圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x2a2+y 2b 2=1 (a>b>0)x2/a 2-y 2/b 2=1 (a>O,b>O)y2=2px (p>0)范围x 匕[-a,a]y € [-b,b]x € (- g, -a] U [a,+ g)y € Rx € [0,+ g)y € R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,O),(-a,O),(O,b),(O,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)隹占八、、八、、(c,O),(-c,O)【其中c2=a 2-b 2】(c,0),(-c,0)【其中c2=a 2+b 2】(p/2,0)准线x= ±a2cx= ±a2/cx=-p/2渐近线y= ±(b/a)x离心率e=c/a,e €( O,1)e=c/a,e €( 1,+ g)e=1焦半径IPF? I=a+exIPF? I=a-exPF? 1= lex+a 1PF? 1= lex-a 1IPF l=x+p/2焦准距p=b 2/cp=b 2cP通径2b 2a2b2/a2p参数方程x=a cos 0y=b sin 0,0为参数x=a sec 0y=b tan 0，0为参数x=2pt 2y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点(xO,yO )的切线方程xO x/a 2+yO y/b 2=1xOx/a 2-yO y/b 2=1y0 y=p(x+xO)斜率为k的切线方程y=kx ±g2k2+b2)y=kx ±v(a2k-2-b 2)y=kx+p/2k第一部分 硬解定理内容CGY-EH定理（圆锥曲线硬解定理）若曲线与直线A x+By+C=O 相交于E、F两点，则:-2ACm工1十兀2二 AH = mn(f-C2)Id其中'为一与△同号的值，定理说明r2 y2应用该定理于椭圆| 「 时,应将 " ' 代入。
兰_尸二L应用于双曲线「 ” •时，应将一…—I-代入同时…・J丿不应为零，即£不为零求解y1+y2与y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知e与?'的值不会因此而改变定理补充联立曲线方程与y=kx+ 1是现行高考中比联立” Ax+By+C=O “更为普遍的现象其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得， 唯独弦长的表达式需要大量计算这里给出一个 CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用若曲线； •与直线y=kx+ 相交于E、F两点，则:A = （n + mk2 一甲，）这里的「既可以是常数，也可以是关于 k的代数式由这个公式我们可以推出：、兰+疋二［ 兰+疋二1若曲线用n 为椭圆讹吳则A = I 語 + «2Jt2 一于）2 2 J. r = i =1若曲线用 n 为双曲线以胪则A = 4a2护 I— FF + 护）由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容 需要考生自己填写）：联立两方程得……（二次式子）（*）所以x1+x2=……①，x1x2=……②；所以|x1-x2|= V（x1+x2 ）八2-4x1x2= （此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）化简得|x1-x2|= IH + W1pl （偷偷地直接套公式，不必真化简）下面就可求弦长:-「a 心 了。
定理简证设曲线xA2/m+yA2/n=1 ①与直线 A x+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：（AA2 m+BA2 n） xA2+2ACmx+CA2 m-m nBA2=0应用韦达定理，可得:x_1+x_2=（-2ACm）/（AA2 m+BA2 n）x_1 x_2=（m（CA2-BA2 n ））/（人八2 m+BA2 n）?=4mn BA2 （心2）对于等价的一元二次方程 ？的数值不唯一勺意义仅在于其与零的关系，故由4BA2>0恒成立,则可取与 ？同号的？mn（ e-CA2）作为？的值［3］由 |EF|= V(〖(x_1-x_2)〗八2+ 〖(y_1-y_2)〗八2 )= V((1+AA2/BA2 )[ 〖(x_1+x_2)〗八2-4x_1 x_2 ])可得 |EF|= V((AA2+BA2)4 mn (人八2 m+BA2 n-八2))/(|人八2 m+BA2 n|)令£=AA2 m+BA2 n 则得到CGY-EH定理:x_1+x_2=(-2ACm)/ £ ; x_1 x_2=(m(CA2-BA2 n))/ £ ; ?'=mn( 兀八2) ; |EF|=(2 v((AA2+BA2)'))/(1 4)第一部分 结论与推论一、椭圆的常用结论：1•点P处的切线PT平分APF1F2在点P处的外角.2. PT平分APF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切5.2若Po(xo, yo)在椭圆^2 a2占1上，则过Po的椭圆的切线方程是bXoX~2"ayoy 1盲1.6.2若Po(xo,yo)在椭圆勺 a2y1外’则过Po作椭圆的两条切线切点为Pl、P2，则切点弦PlP2的直线方程XoX y°y^是 2 .2a b27.椭圆冷a1.2b21 (a>b >0)的左右焦点分别为Fi, F 2,点P为椭圆上任意一点F1PF2,则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2 b2ta n?.2 28.椭圆耸行1 (a > b > o)的焦半径公式|MF1| a exo ,| MF21 a exo(Fd c,o) ,F2(c,o)M (x°, yo)). a b9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别 交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，贝U MF丄NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, Ai、A2为椭圆长轴上的顶点，AiP和A2Q交于点M , A2P和AiQ交于点N，贝U MF丄NF.11.2 2AB是椭圆x2 y2 1的不平行于对称轴的弦，M(X。
y)为AB的中点，a bb 29、过椭圆x?七1 (a> b > 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点，a b贝 U kOM kAB r，即aKabb2x°2 a y12.2 2若R(X0,y)在椭圆x2 I 1内，则被P0所平分的中点弦的方程是弩a b a2 2yb2 a2 b2 ；【推论】：2 2 2 2 2 21、若R(xo,y)在椭圆笃 書1内，则过P0的弦中点的轨迹方程是 笃首 竽響椭圆召首1 ( aa b ababab> b > 0)的两个顶点为A( a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹2 22、过椭圆話1(a >0, b >0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC叹(常数).2a y23、若P为椭圆务a(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,PF2F1 ,则 a_c tan co t —. a c 2 「24、设椭圆笃a22y_b2(a >b >0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在 BF1F2中，记 F1PF2PF1F2,F1F2P ，则有 i sin i E esin sin a25、若椭圆笃a2 y b21 (a>b >0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L,贝V当1时，可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6、2a_ 2P为椭圆笃 占1 (a > b >0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，a bIAF2I |PA| |PR| 2a IAF1I，当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立.椭圆(x X0)22a(y缨1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是 A2a2 B2b b2(Ax0 By0 C).x2已知椭圆1aOP OQ . ( 1 )2笃1 (a>b >0), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且b1 1 1|OP |2 |OQ |2 a2古；(2) |OP|2+|OQ| 2的最大值为2 24>a b2 ； ( 3 ) S OPQ的最小值是a b2以a b2 2 .a b弦MN的垂直平分线实用标准文案1文档点 P(x°,O),则|PF|e、J| MN |22 2x y12 2a b12 2a bx(a > b > 0)a交X轴于P,10、已知椭圆,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与x轴相交于a2 b2a2 211、设P点是椭圆笃占1 ( a > b > 0)上异于长轴端点的任一点 尸、F2为其焦点记 F1PF2 ，则a b(1)|PF1 || PF2 |2b21 cos.(2)S prf2b2%.2 212、 设A、B是椭圆笃 与1( a>b >0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，pab , pba , bpaa bC、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1)|PA| 4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)严 PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. !C0S2 1 .(2) tan tan 1 e2 .(3) S pab 竺cot .a c cos b a2 213、 已知椭圆冷扫1 ( a > b > 0 )的右准线I与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交a b于A、B两点，点C在右准线I上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直。