一）函数 1 凹（凸）函数 1.1 凸集 凸集（Convex Set） ：对于任意两点uS∈和vS∈，且对于每一个[0,1]θ∈，当且仅当 (1)wuvSθθ=+−∈为真时，集合为凸集 n SR⊂ 凸集要求集合内的任意两点，其连线也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也 不能有缩进例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是 1.2 凹（凸）函数 引入凸集的概念后我们就可以介绍凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定 义域是凸集我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数 2 44yxx= −+−就是一个凹函数，它在定义域内呈现的形状是一只倒立的碗；而函数 是一个凸函数，它在定义域内呈现的形状就像一只碗 2 4yxx=−+4 现在具体给出凹（凸）函数的定义（x为自变量向量）： 对于函数:fD → R，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当 1 x 2 x 1212 (x )(1) (x )( x(1)x )(0,1)tft ff ttt+−≤+−∀ ∈ 时，函数 f 为凹函数(Concave Function) 对于函数:fD → R，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当 1 x 2 x 1212 (x )(1) (x )( x(1)x )(0,1)tft ff ttt+−≥+−∀ ∈ 时，函数 f 为凸函数(Convex Function)。
如果 f 为一元函数，我们能从图形上看，凸函数的定义是指该曲线上任何两点之间的连 线在曲线的上面， 而凹函数则要求曲线上任何两点之间的连线在曲线的下面 如果是二元函 数，则把“曲线”改为“曲面”也可以感受它们的特征 若将不等号“≤”和“≥”分别变换成严格不等号“ 因为凹函数的定义域为凸集，因此点也一定在函数的定义域内 12 x(1)xtt+− 我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况在满足无约束极 值一阶必要条件的前提下， 凹函数一定存在全局最大值的解， 但全局最大值的解可能不是唯 一的，因为如果山峰包含一个平顶，则全局最大值的解有很多个仅当我们限定它为严格凹 形函数时，全局最大值的解才可能是唯一的 1.3 凹（凸）函数与凸集的关系 首先我们必须区别凸集与凸函数的概念 根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能 有缩进这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或 1 曲面是如何弯曲的 但凹（凸）函数确实与凸集有关除了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个 凸集 定理 (x)f是凹函数{}(x) x,(x)AyD f⇔≡∈≥，y是凸集； (x)f是凸函数{}(x) x,(x)AyD f⇔≡∈≤，y是凸集。
即， 由函数上的点以及函数曲线 （曲面） 之下的点组成的集合若是凸集⇔该函数为凹函数； 由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点组成的集合若是凸集⇔该函数为凸函数 注意，这里的 A 是关于点（x,y）的集合 1.4 用海塞矩阵判定凹（凸）函数 当函数为二阶连续可导时，我们还可以利用海塞矩阵判定它是否为凹（凸）函数 定义 海 塞 矩 阵 ： 为 函 数 二 阶 导 数 和 交 叉 导 数 构 成 的 矩 阵 ， 如 ： 11121212 12 21122212 ( ,)( ,) ( ,) ( ,)( ,) fx xfx x H x x fx xfx x ⎡⎤ =⎢ ⎥ ⎣⎦ 根据杨格定理： ijji ff=，因此海塞矩阵为对称矩 阵 通过判定海塞矩阵的负（正）定，我们可以判定函数的凹（凸）性，规则为 （1）函数为严格凹函数⇐其海塞矩阵负定； 12 (,)H x x （2）函数为严格凸函数⇐其海塞矩阵正定 12 (,)H x x 接下来就介绍判断海塞矩阵正负定的方法我们这里主要讨论判定二元函数凹凸性的方法 定义 主子阵： 对n矩阵 A， 由 A 的 k 个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的 矩阵，称为 A 的 k 阶主子阵；由 A 的前 k 个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到 的矩阵，为 k 阶前主子阵。
n× 主子阵的行列式为主子式；前主子阵的行列式为顺序主子式 我们用表示的 k 阶顺序主子式（其中 k D 12 (,)H x x1,2k =） ，如: 1121112 ( ,)( ,)D x xfx x=， 11121212 212 21122212 ( ,)( ,) ( ,) ( ,)( ,) fx xfx x D x x fx xfx x = 定理 对于二次连续可微函数， 12 ( ,)yf x x= （1）海塞矩阵正定； 12 ( ,)0(1,2) k D x xk=⇔ （2）海塞矩阵负定 12 ( 1)( ,)0(1,2) k k D x xk−=⇔ 2 用H π 表示海塞矩阵 H 的指标（1,2）的任意排序，如 1112121222122112 12 2112221212121112 ( ,)( ,)( ,)( ,) ( ,), ( ,)( ,)( ,)( ,) fx xfx xfx xfx x Hx x fx xfx xfx xfx x π ⎡⎤ ⎡⎤ =⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ， 12 ( ,) k Dx x π 为的 k 阶顺序主子式，则 12 ( ,)Hx x π （3）海塞矩阵半正定； 12 ( ,)0,(1,2) k Dx xk π ≥=⇔ ⇔（4）海塞矩阵半负定。
