平面几何讲义目 录 第一章 平面几何证题方法通论 1.1 概念和命题………………………………………………………………………. 1.2 逻辑推理概要…………………………………………………………………… 1.3 几何命题的证明与三段论………………………………………………………. 1.4 间接证法…………………………………………………………………………. 1.5 综合法和分析法…………………………………………………………………. 第二章 几何证题方法分论………………………………………………………….. 2.1 证线段或角相等…………………………………………………………………. 2.1 证线段或角的和差倍分…………………………………………………………. 2.3 证线段或角的不等………………………………………………………………. 2.4 证直线的垂直或平行……………………………………………………………. 2.5 证几何定值问题…………………………………………………………………. 2.6 证线段成比例或等积式…………………………………………………………. 2.7 几何证题的其它方法…………………………………………………………….. 第一章 平面几何证题方法通论 平面几何是中学数学教育中的一个重要内容.这是因为几何是从人们生产、生活实际需要中产生和发展起来的，它在人们的日常生活和生产实际中有广泛的应用，而且，学习几何能够很好地培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力、绘图能力和计算能力，从而提高学生的数学素养.平面几何证题更是培养逻辑思维能力的重要而有效的载体.本章重点介绍逻辑推理的基本知识和几何证题的一般方法. 1.1 概念和命题 数学总是运用一些抽象的概念，从已知结论出发，经过逻辑推理导出另一些新的结论，从而构成数学的知识体系. 概念、判断、推理都是人们的思维形式，而形式逻辑是研究思维形式的逻辑结构以及正确思维的逻辑规律的科学.正确的思维，必须遵循和使用形式逻辑，运用概念以作判断和推理，因而概念是推理的基础. 1.1.1 数学概念 概念是反映客观事物本质属性的思维形式.数学概念的形式，一般有两种方式： 直接从现实世界的数量关系和空间形式中抽象出来.如自然数的概念，源于对事物的数数；几何中的“点”、“直线”、“平面”、“点在直线上”等概念.“点”的本质属性是只有位置，没有大小的抽象.观察日常生活中那些“笔直的，无限伸长的”事物抽象出“直线”的概念等.这类概念称为原始概念，原始概念是下定义的，只能通过具体事例来描述它. 在已有概念的基础上，经过多次层次的抽象、概括而形成新的概念，在数学上称为概念的定义. 数学中大量的概念都是要定义的. 定义是通过指出概念所反映事物的本质属性性来明确概念的逻辑方法. 例如，平行四边形的定义：“两组对边互相平行且相等的四边形叫做平行四边形.” 这里“对边”是一个原始概念，“平行四边形”是已定义过的概念，利用这几个已知概念明确了一个新概念. 1.1.2 数学命题 对于某种事物及其属性，凡有所肯定或否定的断语，称为判断. 例如：两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形；经过两点可以作且只能作一条直线；对顶角相等；三角形的内角和等于180；a+b=b+a等等都是0判断. 判断的表述要依附语句.在数学中，表判断的语句称为命题. 从上述几个判断可以看出，数学命题可以分为定义、公理、定理和法则等几种类型. 定义——说明名词或术语意义的命题. 公理——在数学中不经过证明直接运用的命题. 它是人类在亿万次实践活动中所总结的客观规律，由实践证明了的真命题. 在平面几何中，常用的公理有： 经过两点有且只有一条直线. 连接两点的所有直线中，线段最短. 过直线外一点，有且只有一条直线和此直线平行. 矩形的面积等于它的长和宽的乘积. 等量公理. 定理——由已经证明的真命题和公理，经过逻辑推理而得出的正确的结论. 例如，“两直线相交只有一个交点.”可以从公理经过逻辑推理而证明；“三角形的内角和等于180”，它由“平角等于180”和平行线的性质定理经过逻辑推理而证明. 由一个定理很容易导出的结论称为该定理的推论；仅仅是为了证明某个定理作准备的定理，叫作引理. 1.1.3 命题的结构 数学命题一般分为简单命题与复合命题.简单命题由一个判断构成，结构简单，如002是无理数；直线a平行于直线b；?A B. 复合命题是由两个或两个以上判断和逻辑联接词构成的命题. 例1.1.1 如果两个三角形中有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 若两条平行线和第三条直线相交，则同位角相等，内错角相等，外错角相等，同旁内角互补，同旁外角互补. 在例1.1.1中，由三个判断组成，由6个判断组成，以联接词“如果…，那么”或“若…，则…”相联系而组成命题. 一个命题包含两部分：条件和结论.条件以“如果”、“若”、“假设”、“已知”等词开头，结论以“那么”、“则”、“求证”等词开头. 命题的一般形式表述为“若A,则B.”其中A为条件，B为结论. 有些命题的条件和结论表述得不分明，但很简洁，需要将字句加以改造，分出条件和结论.在几何上，改造字句时，配上图形，用字母和记号表示，就显得简单明了. 例1.1.2 改写下列命题的条件和结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半. 