第一章 常微分方程与偏微分方程概论,主要内容： 常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等； 偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导出，初边值问题、方程的傅立叶变换等； 略微详细介绍热传导方程1.1 常微分方程简介 1.1.1 常微分方程的基本概念 牛顿第二定律：,其中：m是质量，r是位置向量，t是时间， F是作用于质点的力,牛顿引力定律：,其中：G是万有引力常数，M与m是一对相互吸引的质点，r是从M到m的向量，r∕|r|是与r同向的单位向量,这就是描述行星运动的微分方程——微分方程中未知函数只出现一个自变量 求解方程，可引入极坐标变换，令 u = 1∕r,则得到下面的二阶常系数线性微分方程：,u0 , q0是由初始条件确定的2个常数1.1.2 一些典型的常微分方程 一、可分离变量的方程 具有如下形式：,可转化为,两边对x积分（如果可能的话）,得 G(y) + C1 = F(x) + C2 即 G(y) = F(x) + C,二、齐次方程 具有如下形式,作变量替换，令 u = y∕x → y = u·x,是可分离变量的方程,三、线性变系数方程 具有如下形式（一阶）,相应的齐次方程,显然是个可分离的方程,积分得通解 yh(x) = C·exp[-P(x)] 其中：,定义积分因子 则 m(x) · yh(x) = C,两边求导,对于q(x) ≠0 时 m(x) ·y(x)= C 不成立。
但由上面的推导，可有,对上式积分得,即有,伯努利方程,作变换，令 u = y1-n,n 阶常系数线性微分方程,其中，a0,…,an均为常数 先考虑齐次情形,令 y = elx 代入得,解这个方程得 l = l1,…,ln 若 li≠lj , i ≠ j 方程通解为,若某个lj是 h 重根，则对应还有如下的h个解,可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令,令 dz∕dx = u,这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解 y = y0(x),则，原方程通解为,1.2 偏微分方程的导出与定解 1.2.1 偏微分方程的概念 未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程） 几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。
所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论1.2.2 几个典型的数学物理方程 热传导方程（温度分布） ——扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）,其中 a0，a2 = k∕Q ，k是传热系数，Q是热容量拉普拉斯方程——调和方程 当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场经典的引力场、或流体的某种稳定状态）,波动方程 当声波在空气中传播时，如果 u 表示压强的小扰动，a0 是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度,1.2.3 初边值问题 对于最典型的求解问题是初始值问题——柯西问题 即：求波动方程的解 u ，使其满足初始条件,u0(x, y, z)和u1(x, y, z),表示在t = 0时波的形状和关于t 的变化率一维情形——弦振动方程,初始条件,作变换 x = x - at , h = x + at 方程变为,且通解为 u = f (x - at) + g (x + at) 其中f与g是任意两个具有连续二阶导数的函数 并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（d′Alembert）公式,高维情形，把(x，y，z)记 x = (x1, x2, x3), x= (x1, x2, x3 ) 利用傅立叶变换（Fourier） 其中 x x = x1 x1 + x2 x2 + x3 x3,且当 f 满足一定条件时有Fourier逆变换,另外有,对于下面方程，利用Fourier变换,变成解常微分方程的初值问题，解得,其中 做Fourier逆变换，得泊松（Poisson）公式,其中ds1（dsat）是球面 | l |=1（| l |=at）的面积元素。
1.3 热传导方程初值问题的求解,两边关于x 做Fourier变换,解常微分方程得,若记 且有 从而,同理,代入得 其中 通常称K(x - x ,t - t)为热传导方程基本解，且当 f(x,t)≡0、j(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解1.4 二阶偏微分方程的分类与化简 1.4.1 二阶偏微分方程的分类 三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：,（波动方程） （热传导方程） （位势方程）,其中 ：f是 (x1,…,xm)或 (x1,…,xm,t)的函数， a为常数， 是Laplace算子 二阶偏微分方程的一般形式：,其中 aij= aji、b、c、f 都是 (x1,…,xm)的函数用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,,m 对于波动方程，取 m = n+1, t = xn+1,对于热传导方程，取 m = n+1, t = xn+1,对于位势方程，取 m = n,如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵 T ，使得 TTAT是对角阵，且对角线上的元素就是A的特征值 位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即A是正定的或负定的； 热传导方程：A的特征值有一个为0，其它的都为正（或负）的，即A是非负（或非正）的； 波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即A是不定的。
设 x0(x01,.,x0m)是空间中一点，A(x0)表示矩阵A在x0点的值 定义：若A(x0)的m个特征是全是正（或负），称方程在x0点是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为0外全是正（或负）的，称方程在x0点是抛物型的；若A(x0)的特征值除了一个为负（或正）外，其它 m-1个全是正（或负）的，称方程在x0点是双曲型的如果对于区域W上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在区域W上是椭圆型的类似有抛物型的和双曲型的定理：如果方程的二阶项系数aij 是常数，即A是常数矩阵，且它属于椭圆型 （抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式1.4.2 二阶偏微分方程的化简 定义：称m维空间中的一张曲面S={j (x1,…,xm)=0} 为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面，如果曲面S的每一个点，有,定义：对于固定点 x0 = (x10,…,xm0) ，如果过 该点的方向 l = (a1,…, am) 满足特征方程 则称 l 为该点的特征方向由于 表示曲面j(x1,…,xm)=0 的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。
怎样求特征方向和特征曲面，总假设 ∑ai2 = 1 即取ai为特征方向的方向余弦例：热传导方程 的特征方程为 a12 + a22 + a32 = 0 由假设有 a02 + a12 + a22 + a32 = 1 从而 a02 = 1 因此特征曲面为超平面 t = 常数,例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程 其特征方程为 a11a12 + 2a12a1a2 + a22a22 = 0 满足上述关系的方向(a1, a2)为特征方向，其特征线 j(x, y) = 0,满足 a11jx2 + 2a12jx jy + a22jy2 = 0 * 求解这个方程 对 j(x,y) = 0微分并代入上式 jxdx + jydy = 0 → jx = - jydy∕dx a11dy2 - 2a12dxdy + a22dx2 = 0 **,偏微化为常微，求出 ** 的一族积分曲线 j1(x, y) = C则，z = j1(x, y)是*方程的解求**的积分曲线，将它分解为两个方程,此时在(x0, y0)的近旁有三种情况，记 △﹥0 △ = a122-a11a22 △ = 0 △﹤0,即，在 (x0,y0)近旁△﹥0 此时**有两族不同的实积分曲线 j(x,y) = C和 y(x,y) = C 引入自变量 x= j(x,y) , h= y(x,y) ***,由*可看出-jx ∕jy、 -yx ∕yy是二次方程 a11l2 + 2a12l+ a22 = 0 两个不同实根，从而 即，上述自变量变换是可逆的。
由于 ux = uxxx+uhhx uy= uxxy+uhhy uxx = uxxxx2+2uxhxxhx+uhhhx2+uxxxx+uhhxx uxy = uxxxxxy+uxh(xxhy +xyhx) + uhhhxhy + uxxxy+uhhxy uyy = uxxxy2+2uxhxyhy+uhhhy2+uxxyy+uhhyy 原方程化为 b11uxx+ 2b12uxh+ b22uhh+ c1ux+ c2uh+Du = f,其中 b11= a11xx2 + 2a12xxxy + a11xy2 b12 = a11xxhx + a12 (xxhy +xyhx )+ a22xyhy b22 = a11hx2 + 2a12hxhy + a11hy2 由*和***知 b11=b22=0, △* = b122 - b11b12= △*J2 故b12≠0 从而原方程化为,如果令 x= (s + t) ∕2 , h=(s - t) ∕2 方程最终化为,1.5 与图像处理有关的偏微分方程的例子 几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程 1.,其对应的滤波器具有锐化作用2.,其中D为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭代有一定联系。
3.,这个方程叫做曲率流方程，与中值滤波器的迭代有一定联系4.,这个方程导出了AMSS算子，它满足平移 不变、灰度平移不变、仿射不变、数学形态学等多种不变性。