数学文化专项练数学文化专项练(一)(对应学生用书第119页)1．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面周长约为( )A．1丈3尺 B．5丈4尺C．9丈2尺 D．48丈6尺B [由题意得：2 000×1.62＝S，解得S＝＝243，因为S＝πr2，所以r＝9，所以C＝2πr＝2×3×9＝54(尺)，54尺＝5丈4尺，故选B.]2．(20xx·合肥一模)祖暅原理：幂势既同，则积不容异，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( ) 【导学号：07804139】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [由“幂势既同，则积不容异”的含义可知在等高处的截面积恒相等，则体积相等可知“若体积不相等，在等高处的截面积不恒相等”，故p⇒q，反之“在等高处的截面积不恒相等未必几何体的体积不相等”，故qp.]3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A．24里 B．12里C．6里 D．3里C [记每天走的路程里数为{an}，易知{an}是公比q＝的等比数列，S6＝378，S6＝＝378，∴a1＝192，a6＝192×＝6，选C.]4．(20xx·黑龙江哈师大附中三模)如图1程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18,27，则输出的a＝( )图1A．0 B．9C．18 D．54B [因为a＝18，b＝27，a＜b，故第一次循环：b＝b－a＝9，a＝18.第二次循环：a＝a－b＝9，b＝9.满足程序，结束条件，输出a＝9，故选B.]5．(20xx·河南安阳一模)三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简，得勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )图2A．866 B．500C．300 D．134D [由题意可设勾股形中勾股分别为x，x，则黄色图形(正方形)的边长为(－1)x，以勾股形之弦为边的正方形的边长为2x，由几何概型得，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为≈134.]6．(20xx·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问：积几何？其意思是说：“今有底面为矩形的屋脊状楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈．问它的体积是多少？”已知一丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如图3所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为( )图3A．5 000立方尺 B．5 500立方尺C．6 000立方尺 D．6 500立方尺A [该楔体的直观图如图所示，取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，FH.则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之和，而三棱柱ADEGHF可通过割补法得到一个高为EF，底面积为S＝×3×1＝平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺，故选A.]7．(20xx·湖南湘潭三模)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b(mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a＝b(mod 10)，则b的值可以是( )A．2 011 B．2 012C．2 013 D．2 014A [因为a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C1010－C109＋…－C10＋1，所以a被10除得的余数为1，而2 011被10除得的余数是1，故选A.]8．(20xx·广西玉林市、贵港市高三毕业班质量检测)计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100.如图4是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是( ) 【导学号：07804140】图4A．i＞4 B．i≤4C．i＞5 D．i≤5B [在将二进制数11111化为十进制数的程序中，循环次数由循环变量i决定，因为11111共有5位，因此要循环4次才能完成整个转换过程，所以进入循环的条件应设为i≤4，故选B.]9．(20xx·江西八所重点中学4月联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为( )A. B． C. D．B [由题意女子每天织布数成等差数列，且a1＝5，S31＝390，由a1＋a31＝a2＋a30，且a1＋a3＋…＋a31＝，a2＋a4＋…＋a30＝.所以＝＝.故选B.]10．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n(mod m)，例如10＝4(mod 6)．如图5程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于( )图5A．17 B．16 C．15 D．13A [由程序框图可知，该程序求解的是“当n＞10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数”，由于当n＞10时，被3除余2，被5除也余2的最小正整数n＝17，故输出n＝17.故选A.]11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________. 【导学号：07804141】 [作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1.S6＝6S△OAB＝6××1×＝.]12．(20xx·郑州第二次质量预测)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示就是，则5 288用算筹可表示为________． [根据题意知，5 288用算筹表示，从左到右依次是横式的5，纵式的2，横式的8，纵式的8，即.]13．(20xx·吉林二调)艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)零点时给出一个数列{xn}：满足xn＋1＝xn－，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)有两个零点1,2，数列{xn}为牛顿数列，设an＝ln ，已知a1＝2，xn＞2，则{an}的通项公式为an＝________.2n [∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)有两个零点1,2.∴，解得.∴f(x)＝ax2－3ax＋2a.则f′(x)＝2ax－3a.则xn＋1＝xn－＝xn－＝，∴＝，则ln是以2为公比的等比数列，∵an＝ln，且a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则an＝2·2n－1＝2n.]14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________． [由题意：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜.]。
