单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,*,第六章 扭 转,主要内容：,受扭杆件的外力和内力计算,；,,圆轴扭转的应力和变形,；,,圆轴扭转的强度和刚度计算,；,,矩形截面杆自由扭转第六章 扭 转主要内容：受扭杆件的外力和内力计算；,扭转的概念,,直杆的两端各受到一个外力偶,M,e,的作用，且二者的大小相等、转向相反，作用面与杆件的轴线垂直，那么杆件的横截面绕轴线发生相对转动，称为,扭转,扭转前的杆件,扭转后的杆件,扭转的概念扭转前的杆件扭转后的杆件,6.1,,工程实例与计算简图,,工程中承受扭转的杆件：汽车方向盘的操纵杆,[,图,(,a,),],，机器中的传动轴,,[,图,(,b,),],，钻机的钻杆,[,图,(,c,),],以及房屋中的雨篷梁和边梁,[,图,(,d,),、,(,e,),],等工程中常把以扭转为主要变形的杆件称为,轴,6.1 工程实例与计算简图 工程中承受扭转的,,受扭杆件的受力特点：在杆件两端受到两个作用面垂直于杆轴线的力偶的作用，两力偶大小相等、转向相反。
变形特点是：杆件任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动，两横截面之间的相对角位移称为,扭转角,，用,,,表示受扭杆件的受力特点：在杆件两端受到两个作用面,6.2,,扭矩与扭矩图,6.2.1,,外力偶矩的计算,,,工程中作用于轴上的外力偶矩一般不直接给出，而是给出轴的转速和轴所传递的功率由物理学，矩为,M,e,的外力偶产生角位移时，它所作的功为,：,轴转动一周时外力偶所作的功为：,,若轴的转速为,n,，单位为,r,/,min,（转,/,分），则外力偶每分钟所作的功为 ：,6.2 扭矩与扭矩图 工程中作用于轴上的外,,若功率用,P,表示，单位为,kW,（千瓦），则外力偶每分钟所作的功也可表示为 ：,,由此可得外力偶矩的计算公式为：,式中：,M,e,—,轴上某处的外力偶矩，单位,,N·m,；,,,,P,,—,,轴上某处输入或输出功率，单位,,kW,；,,,,,n,,—,,轴的转速，单位,,r/min,若功率用P表示，单位为kW（千瓦），则外力偶,6.2.2,扭矩,,确定了作用于轴上的外力偶矩，可用截面法求横截面上的内力取左段为研,究对象由于左,端有外力偶作用，,为使其保持平衡，,m,,—m,,横截面上,必存在一个内力偶矩。
它是截面上分布内力的合力偶矩，称为,扭矩,，用,,T,,来表示列,空间力系平衡方程,：,,,∑,M,x,,＝0,,T－M,e,,＝,0 ∴,,T,＝,M,e,,,若取右段为研究对象，也可得到相同的结果，但扭矩的转向相反6.2.2 扭矩 确定了作用于轴上的外力偶,为了使同一截面上扭矩,的符号相同，,规定扭矩,T,的正负号,为：使右手四指的握向与扭矩的转向一致，若拇指指向截面外法线，则扭矩,T,为正,[,图,(a),]，反之为负[,图,(b),]为了使同一截面上扭矩的符号相同，规定扭矩T的,6.2.3 扭矩图,为了直观地表示出轴的各个横截面上扭矩的变化规律，与轴力图一样用平行于轴线的横坐标表示各横截面的位置，垂直于轴线的纵坐标表示各横截面上扭矩的数值，选择适当的比例尺，将扭矩随截面位置的变化规律绘制成图，称为,扭矩图,在扭矩图中，把正扭矩画在横坐标轴的上方，负扭矩画在下方6.2.3 扭矩图 为了直观地表示出轴的各个,【,例,6.1】,已知传动轴的转速,n,＝,300r,／,min,，主动轮,A,的输入功率,P,A,＝,29kW,，从动轮,B,、,C,、,D,的输出功率分别为,P,B,＝,7 kW,，,P,C,＝,P,D,＝,11kW,。
