数列极限存在的条件

§３３ 数列极限存在的条件数列极限存在的条件数列极限的两大问题数列极限的两大问题•数列极限的存在性；数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题）（此问题为最关键的问题）•数列极限值的大小；数列极限值的大小； （存在性成立后，（存在性成立后， 才想办法计算极限）才想办法计算极限）几种证明极限存在的方法：几种证明极限存在的方法：•按照数列极限的定义证明按照数列极限的定义证明•按照奇、偶子列的收敛性证明按照奇、偶子列的收敛性证明•依据任意子列的收敛性证明依据任意子列的收敛性证明•利用夹逼准则证明利用夹逼准则证明最简单的思想是利用数列本身的性质最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性证明数列极限的存在性定义定义　　若数列的各项满足不等式则称递增和递减数列统称为单调数列．为递减数列；为递增数列；不是单调数列为递增（递减）数列例如：1 单调有界定理单调有界定理1 单调数列单调数列几个简单的单调数列：几个简单的单调数列：单调单调增加增加单调单调减少减少单调单调数列数列2 单调单调有界准有界准则则 几何解几何解释释:定理定理 在实数系中，有界且单调数列必有极限 •证明:对递减数列• 由确界原理, 有下确界,令• 下证• 由下确界定义:• 故 时• 而• 所以 时• 即几点说明几点说明：• • 通常该准则变通为：通常该准则变通为： 1）） 单调递增有上界的数列存在极限。

单调递增有上界的数列存在极限 2）） 单调递减有下界的数列存在极限单调递减有下界的数列存在极限• • 本定理只是证明了存在性本定理只是证明了存在性• • 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性• • 此定理的条件为充分非必要条件此定理的条件为充分非必要条件 例例1 设设其中其中 ，证明，证明 收敛 证明：证明： 递增显然，下面证明有上界，事实上递增显然，下面证明有上界，事实上：例２例２　证明数列收敛，并求其极限.证明：记 , 则先证有界: 则 故 从而故 单调有界，因而收敛令例3 设S为有界集，证明：若 单调递增数列 则存在严格使得证明：先建立一个不等式，设对任一正整数 ，有 整理后得不等式： •例例4 证明证明 存在存在 联系到该数列的单调性，可知对一切正整数 ，都有,即有上界 单调递增上界，即收敛于是上式对一切正整数 都成立，即对一切偶数 ，有二二 Cauchy收敛准则收敛准则：定理定理2.10 收敛的充分必要条件是：,存在正整数Ｎ，使数列 时有。

1 Ｃauchy收敛准则 根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性 对任给的 得当1收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起2判别 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，不需要引入别的数列作参照3把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系证明： •2 Ｃauchy收敛准则逆否命题• 若存在正数 ,使对任给正整数N,存在正整数 ,使•则数列 发散. 作业 P39 1(2)(4),3(1),5(2),7。