2024学年广东省韶关市新丰县第一中学数学高二上期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上3．考生必须保证答题卡的整洁考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C， D.，2．已知命题p：，，则命题p的否定为（）A， B.，C.， D.，3．设，直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. B.C. D.5．已知直线过点，，则直线的方程为（ ）A. B.C. D.6．如图，样本和分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为和，标准差分别为和，则（ ）A B.C.D.7．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是（ ）A. B.C. D.8．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.9．在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．若是函数的一个极值点，则的极大值为（ ）A. B.C. D.11．的展开式中的系数是（ ）A. B.C. D.12．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，…他们研究了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）．如前四个四棱锥数为第n个四棱锥数为1+4+9+…+n2＝．中国古代也有类似的研究，如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…若一个“三角垛”共有20层，则第6层有 ____个球，这个“三角垛”共有______个球14．以正方体的对角线的交点为坐标原点O建立右手系的空间直角坐标系，其中，，，则点的坐标为______15．曲线围成的图形的面积是__________16．在等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和为________三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）2017年厦门金砖会晤期间产生碳排放3095吨．2018年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，环保办会的积极信号，践行金砖国家倡导的可持续发展精神据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%，2018年公园已有的红树林年碳吸收量为130吨，如果从2019年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为m（）吨．2018年起，红树林的年碳吸收量依次记，，，…（1）①写出一个递推公式，表示与之间的关系；②证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）为了提前5年实现厦门会晤“零碳排放”的目标，m的最小值为多少？参考数据：，，18．（12分）已知等差数列的前项和满足，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值.20．（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性;（2）若，证明:21．（12分）已知，，分别为三个内角,,的对边，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.22．（10分）【2018年新课标I卷文】已知函数（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.【题目详解】因为命题p：，，故命题p的否定为：，.故选：A.2、A【解题分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.【题目详解】因为命题p：，，故命题p的否定为：，.故选：A.3、A【解题分析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【题目详解】若，则，解得或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4、B【解题分析】根据和可求得，结合等差数列通项公式可求得.【题目详解】设等差数列公差为，由得：；又，，.故选：B.5、C【解题分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【题目详解】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即故选：C6、B【解题分析】直接根据图表得到答案.【题目详解】根据图表：样本数据均小于等于10，样本数据均大于等于10，故；样本数据波动大于样本数据，故.故选：B.7、C【解题分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性即可得解.【题目详解】对任意，都有成立，即令，则，所以函数上单调递增不等式即，即因为，所以所以，，解得，所以不等式的解集为故选：C.8、C【解题分析】由题意作出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点（2a，2a）在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值【题目详解】由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，设双曲线的方程为：最短瓶口直径为A1A2＝2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且M（2a，2a）故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），化简后得，解得故选：C9、A【解题分析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.【题目详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则，，，，故,,，故两异面直线，所成角的余弦值是.故选：A.【题目点拨】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.10、D【解题分析】先对函数求导，由已知，先求出，再令，并判断函数在其左右两边的单调性，从而确定极大值点，然后带入原函数即可完成求解.【题目详解】因为，，所以，所以，，令，解得或，所以当，，单调递增；时，，单调递减；当，，单调递增，所以的极大值为故选：D11、B【解题分析】根据二项式定理求出答案即可.【题目详解】的展开式中的系数是故选：B12、A【解题分析】将已知条件转化为时恒成立，利用参数分离的方法求出a的取值范围【题目详解】对任意都有恒成立，则时，，当时恒成立， ，当时恒成立，，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.21 ②.1540【解题分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到＝，由此可求的值，以及前20层的总球数【题目详解】由题意可知，，故＝＝，所＝＝21，所以S20＝a1+a2+a3+a4+⋯⋯+a20＝（12+22+32+⋯⋯+202）+（1+2+3+⋯⋯+20）＝×+×＝1540故答案为：21；154014、【解题分析】根据已知点的坐标，确定出坐标系即可得【题目详解】如图，由已知得坐标系如图所示，轴过正方形的对角线交点，轴过中点，轴过中点，因此可知坐标为故答案为：15、【解题分析】当，时，已知方程是，即．它对应的曲线是第一象限内半圆弧（包括端点），它的圆心为，半径为.同理，当，；，；，时对应的曲线都是半圆弧（如图）．它所围成的面积是. 故答案为16、【解题分析】求出等比数列的通项公式，可得出的通项公式，推导出数列为等差数列，利用等差数列的求和公式即可得解.【题目详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，，则，所以，数列为等差数列，故数列的前项和为.故答案为：.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）①；②证明见解析，（2）最少为6.56吨【解题分析】（1）①根据题意直接写出一个递推公式即可；②要证明是等比数列，只要证明为一个常数即可，求出等比数列的通项公式，即可求出的通项公式；（2）记为数列的前n项和，根据题意求出，利用分组求和法求出数列的前n项和，再令，解之即可得出答案.【小问1详解】解：①依题意得,则，②因为，所以，所以，因为所以数列是等比数列，首项是，公比是1.02，所以，所以；【小问2详解】解：记为数列的前n项和，，依题，所以，所以m最少为6.56吨18、（1）；（2）.【解题分析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式；（2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得【题目详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，.所以，化简得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【题目点拨】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题19、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据周长可求，再根据离心率可求，求出后可求椭圆的方程.（2）当直线轴时，计算可得的面积的最大值为，直线不垂直轴时，可设，联立直线方程和椭圆方程可求，设与平行且与椭圆相切的直线为：，结合椭圆方程可求的关系，从而求出该直线到直线的距离，从而可求的面积的最大值为.【题目详解】（1）由椭圆的定义可知，的周长为， ∴，，又离心率为，∴， ， 所以椭圆方程为.（2）当直线轴时，； 当直线不垂直轴时，设，，，∴.设与平行且与椭圆相切的直线为：，，∵，∴， ∴距的最大距离为， ∴， 综上，面积的最大值为.【题目点拨】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，而面积的最值的计算，则可以转化为与已知直线平行且与椭圆相切的直线与已知直线的距离来计算，此类转化为面积最值计算过程的常规转化.20、（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）见详解【解题分析】（1）对函数进行求导，然后根据参数进行分类讨论；（2）构造函数，求函数的最小值即可证出.【题目详解】（1）的定义域为，.当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递。