12 ( 1)( ,)0,(1,2) k k Dx xk π −≥= 2 拟凹（拟凸）函数 不管是凹（凸）函数还是严格凹（凸）函数，它们对函数都有比较强的设定我们需要 更弱的假定来增加理论的一般性和解释力 拟凹 （拟凸） 函数则是一个相对而言更弱的条件 拟凹（拟凸）函数的定义如下： DR→，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当 1 x 2 xf :对于函数 {} 1212 min(x ),(x )( x(1)x )(0,1)fff ttforallt≤+−∈ 时，函数 f 为拟凹函数（Quasiconcave Function） 对于函数:fD → R，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当 1 x 2 x {} 1212 max(x ),(x )( x(1)x )(0,1)fff ttforallt≥+−∈ 时，函数 f 为拟凸函数(Quasiconvex Function) 若将不等号“≤”和“≥”分别变换成严格不等号“ 我们也可以通过更直观的方法检验函数的拟凹性和拟凸性 定义 {} 0 ()x x,(x)S yD fy≡∈≥(x) 0 为函数f在 0 y水平上的上等值集（Upper Contour Set） ， {} 00 I()x x,(x)yD fy≡∈≤(x)为函数f在 0 y水平上的下等值集（Lower Contour Set） 。
注意：不论是上等值集还是下等值集，它们都是关于选择变量 x 的集合区别于之前与 凹（凸）函数有关的 A 集合 定理 对于值域内的所有 y 值，都是凸集(y)S:fDR⇔→是拟凹函数 对于值域内的所有 y 值，都是凸集(y)I:fDR⇔→是拟凸函数 经济学中常假设拟凹的效用函数 根据定理， 拟凹的效用函数保证了其上等值集为凸集 2.1 用加边海塞矩阵判定拟凹（拟凸）函数 当函数为二次连续可微时，我们还可以利用加边海塞矩阵判定拟凹（拟凸）函数我们 还是集中关注二元函数 3 定义 加边海塞矩阵：由海塞矩阵和函数的一阶导数（边）构成的矩阵，如二元函数 12 ( ,)yf x x= 的加边海塞矩阵 112212 1211211121212 21221122212 0( ,)( , ( ,)( ,)( ,)( ,) ( ,)( ,)( ,) )f x xfx x H x xf x xfx xfx x fx xfx xfx x ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ， 加边海塞矩阵也是对称 矩阵 k B为加边海塞矩阵的 k+1 阶顺序主子式，如 112212 21211211121212 21221122212 0( ,)( , ( ,)( ,)( ,)( ,) ( ,)( ,)( ,) )f x xfx x B x xf x xfx xfx x fx xfx xfx x =。
0 k k T kk f B fH π π ππ ∇ = ∇ ,其中H π 表示海塞矩阵的指标（1,2）的任意排序， H k H π 为H π 的 k 阶子式，如 112212 112 11211122122212 0( ,)0( ,) ( ,), ( ,)( ,)( ,)( ,) f x xfx x Bx x f x xfx xfx xfx x π = ， 112212212112 2121121112121221222122112 2122112221211212121112 0( ,)( ,)0( ,)( ,) ( ,)( ,)( ,)( ,) ,( ,)( ,)( ,) ( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,) f x xfx xfx xf x x Bx xf x xfx xfx xfx xfx xfx x fx xfx xfx xf x xfx xfx x π = 通过加边海塞矩阵判定二元函数的拟凹（拟凸）性的规则为 （1）函数为拟凹函数； ⇔ 12 ( 1)( ,)0(1,2) k k Bx xk π −≥= =（2）函数为严格拟凹函数 ⇐ 12 ( 1)( ,)0(1,2) k k Bx xk π − （3）函数为拟凸函数 ⇔ 12 ( ,)0(1,2) k Bx xk≤= （4）函数为严格拟凸函数 ⇐ 12 ( ,)0(1,2) k Bx xk0 T qA(x)q 若对于所有的x，0≠(x)=xx0 T qA 212 ( ,)0D x x⇒ * x 判断函数的凹凸性后， 若 **** 112212 (,)(,)0f x xfx x==， 则可判定函数在点 ** 12 (,)x x取得的 是全局最大值还是全局最小值。
8 （三）具有约束条件的最优化问题 之前在求极值的过程中， 我们没有对选择变量的值进行约束， 从而解的取值可能是负值， 也可能很大 但考虑到经济学是建立在稀缺的资源如何配置的问题上的， 因而在经济学的最 优化求解过程中，我们通常不得不面临资源的稀缺性——对选择变量的值加上约束条件 约束条件大致分三类：等式约束、非负约束以及更普遍的，其它形式的不等式约束我 们将依次介绍对应的求解方法从现在开始，讨论将以最大化问题为主，关于最小化问题的 条件，我们可以对最大化条件稍微进行调整得到 1 等式约束 关于解决等式约束的方法，其实我们已经学过了，就是利用拉格朗日方法求解的过程 现在简要回顾拉格朗日函数 1.1 二元目标函数、一个等式约束的约束最优化条件 考虑二元函数下，具有约束条件的最优化问题 12 ,1 max( ,) x x yf x x2= 12 . .( ,)stg x xc= 其中 c 是一个常数，y 和 g 都是二次连续可微函数 该问题的拉格朗日函数为： 1212 ( ,)[( ,)]Lf x xcg x xλ=+− 一阶条件要求： ********* ** 121212121 ** 11112 (,,)(,)(,)(,)/ 0 (,)/ L x xf x xg x xf x xx xxxg x xx λ 1 λλ ∂∂∂∂∂ =−=⇒ ∂∂∂∂∂ = ********* ** 121212122 ** 22212 (,,)(,)(,)(,)/ 0 (,)/ L x xf x xg x xf x xx xxxg x xx λ 2 λλ ∂∂∂∂∂ =−=⇒ ∂∂∂∂∂ = *** **** 12 1212 (,,) (,)0(,) L x x cg x xcg x x λ λ ∂ =−=⇒= ∂ 求出上。