绘制该轴的扭矩图例6.1】已知传动轴的转速n＝300r／min，主动轮A的,【解】,1）计算外力偶矩轴上的外力偶矩为,：,【解】1）计算外力偶矩轴上的外力偶矩为：,,用截面法，取,1,-,1,横截面以左部分为研究对象，列平衡方程 ：,,得：,,T,1,为负值表示假设的扭矩方向与实际方向相反2,）计算各段轴内横截面上的扭矩 用截面法，取1-1横截面以左部分为研究对象，,,取,2,-,2,截面左边部分为研究对象，列平衡方程：,得,:,,,取,3,-,3,截面右边部分为研究对象，列平衡方程：,取2-2截面左边部分为研究对象，列平衡方程： 得:,3）绘出扭矩图如图所示由图可知，最大扭矩发生在,CA,段轴的各横截面上,,其值为,：,223,573,350,,－,,＋,T,,图,（单位：,N,·,m,）,3）绘出扭矩图如图所示 由图可知，最大扭矩发,6.3,,圆轴扭转时的应力与强度计算,6.3.1 圆轴的扭转试验,1,、,扭转试验现象与分析,,图（,a,）,所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线，形成矩形网格扭转变形后,[,图（,b,）,],，在弹性范围内，可以观察到以下现象：,1,）各纵向线都倾斜了一个微小的角度,,，矩形网格变成了平行四边形。
2,）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕轴线转动了不同的角度6.3 圆轴扭转时的应力与强度计算1、扭转试验现象与分析,,根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断：,①,,由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动这一假设称为圆轴扭转时的,平面假设,②,由于各圆周线的间距保持不变，故知,横截面上没有正应力,③,由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了相对转动，故可推断,横截面上必有切应力,τ,，且切应力的方向垂直于半径④,,由于各纵向线都倾斜了一个角度,,，故各矩形网格的直角都改变角,,，直角的改变量称为,切应变,切应变,,是由切应力,τ,引起的根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推,2,、切应力互等定理,,设矩形网格,,ABCD,,沿,纵,向长为,d,x,，沿圆周向长,为d,y,,，以它作为一个面，,再,沿半径方向取长为,,d,z,,，,截,出一个微小正,,六面体,,，,称,为,单元体,,，如图所示,,当,圆轴发生扭转变形时,,，,横,截面上有切应力,,,，故单元体左、右面上有切应力,,。
根据平衡条件，两个面上的切应力大小相等、方向相反，组成一个力偶，其矩为,(,,d,y,d,z,)d,x,为了保持单元体的平衡，在上、下面上必定还存在着切应力,,,´，组成一个方向相反的力偶，其矩为（,,´d,x,d,z,）d,y,由平衡方程,,∑,,M,z,=,0,，得,:,(,,,d,y,d,z,)d,x,= (,,´d,x,d,z,)d,y,,故,,=,,´,2、切应力互等定理 设矩形网格 ABCD 沿,上式表明，,在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向则共同指向或背离该两面的交线这一结论称为,切应力互等定理,图示单元体的两对面上只有切应力而没有正应力，这种应力情况称为,纯剪切,上式表明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂,6.3.2 圆轴扭转时横截面上的切应力,从变形的几何关系、力和变形的物理关系及静力学关系推导横截面上切应力的分布规律1）几何关系,,从圆轴中截取长为,d,x,的一段进行分析，如图所示假想横截面,m,—,m,,固定不动，,则横截面,n,—,n,,相对横截面,m,—,m,,绕轴线转动了一个角,度,d,,，其上的半径,O,2,D,也转,过了角度,d,,，,而到达位置,O,2,D′,。
