实数连续性等价命题的证明与应用摘要 实数连续性理论是高等数学中的主要内容,实数连续性的叙述是多种多样的, 它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.本文主要研究实数连续性等价命题的证明问题,对于实数连续性的7个等价性 命题:确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性 定理、柯西收敛准则,采用循环论证的方法,先证明确界定理成立，再从确界定理出 发,依次证明下一命题,直至致密性定理证明柯西收敛准则,最后由柯西收敛准则证 明确界定理,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.在实数连续性等价命题的证明过程的同时,本文还给出了实数连续性的应用.关键词: 实数的连续性;等价证明;应用The proof and application for equivalent propositions of the real continuityABSTRACTThe paper discusses demonstration and application of the equal propositions on real number continuity. Equivalence of these seven theorems can be demonstrated by a circular. From the case 1 on, this paper demonstrate the next one in turn down, at the last, the proposition that extends from 7 to 1 to form a road that their equivalence.Keywords：The continuity of real number; equivalence demonstration;application目录一、实数连续性 1二、确界定理 1三、单调有界定理 3四、区间套定理 4五、有限覆盖定理 6六、聚点定理 7七、致密性定理 8八、柯西收敛定理 8参考文献 11一、实数的连续性实数连续性反映了实数集R的一种特性，也称作实数的完备性. 实数连续性理论在高等数学中占有重要地位， 广泛应用于极限理论方面,连续函数理论方面乃至整个数学分析,因此,实数连续性 等价命题的内容,证明方法及应用是大学生应该掌握的重要学习内容. 实数连续性 的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此 等价的.实数连续性的基本定理有七个,这七个定理在实数理论的研究乃至整个数学分 析的学习中都至关重要，它们是:确界定理,数列的单调有界定理,区间套定理,有限 覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛定理.在下面的几节中，采用循环论证的方法,先证明确界定理成立,再从确界定理 出发,利用确界定理证明数列的单调有界定理成立,再利用单调有界定理证明区间套 定理成立,接下来利用区间套定理证明有限覆盖定理成立,再接下来利用有限覆盖定 理证明聚点定理成立,然后利用聚点定理证明致密性定理成立,再然后利用致密性定 理证明柯西收敛准则成立,最后由柯西收敛准则证明确界定理成立,从而组成一个环 路,证明了它们的等价性.二、确界定理定义2.1.1 设是非空数集•若满足1皿€脯\百方；2)V^ > O?3xo w环背花+君〉罠则称是数集的上确界，记作B 二 sup£.定义2.1.2 设是非空数集•若满足!)Vxc则称2)V£ > 0j3x& e EW可厂£ c 0,是数集 的上（下）确界，记作定理 2.1（确界定理）gnfE若非空数集£有上界（下界）,则数集£一定存在唯一的上确界（下确界）；若非空数集£有下界,则数集 一定存在唯一的下确界.证明 只证明关于上确界的结论，下确界的结论可以类似地证明.不妨设 含有非负数.由于 有上界,故可找到非负整数 ,使得1）对于任何x r X-f'Jx < M+1存在,使对半开区间作 10 等分,分点为则存在中的一个数,使得1)对于任何有对于绚e£,使冏＞ n.n}在随半开区间作 10 等分,则存在中的一个,使得对于任何有对于继续不断地10等分在前一个步骤中所得到的半开区间，可知对任何"12 …，存在0J2 .9中的一个数 ,使得1)对于任何X E S有对于ak wg使御 > 乩场灼…桝将上述步骤无限地进行下去，得到实数]]-■ flj..以下证明q - sup\.为此只需证明:对一切GO对任何a ＜ %存在川e £使圧＜ a倘若结论 不成立，即存在 ,则可找到 的 位近似不足 ，使，从而得但这与不等式相矛盾•于是得证.(*)U)现设则存在使的位近似不足 ,即根据数 的构造，存在 使从而有即得到a < a!GO•这说明成立.说明（i）:数集的上（下）界可能属于,也可能不属于,例如，则sup E = \，而inf E = 0庄恵说明（2）:数集 的上（下）界可能不存在.例如: ，则supE ™ -1，而下确界不存在.例 2.1 设为非空数集，满足:对一切x< y.证明:数集 有上确界，数集 有下确界，且sup J < tnf B证明由假设，数集中任一数都是数集的上界,中任一数都是的下界,故由确界原理推知数集有上确界,有下确界.对任意是数集的一个上界,而由上确界的定义知,sup A是数集的最小上界,故有Rlip A < y.而此式又表明数sup A是数集的一个下界,故由下确界定义证得sup J < inf B三、单调有界定理定义 3.1.1 若数列的各项满足关系式则称 为递增数列.定义 3.1.2 若数列 的各项满足关系式则称il为递减数列.定理3.1（单调有界定理） 若数列k递增（递减）有上界（下界），则数列 收敛,即单调有界函数必有极限.证明 利用确界定理（定理 2.1）证明,不妨设1心为有上界的递增数列•有确界原理，数列 有上确界,记 .下面证明 就是 的极限.事实上，任给,按上确界的定义,存在数列中某一项,使得.又由的递增性,当时有另一方面,由于的一个上界,故对一切都有.所以当时有a-E<仏UQ+E这就证得lim a,, = a同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.例 3.1 设, 其中实数.证明数列收敛.是递增的,下证证明 显然有上界.事实上,于是由单调有界定理收敛.四、区间套定理定义 4.1 设闭区间套{[%也』具有如下性质:则称仏心］｝为闭区间套，或简称区间套.定理4.1 （区间套定理）若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点£，使得疔cn = 12--- ，即ft = 1,2.…证明 利用单调有界定理（定理3.1）证明,由闭区间套满足条件：1）h曲卜応切二…lim（仇2） 一％卜0各闭区间的端点满足如下不等式:呂碣 < - 也 J1T如且壮UN…综合即得最后证上式中的 是唯一的.设数则由£_灯兰乞_气/_12….由区间套条件故有 ,即 是唯一的.说明（1）：若将闭区间列换成开区间列，区间套定理不一定成立•如:开区间列 ”.. 山满足区间套定理，但不存在数属于所有的开区间.说明(2):若将闭区间列换为严格的开区间列，即存在数列 与他｝，使得叫 5 < - - < -