奥数知识点汇总（初一）第一章 整数一、整数得几种表示方法：选择适当得方法表示一个整数，就是解决整数问题得基本方法之一它就是解决整数问题得前提 1、整数得多项式表示法：任何一个十进制得正整数 N 都可表示为：N an 10n an 1 10n 1 L a2 102a1 10 a0 ，这里an、an 1、 a?、a1、a0各取于09这十个数字中得任何一■个如果 N就是个n+i位正整数，则anwo为了方便，也可将 n简记作nanan 1L 31ao这种表示法称为整数得多项式表示法整数最左边得一位数字an 叫做整数N 得首位数字，最右边得一位数字a0 叫做整数 N 得末位数字2、整数得质因数连乘积表示法：（ 1）算术基本定理——每一个大于 1 得整数都能分解成质因数得乘积得形式，并且如果把质因数按照由小到大得顺序排在一起（相同因数得积写成幂得形式） ，那么这种分解方 法就是唯一得这就就是说，任何一个整数N （N>1）,都能唯一地表示成下面得形式：Np11 p22L pnn其中i ,2, n为自然数，Pl,P2,L , Pn为质数，并且Pi < P2 V< Pn这种表示法称为整数得质因数连乘积表示法，又称为整数N 得标准分解式。
2）约数个数定理——一个整数 N （N>1）,如果它得标准分解式为Npi 1 p2 2 LPn n ,那么它得约数个数为（1+ 1）（1 + 2）……（1+ n）另外，如果一个正整数N 得约数个数就是奇数，那么这个正整数 N 就是完全平方数3、整数得带余式表示法：如果整数a除以正整数m所得得商就是q,余数就是r,那么a=mq+r,其中q、r都为 整数，并且owrwm—1这种表示法称为整数得带余式表示法如果整数a、b分别除以正整数 m所得得余数都就是r,即a=mP+r, b=mq+r（P、q为整数），那么称a, b对于模m同余，记作a三b（mod m）容易推知对于模m而言，与a同余得一切整数可以表示为mt+r （t为整数），这里r=0, 1,……，m —1把所有这样得整数作为一类，称为以 m 为模得一个同余类一般地，对于模 m 而言，应当有m 个同余类存在，可分别表示为：mt,mt+1,mt+2, , mt+（m - 1） （t 为整数）任何一个整数必定属于并且也仅属于其中一个同余类这样一切整数就可以按照模 m 进行同余分类， 把无数个整数分成有限个同余类， 为我们解决问题带来方便特别地， 按模 2 分类，就得奇数与偶数两类；例如按模 3 分类，就有三个同余类：3t,3t+1,3t+2 (t 为整数)。
有时将3t+2写成3t-1o二、数得整除特性：任意两个整数相加、减、乘得结果都就是整数，但两个整数相除，它们得商就不一定 就是整数了，也就就是说，整数对加、减、乘得运算就是封闭得，而对于除法并不就是封闭 得这样就出现了整除与余数得两个概念1、整除得定义：对于整数a、b (bw 0),如果a除以b得到得商就是一个整数 q,即a+ b=q或a=bq,则称a能被b整除，或称b能整除a,记作b a ,此时a叫做b得倍数，b就是a得因数；如果b不能整除a,记作ba2、数得整除得若干性质：根据整除得定义，有如下性质：(1)如果a b , a c , m, n为整数，那么a (mb nc)、(2)如果a b , b c,那么a c3)如果a bc,且a、b互质，那么ac4)如果a b , c b ,且a, c互质，那么ac b5) n个连续整数得连乘积，一定能被1X2X3……x n整除3、数得整除特征：(1)能被2 (或5)整除得数得特征：个位数字能被 2 (或5)整除2)能被4 (或25)整除得数得特征：末两位数能被4 (或25)整除3)能被8 (或125)整除得数得特征：末三位数能被8 (或125)整除。
4)能被3 (或9)整除得数得特征：各位数字之后能被3 (或9)整除5)能被11整除得数得特征：奇数位上数字之与与偶数位上数字之与得差能被11整除6)能被7、11、13整除得数得特征：奇位千进位数段之与与偶位千进位数段之与得差能 被7、11、13整除例如，判别34425391能否被7、11、13整除，先从后往前分节，得 34, 425, 391奇 位千进位数段之与为 34+391=425 ,偶位前进位数段之与为 425,两者之差为425—425=0 因为0能被7、11、13整除，所以34425391能被7、11、13整除上述性质与特征就是解决整除问题得重要理论依据解决整除问题常用得方法有：利用数得整除特征，凑连续整数乘积法，整数得多项式表示法，按同余分类整数表示法、考虑余数法、奇偶性分析法等等4、质数与合数：一个大于1得正整数a,如果只有1与a这两个约数，那么 a叫做质数，也叫做素数；如果除了 1与a这两个约数外，还有其她正约数，那么a叫做合数这样，自然数按约数得个数可分为0、1、质数与合数四类在关于质数与合数得问题中，除了广泛运用它们得定义外，还要运用如下关于质数与 合数得性质：(1) 质数有无穷多个，最小得质数就是2,不存在最大得质数。