相应地，纵向线,,AD,倾斜了一个微小角度,,，,该倾斜角即为圆轴表面,A,点处的切应变同理，设半径,O,2,D,上任一点,G,的纵向线,EG,的倾斜角为,,,，,,,,即为,E,点处的切应变6.3.2 圆轴扭转时横截面上的切应力 从变,令,G,点到轴线的距离为,,，由几何关系,可知,由于在同一横截面处 为一个常量，因此上式表明，,横截面上任一点处的切应变,,,与该点到圆心的距离,,成正比,这就是变形的几何关系令G点到轴线的距离为，由几何关系可知,,r,d,A,（,2）物理关系,设横截面上距圆心为,,点处的切应力为,,,,，由剪切胡克定律，有,:,将式 代,入上式,，,,,,得,:,因 为常数，所以上式表明,切应力的大小与,,成正比，在同一半径的圆周上各点处的切应力相同，截面边缘各点处的切应力最大,rdA（2）物理关系将式,,r,d,A,（3）静力平衡关系,如图所示，距圆心为,,,的微面积上的微内力为,,,d,A,，其对圆心的矩为,,,d,A,因扭矩,T,为截面上的分布内力的合力，则有,：,将式,代入上式，,整理得:,rdA（3）静力平衡关系将式,令,,可得圆轴扭转变形的基本公式,:,将上式代入式 得,圆轴扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式,:,式中：,T,,—,横截面上的扭矩；,,,,—,,横截面上任一点到圆心的距离；,,,,,—,横截面对圆心的极惯性矩，单位为,mm,4,或,m,4,。
令 可得圆轴扭转变,,当,,,=,R,时，切应力最大值为,:,,令,,则有,:,,式中,:,W,P,,—,,扭转截面系数,，单位为,mm,3,或,m,3,当 =R时，切应力最大值为: 令,圆形截面：,圆环形截面：,为圆环内、外径的比值注意：扭转时应力的计算公式只适用于圆轴极惯性矩,I,P,,和扭转截面系数,W,P,,是只与横截面形状、尺寸有关的几何量,直径为,D,的圆形截面和外径为,D,、内径为,d,的圆环形截面，它们对圆心的极惯性矩和扭转截面系数分别为 ：,圆形截面： 圆环形截面： 为圆环内、外径的比值 注意：扭转,【,例,6.2】,空心圆轴的横截面外径,D,=90mm,，内径,d,=85mm,，横截面上的扭矩,T,,=,,1.5kN·m,求横截面上内外边缘处的切应力，并绘制横截面上切应力的分布图例6.2】空心圆轴的横截面外径D=90mm，内径d=85m,【解】,1）计算极惯性矩极惯性矩为,2）计算切应力内外边缘处的切应力分别为,画横截面上的切应力分布图解】1）计算极惯性矩极惯性矩为 2）计算切应力内外边缘,6.3.3,圆轴的强度计算,,为使圆轴扭转时能正常工作，必须要求轴内的最大切应力,,max,,不超过材料的许用切应力,[,,,],，若用,T,max,,表示危险截面上的扭矩，则,圆轴扭转时的强度条件,为 ：,式中：,[,,,],－材料的许用切应力。
利用上式可以对圆轴进行强度校核、设计截面尺寸和确定许用荷载等三类强度计算问题6.3.3 圆轴的强度计算 为使圆轴扭转时,【,例,6.3】,如图所示的空心圆轴，外径,D,=100 mm ,,内径,d,=80 mm,，外力偶矩,M,e1,=6 kN·m,、,M,e2,=4 kN·m,材料的许用切应力,[,,]=50 MPa,，试进行强度校核例6.3】如图所示的空心圆轴，外径D=100 mm ,内径,T,max,=4 kN·m,【解】,1）求危险截面上的扭矩绘出轴的扭矩图如图所示，,BC,段各横截面为危险截面,,其上的扭矩为,:,,Tmax =4 kN·m【解】,轴的最大切应力为,:,所以轴是安全的2）校核轴的扭转强度截面的扭转截面系数为,:,,轴的最大切应力为:所以轴是安全的 2）校核轴的扭转强度例,6.4】,实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌离合器连在一起，如图所示已知轴的转速,n,=100r/min,，传递功率,P,=10kW,，材料的许用切应力,[,,]=,20MPa,1,）选择实心轴的直径,D,1,2),若空心轴的内外径比值为,1/2,，选择空心轴的外径,D,2,3),若实心部分与空心部分长度相等且采用同一种材料，求实心部分与空心部分的重量比。