解：如图1.1.1，已知D为DABC边BC上的一点，?A则AD=900,BD=DC, 1BC. 2AADECBD图1.1.1CB图1.1.2如图1.1.2已知DABC中，AD=DE,AE=EC,则DE//BC,且DE=1.1.4 命题的四种形式 一般地，命题有四种形式： 原命题：若A,则B. 逆命题：若B，则A. 否命题：若A,则B. (4) 逆否命题：若B，则A. 这四个命题的相互关系可用下图表示： 互逆 原命题 若 A, 则 B 互 逆命题 若B,则A 1BC. 2 互 为 互 否 逆 否 否 否命题若A,则B 图1.1.3 逆否命题 若B,则A 例1.1.3 写出下列命题的四种形式，并判断真假. 原命题：若两角对顶，则两角相等. 原命题：三角形中，若两边相等，则对角相等. 解：逆命题：若两角相等，则两角是对顶角. 否命题：若两角不是对顶角，则两角不相等. 逆否命题：若两角不相等，则两角不是对顶角 逆命题：三角形中，若对角相等，则对边相等. 否命题：三角形中，若两边不相等，则对角不相等. 逆否命题：三角形中，若对角不相等，则对边不等. 可见，原命题是真，逆命题不一定真，而逆否命题必真.这是因为原命题表示“某事物具有某种性质”，而逆否命题表示“不具有某种性质的事物就不是该事物”，这是对同一事物的两种不同形式的判断，所以同真同假. 同真同假的两个命题称为等效命题 原命题和逆否命题是等效命题；因为否命题是逆命题的逆否命题，所以逆命题与否命题是等效命题. 若一个定理的逆命题真，则称此逆命题为逆定理. 所以一个定理的逆命题必须经过证明它的真确性，才能称为逆定理. 1.1.5 逆命题的构造方法 原命题“若A,则B”逆命题“若B，则A”. 当条件A和结论B都只包含一个事项时，以B为条件，A为结论，则为逆命题. 当条件A和结论B所包含的事项不止一项时，构造逆命题时，一个结论只能交换一个条件，而且不同的交换方法，可得到不同的逆命题. 例1.1.4 原命题：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半. 条件：DABC中，镲睚禳AD=DB镲1Þ结论：DE//BC,DE=BC. 镲2AE=EC镲铪构造逆命题时，将结论“DE//BC”交换条件“AE=EC”. 条件：DABC中，AD=DB,DE//BC, 结论：则AE=EC，且DE=1BC. 2逆命题：过三角形一边AB的中点D而平行于BC的直线必过AC的中点E，且DE=1BC. 21.1.6 充分条件和必要条件 如果命题“若A,则B”是真命题，是指从条件A出发，经过逻辑推理，可以得到结论B，即如果A成立，B一定成立.记为 AÞB. 则称A是B的充分条件，B是A的必要条件. 222如，“若x>2，则x>4”是一个真命题，那么x>2是x>4的充分条件，x>4是x>2的必要条件. 如果原命题“若A,则B”真，逆命题“若B，则A”也真， 即既有AÞB，又有BÞA,记作AÛB. 则称A是B的充分必要条件，简称充要条件. 表述概念定义的命题中其条件必须是充分必要条件. 例如，平行四边形的定义：“一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形.”我们可以说“四边形为平行四边形的充要条件是一组对边平行且相等.” 例1.1.5 指出下列各组命题中，p是q的什么条件： p：(x-2)(x-3)=0,q:x-3=0； p:x=4,q:x=16; p：同位角相等，q：两直线平行； p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形. 解：p是q的必要条件而不是充分条件.因为x-3=0?2(x2)(x-3)=0，而(x-3)=0 x-3=0. p是q的充分条件而不是必要条件. 因为x=4?xp是q的充要条件.因为同位角相等Û两直线平行. p既不是q的充分条件也不是q的必要条件. 因为四边形的两条对角线相等Þ四边形是平行四边形，四边形是平行四边形Þ四边形的两条对角线相等. 216，而x2=16 x=4. 习题1.1 1.什么叫做命题？一个命题的内容包括哪两部分？ 2.改造下列定理的字句，配以图形和字母说明. 三角形的内角和等于180； 一个三角形中，较大的边所对的角也大； 等腰三角形底边上的中线是底边的高，也是顶角的平分线； 在圆中，垂直于弦的半径必平分线所对的弧. 3.命题有哪几种形式？怎样由原命题得出它的其他形式？它们相互关系怎样？ 4.写出下列命题的四种形式，指明命题的真假： 垂直于两平行线中的一条直线，必垂直于另一条直线； 四条边相等的四边形是菱形； 等腰三角形两底角相等； 直角三角形的两个锐角互余； 在一圆中，两条平行弦所夹的弧相等； 若四边形有一组对边互相平行，则另一组对边彼此垂直. 5.就下面的定理写出它的逆命题，画图，用字母符号表示，并辨明真假. 若两个三角形由两边对应相等，则夹角大的，它所对的边也大. 从圆外一点引圆的两条切线长相等. 0禳(1)AB=AC(3)AD^BC镲 镲 DABC中睚. 镲 2AD平分ÐA4AD平分BC镲 铪6. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件： (1) P:A=B,q:ac=bc; P:a+5是无理数，q:a是无理数. p:两个三角形全等，q:两个三角形相似. p:a>b,q:a>b. p:x=1或x=2,q:x-1=222x-1. p:a,b是。