2) 除2以外得全体偶数就是合数，除 2以外得全体质数就是奇数12n.(3) 任何大于1得自然数都可以分解成质因数得乘积，即N= P1 p2 L pn (N为大于1得自然数，Pi,P2,L Pn为质数，1, 2,L n为正整数)如果不考虑这些质因数得顺序，这种分解方法就是唯一得质数与合数问题就是数论中得另一个基本问题，解决得常用方法有质数分析法、分解 质因数法、余数法、因式分解法等等5、最大公约数与最小公倍数：若a1,a2,L an就是不全为零得整数，并且d a,,d a2,L d an，则d叫做a1,a2,L an得公约数公约数中最大得数叫做这n个数得最大公约数，记作(a1,a2,L an) = d若a1,a2,L an都就是正整数，且(a1,a2,L an) =1,则称a1，a2,L an这n个数互质或互素互质得数不一定都就是质数，但几个不同得质数一定互质若a1,a2,L an与m均为正整数，且 a1 m,a2 m,L an m ,则称 m就是a1，a2,L an得公倍数公倍数中最小得数叫做这n个数得最小公倍数，记作a,a2,L anm有关最大公约数与最小公倍数得性质如下：b ,-)1 (k为正整数)。
d(1)如果 b a ,那么(a,b) =b,[a,b] = a1一，a(2)如果(a,b) =d,那么(ka,kb) =kd,(—m ,m m、，一,(一,—) 1 (k为正整数，c为a,b得公约c a bd,e…a b(3)如果[a,b]=m,那么[ka,kb]=km, —,—c c数)ab , abm= 一，d —(4)如果(a,b) =1,那么(a,bc) =(a,c)(5)如果(a,b) =d,[a,b]=m ,则 ab=md,或者6、整数问题：整数有三种表示方法：多项式表示法、质因数表示法与带余式表示法要会灵活运用整数各种表示法解题解决整数问题，余数法、反证法、奇偶性分析、抽屉原理就是常用方法7、奇数与偶数：在整数中，能被 2整除得数叫做偶数，不能被 2整除得数叫做奇数通常把奇数记为 2n+1,把偶数记为2n,这里n为整数要注意 0也就是偶数一切整数分成两大部分：奇数与偶数一个奇数与一个偶数不会相等，这种数得奇偶性就是整数最基本得性质奇数与偶数有以下一些重要性质：(1) 奇数加奇数，其与就是偶数；奇数加偶数，其与就是奇数；偶数加偶数，其与就是偶数一般地奇数个奇数得与就是奇数，偶数个奇数得与就是偶数，任意个偶数得 与总就是偶数。
2) 奇数减奇数，其差就是偶数；奇数减偶数或偶数减奇数，其差都就是奇数；偶数减 偶数，其差就是偶数3) 奇数乘奇数，其积就是奇数；奇数乘偶数，其积就是偶数；偶数乘偶数，其积就是 偶数一般地，N个奇数得积就是奇数；几个整数相乘，如果其中有偶数，那么乘 积就是偶数4) 如果一个偶数被奇数整除，则其商就是偶数；如果一个奇数能被一个奇数整除，则 其商就是奇数对于奇数、偶数得上述四条性质，通常称为奇偶性原理在解决一些有关整数问题时， 灵活而巧妙地运用这些性质，再加上正确得推理分析，在解题中会收到较好得效果第二章整式1、有理数及其运算技巧：在自然数、正分数得基础上引入负数后，数集就扩大到了有理数范围也就就是说，整数与分数统称为有理数有理数通常可表示成分数—形式，这里 m,n都就是整数，且 mmw 0四则运算对有理数就是封闭得，即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除(除数不为零)结果得与、差、积、商仍为有理数有理数可以作以下两种分类：「正整数「整数《零L负整数有理数＜「 正有限小数了正分数 i正无限循环小数1分数1负分数X负有限小数L负无限循环小数(-「正整数正有理数F正分数壬 令有理数＜负有理数［负整数I负分数有理/可以比较大小，任意两个有理数之间都有无穷府哦个有理数，有理数得巧算就是一种基本得运算技巧。
巧算得关键就是从整体上观察算式与其中每个数得特点，寻求一定得规律，以简化计算工作量常用方法有：1、分组计算(凑整法、应用运算定律、应用添(去)括号)；2、拆项法1n(n 1)1 1 1 1,11 - (- n n 1 n(nk) k n n k)】；3、11111n(n 1)(n 2) 2(n(n 1) (n 1)(n 2))' (n a)(n b)换元计算；4、倒写相加或叫反序求与法； 5、错位相减法；6、探索规律法；7、应用募得性 质；7、逆向思维法2、乘法公式：般常用得乘法公式有:,.、22(1) (a b)(a b) a b ；222⑵(ab)a2abb ；(3) (ab)3a33a2b3ab2b3 ；(4) (ab)3a33a2b3ab2b3；(5) (ab)(a2abb2)a3b3 ；(6) (ab)(a2abb2)a3b3 ；22.22_ .__⑺(ab c)abc2ab2bc 2ac在熟练掌握上述基本公式得基础上，将这些公式变形逆用可得下面得重要公式：,.、222_..222_(1) ab(ab)2ab ,或者a b (a b) 2ab ；，一、22(2) (ab)(ab)4ab ；(3) a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac)；(4) a3b3(ab)(a2abb2)；(5) a3b3(ab)(a2abb2)；，一 2221222(6) a b c ab bc ac - (a b) (b c) (c a)3、整式得运算与求值：整式得运算就就是将一个整式通过恒等变形变换成另一个与之恒等得式子。
它包括代数式得化简、求代数式得值等在初中数学竞赛中，代数式得运算与求值就是两个基本内容， 其方法灵活多变，技巧性强所以进行整式得运算与求值除了掌握一些基本方法外，还应掌握一些典型得技巧与特殊得方法常用方法有：(1)、观察找规律；(2)、整体代入法；(3)、拆添项法；(4)、套用公式法等等4、整式得恒等变形：恒等式分为两类：一般恒等式与条件。