例6.4】实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌离合器连在一起，如图所,【,解,】,,轴承受的外力偶矩为：,故轴任一横截面上的扭矩为：,T,,=,,M,e,,=,,955 N·m,1,）选择实心轴的直径由强度条件,得：,【解】 轴承受的外力偶矩为： 故轴任一横截面上的扭矩为：T,2,）选择空心轴的外径,D,2,圆环形截面的扭转截面系数为,:,由强度条件,:,,得,:,2）选择空心轴的外径D2圆环形截面的扭转截面系数为 :由强,3,）实心部分与空心部分的重量比为,:,,,显然,空心轴比实心轴节省材料,工程中有许多受扭杆件采用圆环形截面3）实心部分与空心部分的重量比为: 显然空心,6.4,圆轴扭转时的变形及刚度计算,6.4.1 圆轴扭转时的变形,圆轴扭转时的变形通常是用两个横截面绕轴线转动的相对扭转角,,,来度量的扭转变形的基本公式：,式中：,d,,,—相距为d,x,的两横截面间的扭转角上式也可写成,：,6.4 圆轴扭转时的变形及刚度计算 圆轴扭转,若该段轴为同一材料制成的等直圆轴，并且各横截面上扭矩,T,,的数值相同，则上式中的,T,、,G,、,I,P,均为常量,，积分后得,：,扭转角,,,的单位为,,rad。
相距为,l,,的两横截面间的扭转角为,：,若该段轴为同一材料制成的等直圆轴，并且各横截,,由上式可知，扭转角,,,与,GI,P,成反比，即,GI,P,越大，轴就越不容易发生扭转变形因此把,GI,P,称为圆轴的,扭转刚度,，用它来表示圆轴抵抗扭转变形的能力工程中通常采用单位长度扭转角，即,：,单位长度扭转角,,,的单位为,,rad,/,m,由上式可知，扭转角 与GIP成反比，即GI,6.4.2 圆轴的刚度条件,对于承受扭转的圆轴，除了满足强度条件外，还要求它的扭转变形不能过大因此，必须对轴的扭转变形加以限制，使其满足,刚度条件,：,式中：,[,,,],—,单位长度许用扭转角，单位为,rad/m，其数值由轴上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定，可从,相关设计手册中查到在工程实际中，,[,,,]的单位通常为 ,/m,，因,此刚度条件写为 ：,6.4.2 圆轴的刚度条件 对于承受扭转的圆,【,例,6.5】,图示传动轴，在横截面,A,、,B,、,C,三处输入或输出的功率分别为,P,A,=100kW,、,P,B,= 60kW,、,P,C,,= 40kW,，轴的转速,,n,,= 200r,／,min,，轴的直径,,D,= 90mm,，材料的切变模量,G,= 80,,10,3,MPa,，材料的许用切应力,[,,,] = 60MPa,，单位长度许用扭转角,[,,,,] = 1.1,,/m,。
试校核该轴的强度和刚度例6.5】图示传动轴，在横截面A、B、C三处输入或输出的功,【解】,1）计算外力偶矩解】1）计算外力偶矩2）求危险截面上的扭矩绘出扭矩图由图可知，,BA,段各横截面为危险截面，其上的扭矩为,:,T,max,= 2.86 kN·m,2）求危险截面上的扭矩3）强度校核截面的扭转截面系数和极惯性矩分别为:,,轴的最大切应力为:,强度满足要求3）强度校核 轴的最大切应力为:,4）刚度校核单位长度最大扭转角为:,,刚度满足要求4）刚度校核 刚度满足要求例,6.6】,一钢制传动圆轴材料的切变模量,G,=79×10,3,MPa,，许用切应力,[,,,]= 88.2 MPa,，单位长度许用扭转角,,[,,,]= 0.5,,/m,，承受的扭矩为,T,= 39.6 kN·m,试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直径,D,例6.6】一钢制传动圆轴材料的切变模量G=79×103M,【解】,,1）按强度条件设计圆轴的直径由强度条件:,,得：,【解】,2）按刚度条件设计轴的直径由刚度条件,：,,得：,取,D,＝,160mm,,，能同时满足强度和刚度条件2）按刚度条件设计轴的直径。
