2.1 复变函数的概念、极限与连续性 1.复变函数的概念定义定义2.1 设E为一复数集.若对E中的每一个复数 ,按照某种法则f有确定的一个或几个复数 与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数（简称复变函数），记作 .通常也称w=f(z)为定义在E上的复变函数，其中E称为定义域，E中所有的z对应的一切w值构成的集合 称为f(z)的值域，记作 f(E)或G.若z的一个值对应着w的一个值，则称复变函数 f(z)是单值的；若z的一个值对应着w的两个或两个以上的值，则称复变函数 f(z)是多值的.复数z=x+iy与 w=u+iv分别对应实数对(x,y)和(u,v)，对于函数w=f(z)，u、v为x、y 的二元实数函u(x,y)和v(x,y)，所以w=f(z)又常写成w=u(x,y)+iv(x,y)函数w=z2+1.令z=x+iy，w=u+iv，那么w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,w=z2+1对应于两个实函数 u=x2-y2+1和v=2xy.对于复变函数w=f(z)即u+iv=f(x+iy)，可以理解为两个复平面上的点集之间的映射，具体地说，复变函数w=f(z)给出了z平面上的点集E到w平面上的点集f(E)(或G)之间的一个对应关系：其中w称为z的像，z称为w的原像.例2.1 函数 将z平面上的直线 x=1变成w 平面上的何种曲线？解：z平面上的直线x=1对应于w平面上的曲线 设函数w=f(z)定义在E上，值域为G.若对于G中的任一点w,在E中存在一个或几个点z与之对应，则在G上确定了一个单值或多值函数，记作z=f-1(w)，它就称为函数w=f(z)的反函数.2.复变函数的极限 定义2.2 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|r内，若存在常数A，对于任意给定0的,都存在一正数(0r),使得当0|z-z0|r时,有 ,则称函数f(z)当zz0时的极限存在，常数A为其极限值.记作或 .几何意义 当变点 z 进入z0的充分小的去心邻域时，它的象点 f(z)就落入A的一个预先给定的邻域内.定义中zz0的方式是任意的，也就是说，z在z0的去心邻域内沿任何曲线以任何方式趋于z0时，f(z)都要趋向于同一个常数A.定理2.1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib，则 证明：先证必要性.即对 ,必 ,当 时，有当 时，有 成立.再证充分性.当 时，有 因此所以，当有即定理2.2 (极限运算法则)若 则 若两个函数f(z)和g(z)在点z0处有极限，则其和、差、积、商(要求分母不为零)在点z0处的极限仍存在，并且极限值等于f(z)、g(z)在点z0处的极限值的和、差、积、商.例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存在，试求出极限值：解：(1)方法一 因为 所以 ，取 ，当 时，总有 根据极限定义 方法二 设z=x+iy,则 根据定理2.1，有(2)方法一.设z=x+iy,则 让z沿直线y=kx趋向于0，有所以不存在 根据定理2.1，不存在.方法二.则设让z沿不同射线趋向于0时，f(z)趋向于不同的值.所以不存在.3.复变函数的连续性 定义2.3 若 ，则说函数 f(z)在点 z0 处连续.如果函数f(z)在区域D 内每一点都连续，那么称函数f(z)在区域D内连续.定理2.3 若 f(z)、g(z)在点z0连续，则其和、差、积、商（要求分母不为零）在点z0处连续.(1)多项式 在整个复平面上连续；(2)任何一个有理分式函数 在复平面上除去使分母为零的点外处处连续.定理2.4 若函数h=g(z)在点z0连续，函数=f(h)在h0=g(z0)连续，则复合函数=f(g(z)在z0处连续.定理2.5 设函数 ,则f(z)在点z0连续的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)均在点(x0,y0)连续.例2.3 讨论函数argz的连续性.解：当z=0时,arg z无定义，因而不连续.当z0为负实轴上的点时，即z0=x00),只要y充分大，cosy就可以大于一个预先给定的正数.其它三角函数定义如下:例2.14 求函数cosz在z=1+i的值.解：三角函数可以用指数函数表示，由于对数函数是指数函数的反函数，所以反三角函数作为三角函数的反函数可以用对数表示.z=sinw 定义反正弦函数为 反余弦函数反余切函数反正切函数例2.15 求函数Arcsinz在z=5的值.解：例2.16 求函数Arctanz在z=2+3i的值.解：5.双曲函数与反双曲函数定义2.11 规定并分别称它们为双曲正弦函数与双曲余弦函数.性质(1)周期性：shz和chz都是以2i为基本周期的周期函数.(2)奇偶性：shz为奇函数，chz为偶函数.(3)解析性：shz和chz在复平面上处处解析，且有 (shz)=chz,(chz)=shz.(4)shz、chz与sinz、cosz有如下关系：siniy=ishy,shiy=isiny,cosiy=chy,chiy=cosy.反双曲正弦函数反双曲余弦函数。