取 D＝160mm ，能,6.5,,矩形截面杆自由扭转时的应力及变形,,在工程中还经常会遇到非圆截面杆的扭转问题在,图,(a),所示矩形截面杆在扭转后所有横向线都变成了曲线,[,图,(b),],，这说明横截面不再保持为平面而变为曲面，这种现象称为翘曲试验表明，,非圆截面杆扭转时都会发生翘曲，圆轴扭转时的平面假设不再成立，应力和变形的计算公式也不再适用,6.5 矩形截面杆自由扭转时的应力及变形 在,非圆截面杆的扭转，必须用弹性力学的方法来研究当非圆截面杆不受任何约束时，横截面能自由翘曲，各截面翘曲的程度相同，此时横截面上只有切应力而没有正应力，这种扭转称为,自由扭转,若杆件受到约束，例如一端固定，则各截面的翘曲受到限制，横截面上不仅有切应力，而且还有正应力，这种扭转称为,约束扭转,对于实体截面杆，由约束扭转所引起的正应力数值很小，可忽略不计；而对于薄壁截面杆，这种正应力往往较大，不能忽略圆轴扭转 非圆轴扭转,非圆截面杆的扭转，必须用弹性力学的方法来研究1,）矩形截面杆自由扭转时横截面上切应力的分布规律如图所示。
截面周边各点处的切应力平行于周边且与扭矩方向一致；在对称轴上，各点处的切应力垂直于对称,轴；其他各点处的切应,力是斜向的；,角点及形,心处的切应力为零,；,最,大切应力,,max,,发生在长,边中点处,；短边中点处,有较大的切应力,,1,,矩形截面杆自由扭转的主要结论：,（1）矩形截面杆自由扭转时横截面上切应力的分布规律如图所示最大切应力为：,短边中点处的切应力为：,单位长度扭转角为：,式中：,W,P,—,,矩形截面的扭转截面系数，,W,P,=,,hb,2,；,,I,t,,—,,矩形截面的相当极惯性矩，,I,t,,=,,,hb,3,；,,,、,,、,,,—,,与矩形截面高宽比,h,/,b,有关的系数，可由,,p.115,表,6.1,,查得2,）计算公式,最大切应力为： 短边中点处的切应力为： 单位长度扭转角为：,表,6.1,矩形截面杆扭转时的系数,,、,,、,,,h/b,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,4.0,6.0,8.0,10.0,,,0.208,0.231,0.246,0.258,0.267,0.282,0.299,0.307,0.313,0.333,,0.140,0.196,0.2,2,9,0.249,0.263,0.281,0.299,0.307,0.313,0.333,,1.000,0.858,0.796,0.766,0.753,0.745,0.743,0.743,0.743,0.743,表6.1 矩形截面杆扭转时的系数、、 h/b1.01,【,例,6.7】,有一矩形截面的等直钢杆，其横截面尺寸为,h,＝,100 mm,，,b,＝,50 mm,，杆两端作用一对扭转力偶,,M,e,，已知,,M,e,＝,4kN·m,，钢的许用切应力,[,,,],＝,100 MPa,，切变模量,G,＝,80×10,3,MPa,，单位长度许用扭转角,[,,,],＝,1.2 ,/,m,。
试对此杆进行强度和刚度校核由矩形截面杆扭转时的应力和变形的计算公式，可建立与圆轴扭转相同的强度、刚度条件，并对其进行强度和刚度计算例6.7】有一矩形截面的等直钢杆，其横截面尺寸为h＝100,【解】,杆的扭矩为,：,T,=,M,e,= 4kN,,m,,由,h,/,b,=100mm/50mm=2,，查,表,6.1,得,：,,,=0.246,，,,=0.2,2,9,,强度校核：,【解】杆的扭矩为： T = Me = 4kNm,此杆,能满足强度和刚度要求刚度校核：,此杆能满足强度和刚度要求。